2022年(教师版)考点专题二平面向量与复数

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -考点专题二平面对量与复数（ 2）【考情分析】从近四年高考试卷分析来看，本专题学问理科每年考查1 2 题，所占分值比例约为4.8% ，难易度以简单题、中等题为主，文科每年考查1 2 题，所占分值比例约为4.5%，难易度以 简单题为主，此学问是高考中的必考内容.此学问在近四年常以填空题、挑选题、 解答题的形式在高考题中显现，主要考查复数的四就运算，复平面等相关学问.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.【学问梳理】 重难点 1.复数的相等：两个复数z1abi a, bR, z2cdi c, dR ，当且仅当ac 且bd 时，z

2、1z2 . 特殊地，当且仅当ab0 时， abi0.2. 复数的模： 复数 z1abi a, bR 的模记作z 或 abi ， 有 zabia 2b 2 .3. 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数 z的共轭复数记作z, z 、 z 互为共轭复数 .假如 zabi , zabi a, bR ，就有 zR 的充要条件是zz; z是纯虚数的充要条件是 zz 且 z0.4.复平面在平面直角坐标系中，可以用点Z a, b 表示复数z1a bi a, bR ，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上， 称 x 、 y 轴分别为实轴和虚轴，并且复数集

3、C 和复平面内全部的点构成的集合建立一一对应关系.5.实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式b 24 ac0 时， 实系数一元二次方程 ax2bxc0 a, b, cR 且 a0在 复 数 集 中 有 一 对 互 相 共 轭 的 虚 数 根2xb4ac2a2ab i. 易错点 精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -131.在进行复数运算时，要敏捷利用i 和i 的性质，会适当变形，制造条件，22从而转化为关于i 和的运

4、算问题，并留意以下结论的敏捷运用： 1i 21i2i ；1ii ,1i1ii ； i 4n1,i 4n 1i , i 4 n 21,i 4n 3i nZ ；21322i1 ，31,120.2.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法就和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 zC 时不总是成立的： zm nzmn m, n 为分数）； zmznmnz1 ；22z1z20z1z20 ，zz2 .2【基础练习】1. 如复数 1bi 3i 是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），就 b .2. 设 z 2i 2 i为虚数单位） ，就复数z 的模为 .【答案】 5（ 2021 江苏）3. 已知复数z

5、的共轭复数z12i （ i 为虚数单位） ，就 z 在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B其次象限C第三象限D第四象限【解析】 z 的共轭复数z12i ，就 z12i ，对应点的坐标为1,2 ，故答案为D （ 2021福建理）4. 已知集合 M1,2, zi,i 为虚数单位，N3,4 ， MN4 ，就复数 z（）A. 2iB. 2iC. 4iD. 4i解析：由于M1,2, zi ， N3,4，由 MN4 ，得 4M ，所以 zi4 ，所以z4i .答案： C【命题立意】学问：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（ 2021 江西理）5. 如向量，满意 | | ，就与所成角的大小为 【答案

6、】 90°（ 2001 上春）6. 已知 zC ，且z22i1,i为虚数单位，就z22i的最小值是 B（A ） 2 .（ B） 3 .（ C） 4 .（D） 5 .（ 2021 上春）7. “2a2 ”是“实系数一元二次方程x2ax10 有虚根”的（）（ A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（ C）充要条件（D ）既不充分也不必要条件精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -解： 由实系数一元二次方程x2ax1 0 有虚根 , 可得

7、a 240 ,即可得a2, 2, 2,22,2 ,“2a2 ”是“实系数一元二次方程x2ax1 0 有虚根”的必要不充分条件,故应选 A（ 2021 上文）8. 设z1 、z2 是复数，就以下命题中的假命题是（）【答案】 D（ 2021 陕西理）A. 如z1z20 ，就 z1z2B. 如 z1z2 ，就 z1z2C. 如 z1z2 ，就 z1z1z2z2D .如 z1z2 ，就12zz22【 解 析 】 设 z1abi , z2cdi, 如| z1z2 |0， 就 | z1z2 |acbd i，ac, bd ，所以 z1z2 ，故 A 项正确；如z1z2 ，就ac,bd ，所以 z1z2 ，故

8、B 项正确；如| z1 | | z2|，就222abc2d，所以z1 .z1z2.z2，故 C 项正确；2222当 | z | | z |时，可取z1, zi ，明显 z1, z1，即 zz，假命题 .12121212【例题精讲】例 1. 已知复数z1 满意z121i 1i （ i 为虚数单位） ，复数z2 的虚部为 2 ， z1z2 是实数，求z2 .（ 2021 上）解： z121i 1iz12i设 z2a2i, aR ，就z1z22i a2i 2a24ai ，z1z2R ，z242i例 2. 已知 z 是复数， z2 i 、 z2i均为实数（ i 为虚数单位） ，且复数 za i 2 在

9、复平面上z2ix y2i，由题意得y2 .2i 2i 对应的点在第一象限，求实数a 的取值范畴 .（ 2005 上春）设 zxyi x、yR ，zx2i2i2i1 x51 2x251 x54 i由题意得x4 . z42i . zai 2124aa 2 8 a2i ，依据条件，可知124aa 28a200 ，解得2a6 ，实数 a 的取值范畴是2,6 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -例 3.已知复数 zabi （ a 、bR ） i

10、是虚数单位 是方程x24 x50 的根 复数 wu3i （ uR ）满意wz25 ，求 u 的取值范畴（2021 上文）解：原方程的根为x1, 22i,a,bR,z2i ,| wz | u3i 2i |u2 2425 ,2u6 例 4.对于复数 a,b, c, d，如集合 S a, b, c, d 具有性质“对任意x ，yS ，必有 xyS ”，a就当b 2c21,1 时， bcd 等于（）（2021 福建理）bA.1B.-1C.0D.i解法 1：由 b 21 ，得 b1或 b1 . 又a 1,由集合中元素的互异性知b1. 由c 2b ，即 c 21 ，得 ci 或 ci . （ 1）当 a1

11、, b1, ci 时， S1,1,i , d，由于集合S 具有性质“对任意x 、 yS ，必有 xyS ”，所以 aciS,bciS ，故 di ，bcd1. （ 2）当 a1,b1,ci 时， S1,1,i , d，由于集合 S 具有性质 “对任意 x 、 yS ，必有 xyS ”，所以 aciS, bciS ，故 di ，bcd1.a1,a1a1a1a1解法 2：b21 ，b 1 或b1或b1或b1 ，又由于集合中的元素具有c2bc 1c1cicia1a1互异性， 且对任意x ， yS ，必有 xyS ，所以b1 或b1 ，所以 bcd1 cicididi点评：（ 1）此题涉及复数与集合等

12、学问点，考查阅读与懂得、 信息迁移以及同学的学习潜力,考查同学分析问题和解决问题的才能，属于创新题型（ 2）解法 1 步步为营，借助“分类争论”求出不怜悯形下的c、d的不同取值，进而求出 bcd ；解法 2 直接解方程，然后验证条件，排除不满意的条件；明显解法1 优于解法 2（ 3）主要考查推理论证才能、运算求解才能、数据处理才能、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 4）与前

13、三年的复数、 集合题型有很大的不同， 往年较少显现复数与集合的交汇题型， 在题目的设计上更显新意， 虽然题型新奇， 但是万变不离其宗， 所以在复习中肯定要把握好基本学问（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新才能的要求逐步提高“出活题，考才能”就是要求同学能综合敏捷运用所学数学学问，思想方法，对新概念、新学问、 新信息、 新情形、 新问题进行分析，探究、 制造性地解决问题所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势【才能强化】1. 在复平面内，复数2i 2 对应的点位于 （ 2021 北京理）【答案】 DA. 第一象限B. 其次象限C.第三象限D.第四象限2. 如复数

14、 z 满意 34i z443i ，就 z 的虚部为（）（ 2021 全国新课标I 理）4A .4B .5C . 4D .5【命题意图】此题主要考查复数的概念、运算及复数模的运算，是简单题.22【解析】由题知z =| 43i |=43 34i 34=i ，故 z 的虚部为4，应选 D.34i34i 34i 5553. z2 mi, mR ，如 11z 对应点在其次象限，就m 的取值范畴为 .i4. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为点对应的复数为 .3 i 、1 i2 i 、0，就第四个顶5. 已知 z 为复数，就zz2 的一个充要条件是z 满意. （2003 上春）【答案】6.

15、设 集 合 My yco s2 xsin2x , xR ， Nx x1 i2,i为虚数单位，xR, 就MN 为 . 【答案】0,1（ 2021 陕西理）7. （ 2021 福建理第5 题） 满意a, b1,0,1,2，且关于 x 的方程ax22 xb0 有实数解的有序数对a, b 的个数为（）A 14B 13C 12D 10【答案】 B【解析】方程ax 22 xb0 有实数解，分析争论当 a0 时，很明显为垂直于x 轴的直线方程，有解此时b 可以取 4 个值故有4 种有序数对当 a0 时，需要44ab0 ， 即 ab1 明显有 3 个实数对不满意题意， 分别为（ 1,2），精选名师 优秀名师

16、- - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（2,1），（2,2）满足题意的a ,b的取值为1,0, 1,1, 1, 1, 1,2,1,1, 1,0, 1,1,2,1 ，（2,0），共 9 个.8. 在复数范畴内解方程2z zzi3ii 为虚数单位 （ 2005 上）2i解：原方程化简为z 2 zzi1i ,设 z=x+yix 、y R,代入上述方程得x2+y 2+2xi=1-i, x 2+y 2=1 且 2x=-1, 解得 x=-1 且 y=±3 ,2213原方程的解是z=-±i.229. 已知实数p 满意不等式2x1x20 ，试判定方程z22z5p 20，有无实根，并给出证明.（2004 上春）解：由2 x 1px 20 ，解得2x1 2p1 . 方程 z22z5p 20 的判别式4 p 24 .2222p1 ，124 ，0 ，由此得方程z22z5p 20 无实根 .410. 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 方 程ax 2bxc0