2018年全国高考新课标3卷理科数学试题(解析版)

1、第 6 页 共 7 页2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标3 卷理科数学1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合A=x|x-1A 0C2 (1+i)(2-i)=(A -3-iD3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图

2、中木构件右边的小0， B=0,1,2B 1A B=( )C 1,2D 0,1,2B -3+iC 3-iD 3+i则咬合时带卯眼的木构件的俯长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，视图可以是( )A14若sin = ，则 cos2 = ( )7B 9CDB cos2 =1-2sin 2 =1- =995 (x 2+x2) 5的展开式中x4的系数为( )D 80A 10B 20C 40C 展开式通项为Tr+1=C5rx10-2r(2)r= C5r2rx10-3r， r=2, T 3= C5222x4，故选Cx6 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴， y 轴交于 A,B 两

3、点， 点 P在圆 (x-2) 2+y2=2 上，则ABP面积的取值范围是( )A 2,6B 4,8C 2,3 2D 2 2,3 2A，线心距d=2 2,P 到直线的最大距离为3 2，最小距离为2， |AB|=22,Smin=2, S max=67函数y=-x 4+x2+2 的图像大致为( )解析：选D 原函数为偶函数，设t=x 2， t 0，8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为f(t)=-t2+t+2, 故选 Dp，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，A 0 7B 0 6解析： 选 B X B(10,p),DX=10p(1-p)=2.

4、4, C106(0.4) 6(0.6) 4，不合。P(X=4)<P(X=6) ，则 p=( )C 0 4D解得 p=0.4 或 p=0.6 ， p=0.40 3时，p(X=4)=C 104(0.4) 4(0.6) 6>P(X=6)=229 ABC的内角A， B，C 的对边分别为a， b， c，若ABC的面积为a +b-cC=( )A 2B3解析：选C a 2+b2-c 2=2abcosC,S=2absinC=C 4a2+b2-c 2 14=2abcosCtanC=1D10设A， B， C， D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，D-ABC体积的最大值为( )ABC为等边三角形且其

5、面积为9 3，则三棱锥A 12 3B 18 3C 24 3D 54 3解析：选B，ABC的边长为a=6, ABC的高为3 3，球心O到ABC的距离= 42-(2 3) 2=2, 当 D到 ABCR+2=6时，D-ABC体积的最大，最大值=1 × 9 3× 6=18 332211设F1， F2是双曲线C: xa2 yb2 1(a > 0， b> 0)的左，右焦点，垂线，垂足为P若|PF 1|= 6|OP| ，则 C的离心率为( )O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的B 2C3解析：选C 设 P(t,- abt), PF2与y=- abx垂直，-bt a(t-c)D

6、22= 解得 t= 即bca2 abP(c,- c )|OP|=2+(- acb) 2=a， |PF1|=( a2+c) 2+(- ab)2，依题有(a2+c) 2+(- ab) 2=6a2，cccc化简得c2=3a2，故选C12设a=log 0.20.3 ，A a+b<ab<0C a+b<0<abb=log 20.3，则( )解析：选B 0<a<1 ，b<-1,a+b<0 ， ab<0，BDa+b 0<ab<a+b<0ab<0<a+b1 1 1+log 20.2 log 22+log 20.2 log 20.

7、4=+=ab a b log 20.3log 20.3 log 20.3<1,a+b>ab二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知向量a=(1,2) ， b=(2,-2) ， c=(1, )若 c/(2a+b) ，则 =1解析： 2a+b=(4,2), c/(2a+b) 则4 =2，=214曲线解析： f 15函数y=(ax+1)e x在点(0,1) 处的切线的斜率为-2，则 a=(x)= (ax+a+1) e x， f (0)=a+1=-2,a=-3f(x)=cos(3x+ 6 )在 0, 的零点个数为解析：由3x+=k+得x=k+,k Z， ，4，7为

8、0, 的零点623999916已知点M（-1,1） 和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k 的直线与C交于A,B 两点若AMB=900，则k= 解析： k=270 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第都必须作答。第22、 23 为选考题。考生根据要求作答。17 21 题为必考题，每个试题考生（一）必考题：共60 分。17 （ 12 分）等比数列a n中，a1=1， a5=4a3（ 1 ）求a n 的通项公式；（ 2）记Sn为 an的前n 项和若Sm=63，求m解： （ 1）设a n 的公比为q，由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去）， q=-2 或 q=2故an=（-2） n

9、-1 或an=2n-1 （ 2）若an=（-2） n-1，则Sm=1-（-2） m由Sm=63得 （-2） m=-188，此方程没有正整数解3若an=2n-1，则Sm=2n-1 由Sm=63 得 2m=64，解得m=6综上，m=618 （ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（ 1 ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（ 2） 求

10、40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ， 并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：临界值表：附：K2解： （ 1）第二种生产方式的效率更高理由如下：（ i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？2 n(ad bc)(a b)(a c)(b d)(c d)P(K2k 0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82875%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间

11、至多79 分钟因此第二种生产方式的效率更高ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85 5 分钟，用第二第 8 页 共 7 页高考真题高三数学种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73 5 分钟因此第二种生产方式的效率更高（ iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高（ iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间

12、分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分79+812）由茎叶图知m= 2 =80列联表如下：超过80不超过80第一种生产方式155第二种生产方式5152 40（15 × 15-5 × 5）23）由于K2=10>6.635 ，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异20× 20 20 2019 （ 12 分）

13、如图，边长为2 的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M是 CD 上异于C， D的点（ 1 ）证明：平面AMD平面BMC；（ 2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值第 12 页 共 7 页19解：（ 1 ）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC 平面ABCD，所以BC平面CMD，故 BC DM?因为M为 C?D上异于C， D的点，且DC为直径，所以DM CM又 BC CM=C，所以DM平面BMC而 DM 平面AMD，故平面AMD平面BMC（ 2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

14、M- ABC体积最大时，M为 C?D 的中点D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1) ， AB=(0,2,0) ， DA=(2,0,0)设 n=（x,y,z） 是平面MAB的法向量，则-22yx=+0y+z=0可 取 n=(1,0,2)DA是平面MCD的法向量，因此cos<n, DA >= 55 ， sin<n, DA>=255所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2 5520 ( 12 分)22已知斜率为k 的直线 l 与椭圆 C: x4 y3 1 交于A， B两点线段AB的中点为M(1,m)

15、(m>0) 1( 1 )证明：k<- 2；2)设F 为 C的右焦点，P 为 C 上一点，且FP+F A+FB=0证明：|FA |,|FP |,|FB | 成等差数列，并求该数列的公差x1 2 y1 2x22 y22解： ( 1)设A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2)，则 1， 14343两式相减，并由k=y1-y2得 x1+x2+y1+y2k=0x1-x 243由题设知1 2=1， y 1 y2=m，于是k= - 由题设得0<m< ，故 k<- 224m22(2)由题意得F(1,0) ，设P(x 3,y3)，则(x3-1,y3)+( x1-1,y1)+(

16、 x2-1,y2)=(0,0)由( 1 )及题设得x3=3-(x 1+x2)=1 ， y3=-(y 1+y2)=-2m<0 333又点 P在 C上，所以m=4，从而P(1,- 2) ， |FP|= 2x 1x1x2于是|FA|= (x 1-1) 2+y12=(x 1-1) 2+3(1- 4 )=2- 2 同理|FB|=2- 2所以|F A |+|FB |=3 故2|FP|=|FA |+|FB | ，即|FA|,|FP|,|FB| 成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|= 2|x 1-x 2|= 2 (x 1+x2)2-4x 1x2将m=4代入得k=-1 所以 l 的方程为y=-x+ 7

17、，代入C的方程，并整理得7x2-14x+ 1=044故x1+x2=2, x 1x2=28，代入解得|d|=28 所以该数列的公差为28 或 - 28 21 ( 12 分)已知函数f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x( 1 )若a=0，证明：当-1<x<0 时， f(x)<0 ；当 x>0 时， f(x)>0 ；( 2)若x=0 是 f(x) 的极大值点，求a解： ( 1)当a=0 时， f(x)=(2+x)ln(1+x)-2xf (x) =ln(1+x)-x 1+x设函数 g(x)=-1<x<0xf (x) =ln(1+x)-1+x，则时

18、， g (x) <0；当x>0 时，xg (x) =g x (1+x)2g (x) >0故当 x>-1时， g(x) g(0)=0 ，且仅当x=0 时， g(x)=0 ，从而 f (x) 0，且仅当x=0 时， f (x) =0所以 f(x) 在 (-1,+ ) 单调递增又 f(0)=0 ，故当 -1<x<0 时， f(x)<0 ；当 x>0 时， f(x)>0i )若a 0，由(1) 知，当 x>0 时， f(x) (2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0) ，与 x=0 是 f(x) 的极大值点矛盾f(x)2xii )若a

19、<0，设函数h(x)= 2+x+ax2=ln(1+x)-2+x+ax2又 h(0)=f(0)=0h (x) =1+x如果 6a+1>0，则当如果 6a+1<0，则时，2+x+ax 2>0，故h(x) 与 f(x) 符号相同|x|<min1,x=0 是 f(x) 的极大值点当且仅当x=0 是 h(x) 的极大值点2(2+x+ax 2)-2x(1+2ax)x2(a 2x2+4ax+6a+1)(2+x+ax 2) 20<x<-6a+14a(x+1)(2+x+ax 2)2 时，h (x) >0，故x=0 不是 h(x) 的极大值点|x|<min1,

20、a2x2+4ax+6a+1=0 存在根x1<0，故当x (x 1,0) ，且 |x|<min1,1 时， h (x) <0， |a|第 15 页 共 7 页所以 x=0 不是 h(x)如果6a+1=0， 则 h (x) =x3(x-24)(x+1)(-12-6x+x 2)2则当x (-1,0) 时， h (x) >0； 当x(0,1) 时， h (x) <0 所以 x=0 是 h(x) 的极大值点，从而x=0 是 f(x) 的极大值点1综上， a= - 6(二)选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修4 4：坐标系与参数方程 ( 10 分)x=cos 在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为y=sin (为参数) ，过点 (0,-2)且倾斜角为的直线 l 与