大学数学(高数微积分)第二章行列式第四节(课堂讲义)

1、行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题，n 级行列式共有 n! 项，计算它就需做n!(n - 1) 个乘法.当 n 较大时，n! 是一个相当大的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事因此我们有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算. nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111=把行列式 D的行列互换所得新行列式叫做 D的，记作 . 性质 1 即为 D = DT. 记 D = det( aij ) 的转置行列式为,212222111211TnnnnnnbbbbbbbbbD即 bij = aj

2、i ( i, j = 1, 2, , n ), ,) 1() 1(2121T2121njjjtnjjjtnnaaabbbD由定义4，有,) 1(2121njjjtnaaaD故 DT = D. 按定义 由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位,对于行成立的性质对于列也同样成立, 所以下面只讨论有关行列式行的性质在行列式的定义中，虽然每一项是 n 个元素的乘积，但是由于这 n 个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的 n 个元素(譬如ai1, ai2, ,ain)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.所以，n 级行列式的 n! 项可以分成n 组，第一组的项都含有 ai1

3、，第二组的项都含有ai2等等.再分别把 i 行的元素提出来，就有ininiiiinnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa2211212222111211其中 Aij 代表那些含有 aij 的项在提出公因子 aij 之后的代数和.至于Aij 究竟是哪些项的和我们到第六节再来讨论.从以上讨论可以知道， Aij 中不再含有第 i 行的元素，也就是Ai1 ， Ai2 ， Ain .由此即得性质 2.nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211这就是说，nnnniniinaaakakakaaaa212111211)(2211ini

4、niiiiAaAaAakininiiiiAkaAkaAka2211).det(ijak .在本教案的演算系统中，作如下规定nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211这就是说，设这一行是第 i 行，于是nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211innniiAcbAcbAcb)()()(222111)(2211inniiAbAbAb)(2211inniiAcAcAcnnnnnnnnnnnnaaacccaaaa

5、aabbbaaa212111211212111211性质 3 可以推广到某一行为多组数的和的情形，这里略.设行列式nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nkinnkinjkjijjjjjjjjaaaa1111)() 1(中第 i 和与第 k 行相同，即., 2 , 1,njaakjij为了证明该性质，只须证明上述展开式中所有n! 项全部能两两相互抵消即可.事实上，与项nkinkinjkjijjjjjjaaaa111)() 1(nikniknjijkjjjjjjaaaa111)() 1(同时出现的还有比较这两项，由已知有.,kkiikjijkjijaaaa也就是

6、说，这两项有相同的数值.但是排列nkijjjj1nikjjjj1与相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反.易知，全部 n 级排列可以按上述形式两两配对.因而，上述展开式中的每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式为零.nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211=0,这里第一步是根据性质2，第二步是根据性质4.nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211把行列式 D = det(aij) 的第 j 行的

7、 k 倍加到第 i 行(记为 )，得根据性质性质性质性质 3 3nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnnjnjjjnjjnaaaaaakakakaaaa21212111211根据nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211性质性质性质性质 5 5如果行列式中两行成比例，那么行如果行列式中两行成比例，那么行如果行列式中两行成比例，那么行如果行列式中两行成比例，那么行列式为零列

8、式为零列式为零列式为零. .nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211交换 i, j 两行记为 nnnnjnjjjninjijinaaaaaaaaaaaaaaa2121221111211nnnniniijninjijinaaaaaaaaaaaaaaa2121221111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211根据.21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaannnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211性质性质性质性质 2 2这就

9、是说，这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一一行的公因子可以提出去，或者说以一一行的公因子可以提出去，或者说以一一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以行列式数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以行列式数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以行列式数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以行列式. . 计算 n 级行列式.xaaaxaaaxDnxaaaxaanxanxanx) 1() 1() 1( r1+r2+rnDn=x + ( n - 1 )a xaaaxa111axax0000111ri - ar1i=2, 3 , ,n=x + ( n - 1)a = x + (

10、 n - 1 )a ( x - a )n-1 . 在本例中, 当 x = 3, a = 2, n = 6 时, 有 D6 = 13 .设 n 级行列式 D = det(aij) 的元素满足aij = - aji, i, j = 1, 2, , n,证明当 n 为奇数时，D = 0. 由已知可得 aii = - aii , 即aii = 0, i = 1, 2, , n,因此，行列式 D 为0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD则 D 的转置行列式为0000321323132231211312TnnnnnnaaaaaaaaaaaaD每行提出 -10000) 1(3213231322312113