函数的最大小值与导数

1、3.3.3函数的最大(小)值与导数【选题明细表】知识点、方法题号函数极值与最值的关系1函数的最值2,3,6,13由函数最值求参数(或范围)4,5,7,10函数最值的应用9,11综合应用8,12【基础巩固】1.下列说法正确的是(D)(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值解析:由极值与最值的区别知选D.2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1

2、)(D)(A)有最大值,但无最小值(B)有最大值,也有最小值(C)无最大值,但有最小值(D)既无最大值,也无最小值解析:f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),因为x(-1,1),所以f(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D.3.函数f(x)=3x-x3(-x3)的最大值为(B)(A)18(B)2(C)0(D)-18解析:f(x)=3-3x2,令f(x)=0,得x=±1,-x<-1时,f(x)<0,-1<x<1时,f(x)>0,1<x3时,f(x)<0,故函数在x=-1处取极小值,在x=

3、1处取极大值.因为f(1)=2,f(-1)=-2,又f(-)=0,f(3)=-18,所以f(x)max=2,f(x)min=-18.故选B.4.(2019·大同高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(B)(A)0,1) (B)(0,1)(C)(-1,1)(D)(0,)解析:因为f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,可得a=x2有解,又因为x(0,1),所以0<a<1.故选B.5.(2019·东莞市高二期末)已知aR,若不等式ln x-+x-2>0对于任意x(1,+)恒成立,则a的取值范围为(C)(A)(-,2(B

4、)(-,1(C)(-,-1(D)(-,0解析:由已知得,a<xln x+x2-2x,x(1,+),令f(x)=xln x+x2-2x(x>1),则f(x)=ln x+2x-1,f(x)>0,f(x)在(1,+)递增,故f(x)>-1,故a-1.故选C.6.函数f(x)=,x-2,2的最大值是,最小值是. 解析:因为y=,令y=0可得x=1或-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以最大值为2,最小值为-2.答案:2-27.(2019·包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+1在0,1上的最小值为f(1),则a的取值

5、范围为. 解析:f(x)=2x+2a,f(x)在0,1上的最小值为f(1),说明f(x)在0,1上单调递减,所以x0,1时,f(x)0恒成立,f(1)=2+2a0,所以a-1.答案:(-,-18.(2019·北海高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最 小值.解:(1)f(x)定义域为R,因为f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)由(1)及已知,f(x)

6、在-2,-1上是减函数,在-1,2上是增函数,因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).于是有22+a=20,所以a=-2.所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.所以f(-1)=1+3-9-2=-7,即f(x)最小值为-7.【能力提升】9.已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且 f(x)<g(x),则f(x)-g(x)的最大值为(A)(A)f(a)-g(a)(B)f(b)-g(b)(C)f(a)-g(b)(D)f(b)-g(a)解析:f(x)-g(x)=f(x)-g(x)<0,

7、所以函数f(x)-g(x)在a,b上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A.10.(2019·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为(D)(A)1(B)(C)(D)解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.11.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是. 解析:函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数

8、g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在 (-,ln 2)上递增,在(ln 2,+)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为 (-,2ln 2-2,所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a2ln 2-2即可.答案:(-,2ln 2-212.(2019·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x2+ln x(aR).(1)当a=1时,求f(x)在区间1,e上的最大值和最小值;(2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x2+ln x,x>0,f(

9、x)=x+=;对于x1,e,有f(x)>0,所以f(x)在区间1,e上为增函数,所以f(x)max=f(e)=1+,f(x)min=f(1)=.(2)令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x2-2ax+ln x,在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+)上恒成立,因为g(x)=(2a-1)x-2a+=.若a>,令g(x)=0,得x1=1,x2=,当x2>x1=1,即<a<1时,在(x2,+)上有g(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+)上是增函数,当x+时,有(a-)x2-2ax+,ln x+,g

10、(x)g(x2),+),不合题意;当x2x1=1,即a1时,同理可知,g(x)在区间(1,+)上是增函数,当x+时,有(a-)x2-2ax+,ln x+,g(x)(g(1),+),也不合题意.若a,则2a-10,此时在区间(1,+)上恒有g(x)<0,从而g(x)在区间(1,+)上是减函数.要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-0,即a-,所以-a.综上所述,a的取值范围是-,.【探究创新】13.(2019·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在1,2上的最大值.解:因为f(x)=x2e-ax(a>0),所以f(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).令f(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.所以f(x)在(-,0),(,+)上是减函数,在(0,)上是增函数.当0<1,即a2时,f(x)在1,2上是减函数,所以f(x)max=f(1)=e-a.当1<<2,即1<a<2时,