理论力学第13章 机械振动基础-48

1、第第13章章 机械振动基础机械振动基础13-1 机械振动及其描述机械振动及其描述13-2 单自由度系统振动单自由度系统振动13-3 两自由度系统振动两自由度系统振动13-4 机械振动的工程应用机械振动的工程应用2022-3-9理论力学2 13.1.1机械振动现象机械振动现象 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利：利：振动给料机振动给料机 弊：弊：磨损，减

2、少寿命，影响强度磨损，减少寿命，影响强度 振动筛振动筛 引起噪声，影响劳动条件引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。为人类服务。 振动的利弊振动的利弊：所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。13-1 机械振动及其描述机械振动及其描述2022-3-9理论力学3振动系统模型振动系统模型1. 力学模型力学模型连续系统连续系统实际工程结构的物理参数，例如板壳、梁、轴实际工程结构的

3、物理参数，例如板壳、梁、轴等的质量及弹性，一般是连续分布的，保持这种特点等的质量及弹性，一般是连续分布的，保持这种特点抽象出的模型中的系统称为抽象出的模型中的系统称为连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统。离散系统离散系统绝大多数场合中，为了能够分析或者便于分析，绝大多数场合中，为了能够分析或者便于分析，需要通过适当的准则将分布参数需要通过适当的准则将分布参数“凝缩凝缩”成有限个离成有限个离散的参数，这样便得到散的参数，这样便得到离散系统离散系统。 2022-3-9理论力学42. 自由度自由度自由度数自由度数是指完全描述该系统一切部位在任何瞬是指完全描述该系统一切部位在任何瞬时的位置所需

4、要的时的位置所需要的独立坐标独立坐标的数目的数目。力学模型力学模型离散系统离散系统连续系统连续系统自由度数自由度数多自由度系统多自由度系统无限自由度系统无限自由度系统参数特征参数特征集中参数系统集中参数系统分布参数系统分布参数系统数学工具数学工具常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程最简模型最简模型单自由度系统单自由度系统一维振动一维振动2022-3-9理论力学53. 振动系统：振动系统：按运动微分方程的形式分按运动微分方程的形式分振动振动/ /系统分类系统分类运动方程运动方程线性叠加原理线性叠加原理线性振动线性振动/ /系统系统线性微分方程线性微分方程成立成立非线性振动非线性振动/ /系统

5、系统 非线性微分方程非线性微分方程不成立不成立2022-3-9理论力学64. 振动分类振动分类 按激励的有无和性质分按激励的有无和性质分振动分类振动分类定义定义特点与例子特点与例子固有振动固有振动无激励时系统所有可能运动的无激励时系统所有可能运动的集合集合不是现实的振动，不是现实的振动，仅反映系统关于振动仅反映系统关于振动的固有属性。的固有属性。自由振动自由振动激励消失后系统所作的振动激励消失后系统所作的振动是现实的振动。是现实的振动。强迫振动强迫振动系统在外界激励下所作的振动系统在外界激励下所作的振动随机振动随机振动系统在非确定性的随机激励下系统在非确定性的随机激励下所作的振动。所作的振动。

6、包括物理参数具有随机性质的系统发生包括物理参数具有随机性质的系统发生的振动。行驶在公路上的汽车的振动。的振动。行驶在公路上的汽车的振动。自激振动自激振动系统受到由其自身运动诱发出系统受到由其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的来的激励作用而产生和维持的振动。振动。系统包含有补充能量的能源系统包含有补充能量的能源。演奏提琴演奏提琴所发出的乐声所发出的乐声, , 是琴弦作自激振动所致。是琴弦作自激振动所致。车床切削加工时在某种切削用量下所发车床切削加工时在某种切削用量下所发生的激烈的高频振动生的激烈的高频振动, , 架空电缆在风作架空电缆在风作用下所发生的与风向垂直的上下振动以用下所发生的与风

7、向垂直的上下振动以及飞机机翼的颤振等。及飞机机翼的颤振等。参数振动参数振动激励因素以系统本身的参数随激励因素以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。时间变化的形式出现的振动。秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，的激励以摆长随时间变化的形式出现，摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。2022-3-9理论力学7(2)Af 振幅圆频率初相角13.1.2. 13.1.2. 简谐振动简谐振动 -最基本的周期振动最基本的周期振动 1. 表示表示 2. 三要素三要素( )sin()x tAt2022-3-9理

8、论力学812Tf3. 周期与频率周期与频率周期周期 T 频率频率 f12fT单位：单位：T：s(秒秒) f：Hz(赫兹赫兹) ：rad/s2022-3-9理论力学94. 位移、速度与加速度位移、速度与加速度位移位移 速度速度加速度加速度( )sin()xx tAt( )cos()sin()2dx txAtdtAt2222( )sin()sin()d x txAtdtAt 2022-3-9理论力学105. 位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系(1) 位移、速度与加速度均为简谐函数，且同频。位移、速度与加速度均为简谐函数，且同频。(2) 速度超前位移速度超前位移90，加速度超前位移，加速度

9、超前位移180。(3) 加速度与位移关系：加速度与位移关系： 加速度与位移成正比加速度与位移成正比, 方向相反方向相反, 指向平衡位置。指向平衡位置。2xx 2022-3-9理论力学11旋转矢量旋转矢量简谐振动表示简谐振动表示位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系xxoM tMxoA xoAAA26. 旋转矢量表示旋转矢量表示( )sin()x tAt2022-3-9理论力学12()itzAe( )Im( )sin()x tzAt( )ii ti tz tAeeAeiAAe旋转矢量旋转矢量复振幅，包含振幅和相位信息复振幅，包含振幅和相位信息cos()sin()AtiAt7.复数表示复数表

10、示2022-3-9理论力学13二二. 简谐振动合成简谐振动合成1. 两个同频率振动合成两个同频率振动合成111( )sin()x tAt12( )( )( )sin()x tx tx tAt2211221122(sinsin)(coscos)AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA222( )sin()x tAt同频振动合成同频振动合成x x(t)oAA11A222022-3-9理论力学14111222( )sin( )sinx tAtx tAt二二. 简谐振动合成简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成两个不同频率振动合成(1) 1与与 2之比为有理数之比为有理数1122

11、1222mmnTmTnTn设12( )( )( )x tx tx t12112212()()()()()( )( )( )x tTx tTx tTx tmTx tnTx tx tx t2022-3-9理论力学15111222( )sin( )sinx tAtx tAt二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成两个不同频率振动合成(1) 1与与 2之比为有理数之比为有理数T为为x1(t)和和x2(t)合成之周期合成之周期。结论结论： 两不同频振动合成不再为简谐振动。但两不同频振动合成不再为简谐振动。但频率比为有理数时，可合成为周期振动。合频率比为有理数时，可合成为周期振动。合成振动周期为两简谐

12、振动周期之最小公倍数成振动周期为两简谐振动周期之最小公倍数。2022-3-9理论力学16( )2cossin2( )sinx tAttA tt1212AAA若，设(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数结论结论:无公共周期，合成振动为非周期振动。无公共周期，合成振动为非周期振动。111222( )sin( )sinx tAtx tAt21212 cossin22Att121122( )( )( )sinsinx tx tx tAtAt21212令：，( )2 cos2A tAt2022-3-9理论力学17(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数“拍拍”: 频率为频率为的变幅振动，振幅在的变

13、幅振动，振幅在02A之间之间缓慢周期变化。包络线为缓慢周期变化。包络线为A(t)，拍频为，拍频为 。2A124212tx(t)o2022-3-9理论力学18x(t) stl0kABxomgFm 物块质量物块质量 k 弹簧刚度弹簧刚度l0 弹簧自然长度弹簧自然长度 st弹簧静变形弹簧静变形静止时静止时0,0 xstFmgk运动时运动时0,()xstFmgkxmx13.2.1 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 1.1.单自由度弹簧质量系统模型单自由度弹簧质量系统模型13-2 单自由度系统振动单自由度系统振动2022-3-9理论力学19静止时静止时0,0 xstFmgk运动时运动时0,()x

14、stFmgkxmx0mxkx20nxx13.2.1 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 1.1.单自由度弹簧质量系统模型单自由度弹簧质量系统模型固有圆频率式中mkn无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程2022-3-9理论力学202.2.固有频率固有频率sin2200nn1n00 xAxx(t)A(t)xtgx 02xxn 振动方程：cossin00nnnxxxtt 0102nxCxC 00t0,xxxx初始条件：cossin1n2n12xCtCt,CC通解：、积分常数无阻尼自由振动无阻尼自由振动周期周期22nmTk 固有频率固有频率1122nnkfTm 2nnf2022-3-9理

15、论力学213.3.振幅与相位振幅与相位初始条件：初始条件：tx()xx()x 时， 初始位移：初始速度：cossinnnnxx(t)x(t)(t),t 时刻后自由振动解时刻后自由振动解：对于对于t=0初始条件：初始条件：000(0)(0)=txxxx，00(t)cossin0nnnxxxtt,t 22-10000tgnnxxAxx ，2022-3-9理论力学224.弹簧串并联弹簧串并联1.1.并联弹簧并联弹簧变形相等变形相等21kkKe等效弹簧刚度等效弹簧刚度stl0mgF1 F2k1 k2stl0mgFKeststststkkkkFFkF)(2121212022-3-9理论力学232.2.串

16、联弹簧串联弹簧受力相等受力相等2121kkkkKe等效弹簧刚度等效弹簧刚度stststlllll21210l0stmgFKe1stl1l22st21111kkKe21kmgkmgKmge21111kkKek1k2mgF2022-3-9理论力学24固有频率计算固有频率计算 静变形法静变形法stkmgstngmk2022-3-9理论力学2513.2.213.2.2计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法: :原理与方法原理与方法对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。恒原理建立自由振

17、动微分方程，或直接求出系统固有频率。方法方法设系统任一瞬时的动能及势能分别为设系统任一瞬时的动能及势能分别为T及及U，由机械能守恒，由机械能守恒有有()dTU0dt将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，并求出系统固有频率。并求出系统固有频率。原理原理2022-3-9理论力学26例例1 1 弹簧质点系统弹簧质点系统 212Tmx212x0Ukxdxkx动能动能势能势能2211()()022()0ddTUmxkxdtdtmxkx x0kxxm 由于速度不可能恒为零由于速度不可能恒为零k2022-3-9理论力学27122maxma

18、xTmx122maxmaxUkx在静平衡位置，在静平衡位置，系统势能为零，动能最大系统势能为零，动能最大在最大位移处，在最大位移处，系统动能为零，势能最大系统动能为零，势能最大maxmaxTUmaxnmaxxx nkm 固有圆频率能量守恒能量守恒考虑两个特殊位置上系统能量：考虑两个特殊位置上系统能量： 由于系统的固有振动是以固有频率为振动频率由于系统的固有振动是以固有频率为振动频率的简谐振动，所以最大速度与最大位移有关系：的简谐振动，所以最大速度与最大位移有关系：2022-3-9理论力学28例例2 位移计位移计k2 BWk1bcO质量块重质量块重W,摇臂摇臂AB绕支点绕支点O的转动惯量的转动惯

19、量为为I,两弹簧刚度为两弹簧刚度为k1,k2,求系统固有频率。求系统固有频率。解解211()222mmaxmWxTxIgb211()222max1m2mcUk xkxb最大动能最大动能最大势能最大势能1()22212m2ckk xb1()222mn2WIxgb 设质量块最大速度和最大位设质量块最大速度和最大位移为移为mmxx ，2/mmxbkcxb摇臂最大角速度弹簧 最大伸长量2022-3-9理论力学29例例2 位移计位移计k2 BWk1bcOmaxmaxUT22221/)/(bIgWkbckn能量守恒能量守恒1()222max12m2cUkk xb1()222mn2WITxgb max202

20、2-3-9理论力学30例3 圆柱体微振动圆柱体微振动重重W半径半径r的圆柱体在半径为的圆柱体在半径为R圆柱面内作无圆柱面内作无滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微振动的微分方程和固有频率。振动的微分方程和固有频率。解解 设角坐标设角坐标 ，系统势能为，系统势能为2/)()cos1)(2rRWrRWUA为瞬心，为瞬心，质心线速度为质心线速度为设圆柱体转动角速度为设圆柱体转动角速度为 rrRrrRvc/)()(系统动能系统动能222222)(43)(21(2121rRgWrrRrgWrgWITA)( 320)( 320)()(232rRgrRgrRWrRgWn

21、2022-3-9理论力学31 13.2.3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼称为粘性阻尼。vcR投影式：投影式：xcRx c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。粘性阻尼系数，简称阻尼系数。2022-3-9理论力学32 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振

22、动微分方程及其解： 质量质量弹簧系统存在粘性阻尼：弹簧系统存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 则令有阻尼自由振动微分方程的标准形式。有阻尼自由振动微分方程的标准形式。2022-3-9理论力学33 其通解分三种情况讨论：其通解分三种情况讨论： 1、欠阻尼情形、欠阻尼情形mkcnn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振动的圆频率有阻尼自由振动的圆频率则时设 , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn2022-3-9理论力学34 衰减振动的特点：衰减振动的特点：(1) 振动周期变大，振动周期变

23、大， 频率减小频率减小。mkcnnTnndd212 222222阻尼比阻尼比有阻尼自由振动：有阻尼自由振动：当当 时，时，可以认为可以认为nn1TTdnd 222111ndddffTT2022-3-9理论力学35 (2) 振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对数减缩率对数减缩率212lnln21dnTiinTeAAdddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相邻两次振幅之比相邻两次振幅之比2022-3-9理论力学36 2、临界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数临界阻尼系数) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 时 可见，物体的运动随时间

24、的增长而无限可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。 2022-3-9理论力学37 )(222221 tn tnntnneCeCex代入初始条件代入初始条件) , , 0(00 xxxxt 时220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，增长，x 0，不具备振动特性。，不具备振动特性。2022-3-9理论力学38 例例3 质量弹簧系统，质量弹簧系统

25、，W=150N， st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数求阻尼系数c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于由于 很小，很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc2022-3-9理论力学39 13.2.4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力：简谐激振力： H力幅；

26、力幅； 激振力的圆频率激振力的圆频率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 则令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解2022-3-9理论力学40 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为特解为特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：全解为：稳态强迫振动稳态强迫振

27、动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。质量及刚度系数无关。2022-3-9理论力学41(1) =0时kHhbn20 (2) 时，振幅时，振幅b随随 增大而

28、增大；当增大而增大；当 时，时，n bn(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差时，振动相位与激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 随随 增大而减小；增大而减小； 0 ; , 20bbbn时时 振幅比或称动力系数振幅比或称动力系数 频率比频率比 曲线曲线 幅频响应曲线幅频响应曲线 （幅频特性曲线）（幅频特性曲线）12022-3-9理论力学42 4、共振现象、共振现象 , 时nb ，这种现象称为共振。，这种现象称为共振。此时，此时，)cos(2tBtxn)cos(2 2 , 2 2ttbxthbhBnnnn2022-3-9理论力学43 13.2.5 单自由度系统的有阻尼强迫振动单自

29、由度系统的有阻尼强迫振动一、有阻尼强迫振动微分方程及其解一、有阻尼强迫振动微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin , , tHxckxxmsin 将上式两端除以将上式两端除以m ，并令，并令mHhmcnmkn ; 2 ; 2thxxnxnsin22 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。分方程。21xxx2022-3-9理论力学44 x1是齐次方程的通解是齐次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 积分常数，取决于初始条件）积分常数，取决于初始条件）x2 是特解：是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理代入标准形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 强迫振动的振幅强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为振动微分方程的全解为)sin()sin(22tbtAexnnt 衰减振动衰减振动 强迫振动强迫振动2022-3-9理论力学45 振动开始时，二者同时存在的过程振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程仅剩下强迫振动部分的过程稳态过程。需着重讨论部分。稳态过程。需着重讨论部分。 nnnbb ; , 0令 频率比频率比 振幅比振幅比 阻尼比阻