等边三角形旋转模型(老师版)

1、83等边三角形旋转模型1. （1）如图 1， ABC和 CDE都是等边三角形，且 B、 C、 D三点共线，联结 AD、BE 相交于点 P，求证： BE = AD.（ 2）如图 2，在 BCD中， BCD< 120°，分别以 BC、CD和 BD为边在 BCD外部作等边三角形 ABC、等边三角形 和等边三角形 BDF，联结 AD、BE 和 CF 交于点 P，下列结论中正确的是 AD=BE=C；F BEC=ADC； DPE=EPC=CPA=60°； PB+PC+PD=BE.只填序号即可）CDE3）如图 2，在（ 2）的条件下，求证：第 1 题图 11.（1）2）3）证明：

2、ABC和 CDE都是等边三角形 BC=AC， CE=CD， ACB= DCE=60° BCE= ACD BCE ACD（SAS） BE=AD 1都正确 4证明：在 PE 上截取 PM=PC，联结分分CM由（ 1）可知， BCE ACD（SAS） 1= 2设 CD与 BE交于点 G, 在 CGE和 PGD中 1=2， CGE=PGD DPG= ECG=60°同理 CPE=60° CPM是等边三角形 5 分 CP=CM， PMC=6°0 CPD= CME=120° 1=2, CPD CME（ AAS） -6 分 PD=ME BE=PB+PM+ME=

3、PB+PC+PD. 7 分即 PB+PC+PD=BE.2. 已知，点 O是等边 ABC内的任一点，连接 OA，OB，（ 1） 如图 1，已知 AOB=150°， BOC=120°，将 BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60°得 ADC.OC. DAO的度数是用等式表示线段 OA， OB，OC之间的数量关系，并证明；2） 设 AOB=， BOC=.当，满足什么关系时， OA+OB+O有C最小值？请在图 2 中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边 ABC的边长为 1，直接写出 OA+OB+O的C最小值 .2解：（1） 90°1分线段 OA，OB，OC之间的数

4、量关系是 OA2 OB2 OC2 . 如图 1，连接 OD. BOC绕点 C按顺时针方向旋转 60°得 ADC， ADC BOC，OCD6=0°.CD = OC, ADC = BOC=120° , AD= OB. OCD是等边三角形 . OC=OD=CD， COD= CDO=60° . AOB=150°， BOC=120°， AOC=90° . AOD=30°， ADO=60°. DAO=90°.在 Rt ADO中， DAO=90°，C2 2 2OA2 AD2 OD2 . OA2 OB

5、2 OC 2 .3分2）如图 2，当 =120°时， OA+OB+OC有最小值 .作图如图 2 的实线部分4分如图 2，将 AOC绕点 C按顺时针方向旋转 60°得 A'O'C，连接 OO' A'O'CAOC，OCO'=ACA'=60°O'C= OC, O'A' = OA，A'C = BC, A'O'C = AOC.OC O'是等边三角形 .OC= O'C = OO'， COO'=CO'O=60°. AOB= B

6、OC=120°，图2 AOC= A'O'C=120° BOO'=OO'A'=180°四点 B，O，O'，A'共线 .86分OA+OB+OC= O'A' + OB+OO' =BA' 时值最小 .当等边 ABC的边长为 1 时， OA+OB+OC的最小值 A'B= 3 . 7 分3在 ABC中， AB=AC， BAC= ，点 P 是 ABC内一点，且 PAC PCA 连接 PB，试探究 PA， PB， PC满足 2的等量关系图 1 图 27（1）当=60°时 ，将

7、 ABP绕点 A逆时针旋转 60°得到 ACP ，连接 PP ，如图 1 所示由 ABP ACP 可 以证得 APP ' 是等边三角形， 再由 PAC PCA 30 可得 APC的大小为度，进而得到 CPP 是直角三角形，这样可以得到 PA， PB， PC满足的等量关系为；（2）如图 2，当 =120°时，请参考（ 1）中的方法，探究 PA， PB， PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC满足的等量关系为3（1） 150， 1 分222PA2 PC2 PB2 3 分（2）如图，作 PAP 120 °，使 AP AP ，连接 PP ，CP 过

8、点 A作 AD PP 于 D点 BACPAP 120 °，即 BAP PAC PAC CAP ， BAPCAP AB=AC， AP AP ， BAP CAP . 4 分 P C PB ， APD APD 180 PAP 30 2 AD PP ，在 Rt APD 中，PD AP cos APDAP . ADP 90 ° . PP 2PD 3AP PAC PCA 60 APC 180 PAC PCA 120 P PC APC APD 90在 RtPPC 中， PP2 PC2 PC2.222 3PA2 PC2 PB2 6 分3)4PA2sin2 2 PC2 PB24如图 1，在

9、ABC中， ACB=90°，点 P为 ABC内一点1）连接 PB， PC，将 BCP沿射线 CA方向平移，得到DAE，点 B，C，P 的对应点分别为点 D，A， E，连接 CE 依题意，请在图 2 中补全图形； 如果 BP CE， BP=3，AB=6，求 CE的长图1图32）如图 3，连接 PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是： 以点 A 为旋转中心，将 ABP顺时针旋转60°得到 AMN，那么就将 PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接 CN，当点 P 落在 CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图 3 中证明 PA+PB+PC=CP+

10、PM+MN 并直接写出当 AC=BC=4时， PA+PB+PC的最小值4解：（ 1）如图 1 1 分如图 2，连接 BD、CD BCP沿射线 CA方向平移，得到 DAEBC AD且 BC=AD ACB=90°四边形 BCAD是矩形 2 分CD=AB=6E4EBP=3DE= BP=3BPCE，BPDE DE CE3分在 Rt DCE中，CE= CD2 DE 236 9 27 3 34分2）证明：以点A 为旋转中心，将 ABP 顺时针旋转 60°得到 AMN. AMN ABP，MN=BP，PA=AM， PAM=60° PAM是等边三角形 .PA=PM PA+PB+PC

11、=CP+PM+MN6分当 AC=BC=4时， PA+PB+PC2= 2 2 6 8分图35. 阅读下面材料 :小伟遇到这样一个问题：如图 1，在 ABC（其中 BAC 是一个可以变化的角）中， 的下方作等边 PBC，求 AP的最大值。AB=2， AC=4，以 BC为边在 BC图1小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋转中心将 ABP逆时针 旋转 60°得到 A'BC,连接 A'A,当点 A落在 A'C上时, 此题可解（如图 2）（1）请你回答： AP的最大值是（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等

12、腰 Rt ABC边 AB=4,P为 ABC内部一点，请写出求 AP+BP+CP的最小值长的解题思路 .8提示:要解决 AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把 ABP绕 B点逆时针旋转 60，得到 A'BP'. 请画出旋转后的图形 请写出求 AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.135.解：（ 1）AP的最大值是： 6 2 分2） AP+BP+CP的最小值是： 2 2 2 6 （或不化简为 32 16 3A）00或： 8sin75 或： 8cos15图对 4 分要解决 AP+BP+CP的最小值问题，仿照题目给出的做法把 ABP绕 B点逆时针旋转 6

13、0，得到 A'BP'.发现：BPP '和 BAA' 均为等边三角形，原来的AP+BP+CP=A 'P ' PP' CP ,根据“两点之间线段最短”可知：当 P' 和 P都落在线段 A'C 上时， AP+BP+CP取得最小值。 6 分连接 A'A,P'P, A 'C,延长 CB，过 A'做 AGCB于 由做图可知 ABP A'B P'在 Rt ABC中,AB=BC, ABC=90°而 A'B=AB=BC=4, AB A'=60° A'

14、BG=30° , A 'G=2, 易求 GB=2 3在 RtA'GC中,利用勾股定理得 :AC= 32 16 3 8分 6已知：在 ABC中， BAC=60°1）如图 1，若 AB=AC，点 P在 ABC内，且 APC=150°， PA=3，PC=4，把 APC绕着点 A顺时针旋转，使点 C 旋转 到点 B 处，得到 ADB，连接 DP依题意补全图 1；直接写出 PB的长；2）如图 2，若 AB=AC，点 P在 ABC外，且 PA=3，PB=5， PC=4，求 APC的度数；3）如图 3，若 AB=2AC，点 P在 ABC内，且 PA= 3 ，PB=5， APC=120°，