九上介绍（分章）

1、人教版义务教育教科书数学九年级上册介绍新中国教育出版事业从这里开始人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室数学九年级上册章名课时第二十一章 一元二次方程13课时第二十二章 二次函数 8课时第二十三章 旋转7课时第二十四章 圆12课时第二十五章 概率初步11课时（一）内容安排（一）内容安排（二）编写时考虑的几个问题（二）编写时考虑的几个问题（三）对教学的几个建议（三）对教学的几个建议分章介绍第二十一章 一元二次方程21211 1 一元二次方程一元二次方程 1 1课时课时21212 2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程 7 7课时课时21213 3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元

2、二次方程 3 3课时课时数学活动数学活动小结小结 2 2课时课时 （一）内容安排 从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。 二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在“元元”上的推广上的推广，一元二次方程一元二次方程是是在次数上在次数上的的推广。类推广。类比二（三）元一次方程组的解法，比二（三）元一次方程组的解法，研

3、究研究将将“二次二次”降降为为“一次一次”的方法的方法，是本章学习的另一条主线。，是本章学习的另一条主线。 教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定在解数字系数的一元二次二次方程的解法，而且限定在解数字系数的一元二次方程。方程。（一）内容安排（一）内容安排 降次是解降次是解一元二次方程的基本一元二次方程的基本策略，策略，即通过配方、即通过配方、因式分解等，因式分解等，将一元二次方程将一元二次方程转化为两个一元一次转化为两个一元一次方程来解方程来解。根据。根据平方根的意义，可平方根的意义，可得方程得方程x x2 2= =

4、p p和和( (x x+ +n n) )2 2= =p p的解法；通过配方，可将一元二次方程转的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为化为( (x x+ +n n) )2 2= =p p的形式再解；一元二次方程的求根公的形式再解；一元二次方程的求根公式式，是，是对方程对方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0配方后得出的如能将配方后得出的如能将axax2 2+ +bxbx+ +c c分解为两个一次分解为两个一次因式因式之之积积，则可令每个因，则可令每个因式为式为0 0来解来解（一）内容安排 三种解法的地位：三种解法的地位： 配方配方法是推导一元二次方程求根公式的工具法是推导一元二次

5、方程求根公式的工具掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的程的根根因式分解法是解某些方程的简便方法。因式分解法是解某些方程的简便方法。 配方配方法是一种重要的、应用广泛的数学法是一种重要的、应用广泛的数学方法方法 在在推导求根公式的推导求根公式的过程，体现过程，体现了从特殊到一般了从特殊到一般的的思想思想；求解；求解方程的方程的过程是过程是将推广所得的方程转化将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想为已经会解的方程，体现了化归思想。这个过程这个过程对对培养推理培养推理能力、运算能力等能力、运算能力等都很都很有有作用。作用。（一）内容安

6、排 课程标准（课程标准（20112011年版）重新强调了一元二年版）重新强调了一元二次方程根的判别式和韦达定理的重要性，要求次方程根的判别式和韦达定理的重要性，要求能能“用判别式判别方程是否有实根和两个实根用判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数了解一元二次方程的根与系数的关系的关系”，这是需要注意的一个变化。，这是需要注意的一个变化。除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，第三节安排三个注重从实际问题出发外，第三节安排三个“探探究究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际，让学生建立一元二

7、次方程模型解决实际问题，再一次经历如下过程：问题，再一次经历如下过程：（一）内容安排（二）编写时考虑的几个问题1注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，建立一元利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，建立一元二次方程二次方程模型模型，引，引出出本章内容本章内容；通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示； 安排安排“实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程”，使学生完整，使学生完整地经历地经

8、历“问题情境问题情境建立模型建立模型求解验证求解验证”的数学活动过程。的数学活动过程。 目的：目的：使学生认识到学习一元二次方程是解决实使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要际问题的需要；体验运用数学知识解决实际问题体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。思想，逐步形成应用意识。2 2重视联系重视联系性、性、逻辑逻辑性性，突出基本策略，突出基本策略 采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从方从方程程x x2 2= =p p出发，出发，经不断经不断推广而

9、推广而得到一般的得到一般的axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0；利用；利用“配方法配方法”，把，把“新方程新方程”化化归为已解决的归为已解决的形式形式而得解而得解： 根据根据平方根的意义，通过直接开平方而得到方程平方根的意义，通过直接开平方而得到方程x x2 2=25=25的解，再推广到求方程的解，再推广到求方程x x2 2= =p p的解，引导学生的解，引导学生对对p p0 0，p p0 0和和p p0 0三种情况进行详细三种情况进行详细讨论讨论； 然后，分析变式然后，分析变式( (x x+3)+3)2 2=5=5的解决过程，归纳出的解决过程，归纳出“把一个一元二次方程把一个一元

10、二次方程降次降次，转化为两个一元，转化为两个一元一次方程一次方程”的思路，再给出的思路，再给出( (x x+3)+3)2 2=5=5的等价形式的等价形式x x2 2+6+6x x+4=0+4=0，并用框图表示将，并用框图表示将x x2 2+6+6x x+4=0+4=0转化为转化为( (x x+3)+3)2 2=5=5的过程，最后归纳出的过程，最后归纳出“配方法配方法”，并并讨讨论通过配方将方程转化为论通过配方将方程转化为( (x x+ +n n) )2 2= =m m的形式后的解的形式后的解，让，让学生学生再次经历分类讨论过程。再次经历分类讨论过程。 再通过再通过“探究：任何一个一元二次方程都

11、可以写探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式成一般形式axax2 2+ +bxbx+ +c c=0(=0(a a0)0)，能否也用配方法，能否也用配方法得出它的解呢？得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验，自主推导出求根公式。次方程的已有经验，自主推导出求根公式。 上述过程，让学生反复经历了上述过程，让学生反复经历了“具体具体抽象抽象”、“配方配方分类讨论分类讨论”的过程，不仅获得了求的过程，不仅获得了求根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形式的一元二次方程的配方，分类讨论。式的一元二次方程的配方

12、，分类讨论。 通过具体通过具体方程方程1010 x x4.94.9x x2 2=0=0，得出，得出针对某些方程针对某些方程的简便解法的简便解法因式分解法。因式分解法。 最后进行根与系数关系的最后进行根与系数关系的研究研究。3 3注重注重“四能四能”培养培养 因为学生已经具备研究一元二次方程的概因为学生已经具备研究一元二次方程的概念、解法的知识基础，只要他们能把这些念、解法的知识基础，只要他们能把这些知识调动起来、应用到研究中去，他们就知识调动起来、应用到研究中去，他们就能独立地发现解法，所以教科书注重通过能独立地发现解法，所以教科书注重通过栏目和栏目和“边空设问边空设问”等方式启发学生的思等方

13、式启发学生的思维，为他们提供独立探究的机会。维，为他们提供独立探究的机会。例例 一元二次方程一元二次方程解法解法的探索的探索 教科书在讨论了教科书在讨论了“方程方程x x2 2= =p p的解的解”以后，循序渐以后，循序渐进地安排了如下栏目：进地安排了如下栏目： 在上述两个在上述两个“探究探究”的基础上的基础上，得出：得出： 接着提出推导求根公式的任务：接着提出推导求根公式的任务： 再通过实际问题得到：再通过实际问题得到： 上述上述过程中，教科书通过过程中，教科书通过“一般化一般化”、“推推广广”、“特殊化特殊化”等，引导学生不断地发现等，引导学生不断地发现问题、解决问题问题、解决问题。（三）

14、对（三）对教学教学的几个的几个建议建议1为学生构建研究一元二次方程解法的连贯为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程过程，可以可以按如下线索按如下线索安排安排 实际背景实际背景引入引入从已有经验中总结解方程的一般从已有经验中总结解方程的一般思想方法（化归为一元一次方程）思想方法（化归为一元一次方程）类比二元一类比二元一次方程组的次方程组的“消元消元”，得到解一元二次方程的思，得到解一元二次方程的思路路“降次降次”从简单从简单、特殊、特殊的一元二次方程（如的一元二次方程（如x x2 2=25=25，x x2 2= =p p；( (x x+3)+3)2 2=5=5，x x2 2+6+6x x+4=

15、0+4=0，( (x x+ +n n) )2 2= =p p等等）探索）探索“降次降次”的方法（直接开平方、配方法）的方法（直接开平方、配方法）用配方法推导求根公式（公式法）用配方法推导求根公式（公式法）针对针对特殊特殊一一元二方程的特殊解法（因式分解法）。元二方程的特殊解法（因式分解法）。 要让要让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，避免不同解法之间的割裂避免不同解法之间的割裂。方程。方程x x2 2= =p p的解具有奠基的解具有奠基作用，特别是对作用，特别是对p p的分类讨论，蕴含了对判别式的的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以一定要认真

16、处理好；推广的方程分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程( (x x+3)+3)2 2=5=5与与x x2 2+6+6x x+4=0+4=0是获得配方法的载体；配方是获得配方法的载体；配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。二次方程的简便方法。 获得一元二次方程获得一元二次方程解解法法的的教学中教学中，应应加强类比、从加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。特殊到一般等思想方法的引导。2 2注重模型思想、应用意识的培养注重模型思想、

17、应用意识的培养 让让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程程，把，把模型思想、应用意识的培养落在实处。模型思想、应用意识的培养落在实处。 用数学用数学解决解决实际实际问题问题的的难点难点在于数量关系的分析和在于数量关系的分析和数学模型的数学模型的选择。选择。教学中应注意引导学生仔细分析教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程。要注意培养定等量关系，进而建

18、立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等。的结果等。3 3注意控制教学要求注意控制教学要求 学习韦达定理的目的在于使学生更深入地体会根与学习韦达定理的目的在于使学生更深入地体会根与系数的系数的确定关系确定关系，更全面地认识一元二次方程，更全面地认识一元二次方程。 针对针对判别式、韦达定理判别式、韦达定理等的等的形式化训练形式化训练，对，对锻炼学锻炼学生的思维有一定好处，但复杂的代数变形对提高学生的思维有一定好处，但复杂的代数变

19、形对提高学生的数学能力（特别是数学建模能力）没有多大帮生的数学能力（特别是数学建模能力）没有多大帮助。因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形助。因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形式化训练的难度，特别是不要搞用韦达定理解决其式化训练的难度，特别是不要搞用韦达定理解决其他问题的训练。他问题的训练。第二十二章 二次函数22.1 二次函数二次函数 6课时课时22.2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 1课时课时22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 3课时课时数学活动数学活动小结小结 2课时课时（一）内容安排本章主要变化本章主要变化 构建二次函数图象和性质的研究思路构建二次

20、函数图象和性质的研究思路 通过图象理解二次函数的变化情况通过图象理解二次函数的变化情况 调整第三节正文中的实际问题调整第三节正文中的实际问题 用物理问题引入。用物理问题引入。 将原来的面积问题改为探究将原来的面积问题改为探究1 1。 将原来的探究将原来的探究1 1改为探究改为探究2 2。删去原来的探究。删去原来的探究2 2。 更换数学活动更换数学活动 将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。1.1.体现类比、数形结合和归纳的体现类比、数形结合和归纳的思想思想 类比思想在讨论过程中有多处体现类比思想在讨论过程中有多处体现。例如，在讨。例如，在讨论二次函数论

21、二次函数 之前的一段话中指出，可以类比一次之前的一段话中指出，可以类比一次函数研究二次函数。又如，对于二次函数函数研究二次函数。又如，对于二次函数yax是分是分a0和和a0的情的情况，这样，况，这样，a0的情况进行的情况进行讨论。讨论。（二）编写时考虑的几个问题 数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始 终。对于最简单的二次函数终。对于最简单的二次函数 yx的研究就是从的研究就是从 画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它 的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了 从解析式到

22、图象，从图象到性质的过程。包括从解析式到图象，从图象到性质的过程。包括 第第22.3节中，关于二次函数的最小（大）值的节中，关于二次函数的最小（大）值的 结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点 获得的。获得的。 从特殊例子归纳一般结论也是常用的从特殊例子归纳一般结论也是常用的。2.重视知识之间的联系重视知识之间的联系 学生在学生在“一次函数一次函数”一章已经了解了一次函数一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一组的联系。本章专设一节，通过探

23、讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题。程的有关问题。 此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、比赛场次数、产量增长等问题中变量之间的关系比赛场次数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于进行说明。又如，用

24、关于y轴对称的点的坐标的关轴对称的点的坐标的关系说明系说明y轴是抛物线轴是抛物线 的对称轴。这样处理有利于的对称轴。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。3.体现模型思想体现模型思想 对于对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数以用二次函数模来模来刻画，就可以利用二次函数的刻画，就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。这一这一过程体现了模型思想过程体现了模型思想。 例如，在日常生活、生产和科研中，常常会遇到例如，在日常生

25、活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究1和探究和探究2举例说明此类问题的解决过程。举例说明此类问题的解决过程。 此外，在函数此外，在函数y=a(xh) k的讨论之后安排的修的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题，在第三节中安建喷水池时确定水管长度的问题，在第三节中安排的探究排的探究3（水位问题），也是运用二次函数解（水位问题），也是运用二次函数解决实际

26、问题的例子。决实际问题的例子。1 1注意复习相关内容注意复习相关内容 二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级下册从八年级下册“一次函数一次函数”的学习到九年级上册的学习到九年级上册“二次函数二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函的学习，中间相隔了一段时间。函数的概念数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。学好二次函数。 复习复习平移、平移、对称对称，配方，配方等内容，有助于学生等内容，有助于学生学习本章内容

27、。学习本章内容。（三）对（三）对教学教学的几个的几个建议建议2关注数形结合的研究方法关注数形结合的研究方法 二次函数的二次函数的图象图象和性质的讨论运用了数形结合的和性质的讨论运用了数形结合的研究研究方方 法法，即先画出二次函数的图象，再结合图，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论象讨论二次函数二次函数的性质的性质。把握好数形结合的研究。把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。方法有利于本章教学的开展。 图象图象可以可以直观展示函数的变化情况。函数图象从直观展示函数的变化情况。函数图象从左向右上升左向右上升（或下降）对应着函数随自变量增大（或下降）对应着函数随自变量增大而而增大（增大（

28、或或减减 小小）。3加强对实际问题的分析加强对实际问题的分析 运用运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实际问题的分析。例如，在际问题的分析。例如，在22.3节的探究节的探究1中，用总长中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随

29、矩形一边长变化的函数解析式。而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式。教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利解决实际问题。解决实际问题。4 4重视信息技术的使用重视信息技术的使用第二十三章第二十三章 旋转旋转23.1 图形的旋转图形的旋转 2课时课时23.2 中心对称中心对称 3课时课时23.3 课题学习课题学习 图案设计图案设计 1课时课时数学活动数学活动小结小结 1课时课时（一）内容安排（一）内容安排 按照义务教育数学课程标准，在按照义务教育数学课程标准，在“图形的变图形的变化化”部分要介绍平移、轴对称和旋转部分要介绍平移、轴对称和旋转.

30、本章介绍旋本章介绍旋转。本章第一节学习图形旋转的基本概念和性质转。本章第一节学习图形旋转的基本概念和性质.在此基础上，第二节学习特殊的旋转在此基础上，第二节学习特殊的旋转中心对中心对称称.第三节是课题学习，内容是综合运用平移、轴第三节是课题学习，内容是综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计对称、旋转进行图案设计.23.1 23.1 图形的旋转图形的旋转 首先首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念通过时针、叶片等实例引出旋转的概念.然后然后设置了一个设置了一个“探究探究”栏目，让学生探索在旋转中对应栏目，让学生探索在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所点到旋转中心的距离相等、

31、对应点和旋转中心连线所成的角彼此相等的性质成的角彼此相等的性质. 接下来接下来，安排了一个按要求画出简单平面图形，安排了一个按要求画出简单平面图形旋转后的图形的例题旋转后的图形的例题.最后说明利用旋转进行简单的最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容图案设计的内容.在本节中，旋转的概念、性质以及在本节中，旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：由概念得出性质；由性有关作图的内容环环相扣：由概念得出性质；由性质得出有关作图的方法质得出有关作图的方法.应关注这些内容之间的联系应关注这些内容之间的联系，使前一部分内容为后一部分内容作好准备，使后，使前一部分内容为后一部分内容作好准备，使后一部分内

32、容复习巩固前一部分内容一部分内容复习巩固前一部分内容.23.2 23.2 中心对称中心对称 本节分三部分本节分三部分内容：中心对称的概念、性质内容：中心对称的概念、性质和和有关有关画图；中心对称图形的概念；关于原点画图；中心对称图形的概念；关于原点对称对称的的点的坐标的关系点的坐标的关系.对中心对称，课本首先通过对中心对称，课本首先通过具具体例体例子给出中心对称的概念，然后探究子给出中心对称的概念，然后探究中心对称中心对称的的性质，最后说明画和已知图形中心对称的性质，最后说明画和已知图形中心对称的图形图形的的方法方法.对中心对称图形，主要让学生通过线段对中心对称图形，主要让学生通过线段、平行四

33、边形平行四边形加以认识，并了解中心对称和中心加以认识，并了解中心对称和中心对对称称图形的联系和区别图形的联系和区别.关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标的的关系关系是很基本的坐标关系，教学中可以让学生是很基本的坐标关系，教学中可以让学生自自行行探究得出，由此得到利用这一关系画和已知探究得出，由此得到利用这一关系画和已知图图形形关于原点对称的图形的方法关于原点对称的图形的方法.23.3 课题学习课题学习 图案设计图案设计 本节本节要求要求学生探索图形之间的变化关系（轴对学生探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平

34、移、旋转的组合进行图案设计移、旋转的组合进行图案设计.在本节中，首先通过在本节中，首先通过一个例子让学生对此课题有所了解，然后让学生搜一个例子让学生对此课题有所了解，然后让学生搜集图案，设计图案集图案，设计图案.搜集图案并加以分析，了解图形搜集图案并加以分析，了解图形之间的变化关系有助于学生自己进行图案设计之间的变化关系有助于学生自己进行图案设计.在设在设计图案的过程中，应关注构思、实施、合作交流等计图案的过程中，应关注构思、实施、合作交流等环节环节.（二）编写时（二）编写时考虑考虑的几个问题的几个问题 1 1. . 注意揭示旋转概念的实际背景和广泛的应用注意揭示旋转概念的实际背景和广泛的应用

35、 学数学的学数学的根本目的是用数学知识解决各种实际根本目的是用数学知识解决各种实际问题，这就决定了教材必须密切联系实际，揭示问题，这就决定了教材必须密切联系实际，揭示教学内容和实际的联系。本章的内容，主要包括教学内容和实际的联系。本章的内容，主要包括旋转、中心对称、中心对称图形、图案设计，教旋转、中心对称、中心对称图形、图案设计，教科书在编写中重视揭示这些内容和实际的种种联科书在编写中重视揭示这些内容和实际的种种联系，让学生认识知识的实际背景和应用价值。本系，让学生认识知识的实际背景和应用价值。本章各部分列举了许多旋转的实例，如水车、风力章各部分列举了许多旋转的实例，如水车、风力发电机、螺旋浆

36、等等。发电机、螺旋浆等等。 本本次教材修订中还增写了次教材修订中还增写了“阅读与思考阅读与思考 旋转对旋转对称称”,介绍了旋转对称性质的广泛应用。中心对称和介绍了旋转对称性质的广泛应用。中心对称和中心对称图形在现实生活中也很常见，教科书介绍中心对称图形在现实生活中也很常见，教科书介绍了雪花、工艺美术品、部分交通标志等图案，教学了雪花、工艺美术品、部分交通标志等图案，教学中还可以通过更多的具体实例加深学生对中心对称中还可以通过更多的具体实例加深学生对中心对称的认识。的认识。 许多许多美丽的图案可以借助旋转设计而成。让学美丽的图案可以借助旋转设计而成。让学生利用旋转进行图案设计，可以复习巩固所学的

37、知生利用旋转进行图案设计，可以复习巩固所学的知识，调动学生学习的积极性。让学生运用轴对称、识，调动学生学习的积极性。让学生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计，可以进一步深化平移、旋转的组合进行图案设计，可以进一步深化学生所学知识，加强图形变化与现实生活的联系。学生所学知识，加强图形变化与现实生活的联系。 2. 注意安排对重要结论的注意安排对重要结论的探究探究 本章本章着重介绍了旋转的性质、中心对称的性质、着重介绍了旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的两点坐标间的关系等重要结论，在关于原点对称的两点坐标间的关系等重要结论，在以上重要结论的教学中，教科书注意安排学生画图以上重要结论的教

38、学中，教科书注意安排学生画图、分析、归纳等探究活动，帮助学生对于结论的理、分析、归纳等探究活动，帮助学生对于结论的理解和掌握。解和掌握。 图图23.1-3中，中，ABC由由ABC旋转而成，让学生结旋转而成，让学生结合此图探究旋转的性质。合此图探究旋转的性质。 对于对于中心对称的性质，应该与轴对称的性质作类中心对称的性质，应该与轴对称的性质作类比进行教学。学生已经知道，成轴对称的两点所比进行教学。学生已经知道，成轴对称的两点所连线段被对称轴垂直平分。在图连线段被对称轴垂直平分。在图23.2-3中，中，ABC与与ABC关于点关于点O中心对称，应该引导学生从中中心对称，应该引导学生从中心对称的概念出

39、发进行思考，发现成中心对称的心对称的概念出发进行思考，发现成中心对称的两点所连线段与对称中心的关系。两点所连线段与对称中心的关系。 对于对于在平面直角坐标系中两个关于原点对称的点在平面直角坐标系中两个关于原点对称的点的坐标间的关系，教科书首先安排了一个探究活的坐标间的关系，教科书首先安排了一个探究活动，让学生通过探究，归纳得到有关结论。动，让学生通过探究，归纳得到有关结论。 本本章章中，中，许多图形可以看成由基本图形经过旋转许多图形可以看成由基本图形经过旋转得到。为了更好地认识图形，本章在例题和习题得到。为了更好地认识图形，本章在例题和习题中安排了许多探索和发现图形之间变化关系的问中安排了许多

40、探索和发现图形之间变化关系的问题。探索和发现图形之间的变化关系也有助于学题。探索和发现图形之间的变化关系也有助于学生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。 3. 3. 完整介绍旋转作为一种图形的变换的教学内完整介绍旋转作为一种图形的变换的教学内容容 在在学习本章前，学生已经学习了平移与轴对称，学习本章前，学生已经学习了平移与轴对称，对于图形的变换已经有所认识。一般地，学习一种对于图形的变换已经有所认识。一般地，学习一种图形的变换大致包括以下内容：图形的变换大致包括以下内容：（1）通过具体实例认识这种图形的变换；）通过具体实例认识这种图形的变换；（2

41、）探索图形变换的性质；）探索图形变换的性质；（3）作出一个图形经过变换后的图形；）作出一个图形经过变换后的图形；（4）利用图形的变换进行图案设计；）利用图形的变换进行图案设计；（5）用坐标表示图形的变换。）用坐标表示图形的变换。本章本章“旋转旋转”的学习也是从以上几个方面展开的，即介的学习也是从以上几个方面展开的，即介绍旋转、中心对称的概念、性质，作出一个图形旋转（绍旋转、中心对称的概念、性质，作出一个图形旋转（中心对称）后的图形，用旋转（中心对称）进行图案设中心对称）后的图形，用旋转（中心对称）进行图案设计，用坐标表示图形旋转（中心对称）。当然，由于一计，用坐标表示图形旋转（中心对称）。当然

42、，由于一般旋转的坐标表示比较难，本章正文中只涉及了一些特般旋转的坐标表示比较难，本章正文中只涉及了一些特殊角的旋转用坐标表示的问题，如以原点为对称中心的殊角的旋转用坐标表示的问题，如以原点为对称中心的中心对称的坐标表示，在数学活动和习题中则涉及用坐中心对称的坐标表示，在数学活动和习题中则涉及用坐标表示以原点为旋转中心、旋转角为直角的旋转。标表示以原点为旋转中心、旋转角为直角的旋转。（三（三） 对教学的对教学的几个几个建议建议 1. 注意相近概念间的联系与区别注意相近概念间的联系与区别 与与轴对称和轴对称图形间的关系类似，在这一章轴对称和轴对称图形间的关系类似，在这一章中的中心对称概念和中心对称

43、图形概念既不相同又中的中心对称概念和中心对称图形概念既不相同又联系紧密。联系紧密。 中心对称中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指和中心对称图形的区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，成中心对称的两个全等图形之间的相互位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上；所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中而中心对称图形是指一个图形本身成中心

44、对称，中心图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个心图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个图形本身上。图形本身上。 中心对称中心对称和中心对称图形的联系：如果把关于某点和中心对称图形的联系：如果把关于某点中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，也可以看成是关于某点对称的两个图形。也可以看成是关于某点对称的两个图形。 教学教学中应帮助学生弄清这两个概念的区别和联系，中应帮助学生弄清这两个概念的区别和联系，获得正确的认识，能够正确地使用这两个概念。获

45、得正确的认识，能够正确地使用这两个概念。 2. 适当借助计算机画图软件进行教学适当借助计算机画图软件进行教学 目前目前，计算机画图软件的功能已经很强大，应该，计算机画图软件的功能已经很强大，应该结合教学内容，适当借助计算机画图软件来辅助教结合教学内容，适当借助计算机画图软件来辅助教学。对本章，着重在两方面考虑软件的应用：发现学。对本章，着重在两方面考虑软件的应用：发现有关的几何结论、图案设计。有关的几何结论、图案设计。 借助计算机画图软件（如几何画板软件），可以容借助计算机画图软件（如几何画板软件），可以容易地作出图形绕某一点易地作出图形绕某一点O旋转一个角度后的图形，因旋转一个角度后的图形，

46、因而可以容易地作出一个图形关于某点（如原点而可以容易地作出一个图形关于某点（如原点O）的）的中心对称图形。还可以借助软件的度量功能中心对称图形。还可以借助软件的度量功能,发现对应发现对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。利用软件的度量功能，容易发段的夹角等于旋转角。利用软件的度量功能，容易发现：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反。现：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反。画图软件的功能常常很强大，对于图形性质的探究和画图软件的功能常常很强大，对于图形性质的探究和发现会很有帮助。发现会很有帮助。 利用利用计算

47、机画图软件进行图案设计常常很有效，计算机画图软件进行图案设计常常很有效，能够发挥软件的强大功能，有时即使从一个很简单能够发挥软件的强大功能，有时即使从一个很简单的图案出发，经过旋转等进行图案的设计，往往能的图案出发，经过旋转等进行图案的设计，往往能得到很漂亮、多样化的图案。有条件的话，可以让得到很漂亮、多样化的图案。有条件的话，可以让学生发挥自己的想象力，进行这方面的尝试，这对学生发挥自己的想象力，进行这方面的尝试，这对培养学生的审美意识，发挥数学教育的美育功能会培养学生的审美意识，发挥数学教育的美育功能会起一定的作用。起一定的作用。3. 注意知识的前后联系注意知识的前后联系 同同平移、轴对称

48、一样，已知图形经过旋转得到平移、轴对称一样，已知图形经过旋转得到一个新图形。平移、轴对称不改变图形的形状和大一个新图形。平移、轴对称不改变图形的形状和大小，旋转也具有这样的性质，实际上，平移、轴对小，旋转也具有这样的性质，实际上，平移、轴对称和旋转都是全等变换。以后要学的相似则不具有称和旋转都是全等变换。以后要学的相似则不具有这个性质。在本章的教学中，应该注意知识的前后这个性质。在本章的教学中，应该注意知识的前后联系，把旋转和以前所学的平移、轴对称作适当类联系，把旋转和以前所学的平移、轴对称作适当类比，帮助学生学习本章的知识。比，帮助学生学习本章的知识。 在在作已知图形平移后的简单几何图形，或

49、作与已作已知图形平移后的简单几何图形，或作与已知简单几何图形成轴对称的图形时，只要先确定已知简单几何图形成轴对称的图形时，只要先确定已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对应知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对应点，就可以画出整个图形经过平移或轴对称后的图点，就可以画出整个图形经过平移或轴对称后的图形，这种方法对于作已知简单几何图形旋转后的图形，这种方法对于作已知简单几何图形旋转后的图形也适用，教学中可以引导学生进行类比。形也适用，教学中可以引导学生进行类比。 从从坐标的关系来认识几何变换，对于更好地认识坐标的关系来认识几何变换，对于更好地认识几何变换很有帮助，这在数学中是一个重要的

50、课题几何变换很有帮助，这在数学中是一个重要的课题，而在计算机技术广泛应用的现在，这方面的知识，而在计算机技术广泛应用的现在，这方面的知识应用相当广泛。本章在这方面比较重视，安排了一应用相当广泛。本章在这方面比较重视，安排了一些有关内容，如发现关于原点对称的点的坐标之间些有关内容，如发现关于原点对称的点的坐标之间的关系，在本章的的关系，在本章的“数学活动数学活动”的两个活动内容都的两个活动内容都是这类问题，也增写了一些相关的习题。是这类问题，也增写了一些相关的习题。 本章的第本章的第2个数学活动就是从坐标的角度揭示了中个数学活动就是从坐标的角度揭示了中心对称与轴对称的关系。一般地，点心对称与轴对

51、称的关系。一般地，点A（x，y）关于）关于x轴的对称点轴的对称点B的坐标是（的坐标是（x，y），点），点B（x，y）关）关于于y轴的对称点轴的对称点C的坐标是（的坐标是（x，y）。因为点）。因为点A的的坐标是（坐标是（x，y），点），点C的坐标是（的坐标是（x，y），所以点），所以点A与点与点C关于原点对称。由此可知，将一点作上述两次关于原点对称。由此可知，将一点作上述两次轴对称相当于作出这个点关于原点的对称点。在教学中轴对称相当于作出这个点关于原点的对称点。在教学中对图形作变换后点的坐标的变化规律问题要给以适当的对图形作变换后点的坐标的变化规律问题要给以适当的重视。重视。第二十四章第二十四章

52、 圆圆24.1 24.1 圆的有关性质圆的有关性质 5 5课时课时24.2 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系 5 5课时课时24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆 2 2课时课时24.4 24.4 弧长和扇形的面积弧长和扇形的面积 2 2课时课时数学活动数学活动小结小结 2 2课时课时（一）内容安排（一）内容安排 24.1 24.1 圆的有关性质圆的有关性质 圆的概念（发生法、集合）圆的概念（发生法、集合）有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、 等弧）等弧）垂径定理（证明选学），轴对称性垂径定理（证明选学），轴对

53、称性弧、弦、圆心角的关系，旋转对称性弧、弦、圆心角的关系，旋转对称性圆周角定理、推论，圆内接四边形的性质圆周角定理、推论，圆内接四边形的性质 重点：重点：垂径定理、弧弦圆心角的关系垂径定理、弧弦圆心角的关系 圆周角定理圆周角定理 难点：难点：对垂径定理的理解，圆周角定理证明对垂径定理的理解，圆周角定理证明 变化变化 按照按照“介绍概念介绍概念研究性质研究性质”的方式安排的方式安排“垂径定理垂径定理”“”“弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系”“”“圆周角定理圆周角定理”的内容，不追求联系实际的引的内容，不追求联系实际的引入方式，体现几何问题的研究思路。入方式，体现几何问题的研究思路。 发现

54、轴对称性发现轴对称性 证明轴对称性证明轴对称性 证明垂径定理证明垂径定理 解决赵州桥的问题（应用）解决赵州桥的问题（应用） 24.2 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 三种位置关系三种位置关系 数量表示数量表示 过三点的圆过三点的圆 反证法反证法 三角形的外接圆三角形的外接圆直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 三种位置关系三种位置关系 数量表示数量表示 切线的判定和性质切线的判定和性质 切线长切线长 三角形的内切圆三角形的内切圆重点：重点：位置关系，切线的判定和性质位置关系，切线的判定和性质难点：难点：反证法，切线的判定和性质反

55、证法，切线的判定和性质 变化变化 “圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系”变为选学变为选学 24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆 正多边形和圆类似的性质正多边形和圆类似的性质 轴对称轴对称 中心对称中心对称 等分圆周等分圆周正多边形正多边形 正多边形的相关概念正多边形的相关概念 中心、半径、中心、半径、 中心角、边心距中心角、边心距 正多边形的计算正多边形的计算 画正多边形画正多边形 量角器量角器 尺规尺规 阅读与思考：圆周率阅读与思考：圆周率 重点：重点：正多边形的有关计算正多边形的有关计算 难点：难点：对于对于 n n 的理解的理解 24.4 24.4 弧长和扇形的面积弧长和扇形的面积

56、 弧长弧长 扇形面积扇形面积 圆锥的侧面积圆锥的侧面积扇形的面积扇形的面积 实验与探究实验与探究 设计跑道设计跑道 变化变化 直接通过提问题进入弧长和扇形面积的学习直接通过提问题进入弧长和扇形面积的学习增加数增加数学活动：学活动：车轮做车轮做成圆形成圆形的数学的数学道理道理二、编写时考虑的几个问题二、编写时考虑的几个问题1.1.突出图形性质的探索过程，突出直观感突出图形性质的探索过程，突出直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合知、操作实验和逻辑推理的有机结合 轴对称性轴对称性 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 旋转对称性旋转对称性 弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系 观察、度量观

57、察、度量 圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系 直观操作直观操作 点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系 观察、操作、探究观察、操作、探究证明证明 2. 2.注意联系实际，体现知识的背景和应注意联系实际，体现知识的背景和应用。帮助学生从生活中发现问题，利用所用。帮助学生从生活中发现问题，利用所学知识解决生活中的问题。学知识解决生活中的问题。 联系实际引入概念 联系实际引入定理 所学知识的实际应用 例、习题中的实际例子 3.3.渗透一般与特殊、未知与已知转化等渗透一般与特殊、未知与已知转化等数学思想方法数学思想方法 转化的

58、思想转化的思想 正多边形的有关计算正多边形的有关计算直角三角形直角三角形 正多边形的画图正多边形的画图等分圆周等分圆周 分类的方法分类的方法 对圆周角定理的讨论对圆周角定理的讨论 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 辩证唯物主义观点辩证唯物主义观点 圆的性质的内在联系圆的性质的内在联系 一般与特殊一般与特殊 4重视知识间的联系与综合，实现图形的性重视知识间的联系与综合，实现图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机质、图形的变化和图形的证明的有机结合结合 圆和直线形的有关问题圆和直线形的有关问题对照对照 “不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确

59、定一个圆”时，可时，可以和以和“两点确定一条直线两点确定一条直线”对照对照， 加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用作用 小学学的小学学的圆圆定义定义 集合语言重新描述集合语言重新描述 圆圆及正多边形的及正多边形的计算计算 直角三角形直角三角形的知识的知识、圆、圆的周长与面积的的周长与面积的知识知识 充分利用圆的充分利用圆的对称性对称性 轴对称性轴对称性垂垂径定理径定理，切线长定理，切线长定理 旋转对称性旋转对称性弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系三、对教学的几个建议1.1.进一步培养推理论证能力进一步培养推理论证能力 规范的证明方法（规范的证明方法（“

60、推出推出”的形式）的形式） 探索的证明方法（切线长、垂径定理）探索的证明方法（切线长、垂径定理） 由定理得到退论由定理得到退论 反证法（过三点的圆、切线的性质）反证法（过三点的圆、切线的性质） 注意复习有关直线形的知识，加强解决问题思注意复习有关直线形的知识，加强解决问题思路的分析路的分析 圆周角定理证明思路的分析圆周角定理证明思路的分析 2.2.加强研究方法的引导，通过类比学习加强研究方法的引导，通过类比学习相关内容相关内容 圆的性质是通过与圆有关的线段（如直径、圆的性质是通过与圆有关的线段（如直径、弦、切线等）和角（如圆心角、圆周角等）体弦、切线等）和角（如圆心角、圆周角等）体现的现的 垂