考研数学三真题及答案解析

1、2011年考研数学(三)真题及答案详解一.选择题1.已知当x0时，函数f(x)>k一，、一3sinxsin3x与cx是等价无否小，则(A) k1,c4(B) k1,c4(C) k3,c4(D) k3,c42.已知fx在x0处可导，且f00,则2xfxlimx02fx3(A)2f0(B)(D)0U2 n收敛(B)若U2n 1n 1U2n收敛，则 Un收敛n 1(C)f03 .设Un是数列，则下列命题正确的是(A)若Un收敛，则U2n1n1n1U2 n收敛1 0 0记 P 11 0 ,P21 0 00 0 1 MA(C)若Un收敛，则U2n1n1n1(D)若U2n1U2n收敛，则Un收敛n1

2、n14 .设I4lnsinxdx,J4Incotxdx,K4Incosxdx,则I,J,K的大小关系是000(A) IJK(B) IKJ(C) JIK(D) KJI5 .设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B的第二行与第一行得单位矩阵0010101(B)PiP2(C) p2 H1(D) P2 R6 .设A为4 3矩阵,3是非齐次线性方程组 Ax的3个线性无关的解,k1, k2为任意常数，则Ax的通解为(A) -3 k12k2(C)工-21 k221k27.设 F1为两个分布函数，其相应的概率密度f1f2x是连续函数,则必为概率密度的是(A) f1(C) f1(D) f1 x

3、F2 xf2 x F1 x8 .设总体X服从参数为0的泊松分布，X1,X2,L ,Xn n 2为来自总体的简单随机样本,则对应的统计量T1一Xi , T2 n i 11 n 11J。(8) 2f2xF1x(A) ET1ET2,DT1DT2(B) ET1ET2,DT1DT2(C) ET1ET2,DT1DT2(D) ET1ET2,DT1DT2二、填空题x9.设f(x)limx(13t)t,则f(x)xx7.10.设函数z(1一)，则dzy(1,0)11 .曲线tan（xy）ey在点（0,0）处的切线方程为412 .曲线yJx21,直线x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为13 .

4、设二次型f（x1,x2,x3）xTAx的秩为1,A中行元素之和为3,则f在正交变换下xQy的标准为22一一._214 .设二维随机变量(X,Y)服从N(,;,；0),则E(XY)三、解答题15-求极限ljmo1 2sin x xxln(1 x)16.已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)2是f(u,v)的极值，zf(xy),f(x,y)xy(1,1)17.求arcsin、x ln x 一国dx18.证明4arctan x x - V3 0 恰有32实根.19. f(x)在0,1有连续的导数，f(0)1,且 f (x y)dxdy f (x y)dxdyDtDtDt(x,y)10

5、yt,0xt(0t1),求f(x)的表达式。20.11,0,1 T, 20,1,1T , 31,3,5 T不能由 11,a,1 T, 21,2,3 T, 31,3,5 T线性表出。求a；将1, 2 , 3由1, 2 3线性表出。1121.A为三阶实矩阵，R（A）2,且A0011（1）求A的特征值与特征向量（2）求A22.P X2Y21X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）X,Y的分布；（2）ZXY的分布；（3）XY23.X,Y在G上服从均匀分布，G由xy0,xy2与y0围成。求边缘密度fX（x）；求fXY（x|y）2011年全国帧士?形注入转一考试数学三试题答案、选他（I

6、T小心酬越4分，共32分.宜海螺出的口阶选«中.只有介选项符合题目要求，请娥选项前的字母蟠答碑指定位置匕)(1)【答案】。.【啷】因为lim.7)3sinx-sinlr3sin.r 一 sin xoos2x-cos*si n 2r6人sinx(3-cos2v-2cos23-cos2y-2cos2x= lim、T)#3二 limr 4-4cos x t. 4§nrx Inn二 hm.11 &T f Cfd所以c=4次=3,魔滁迷(C).【答案】(H).【解析】lim kTJ口(力2/X-X=lim-X/>夕-外一纱十2/(0)二 limr旬/()-/(0)V(x

7、3)-/(0)2：(3)【答案】(A).【解析】方法1：数礴傲的性质：收敛级数任概劭1括金司败敛，故(A浦确方法2：扑除抬举反例.选项(H)取这时S)%” i+也 /r=l)二Zoq嫩,但娜，小姆巾(B)惜派选项©取成=且片，这时5>=并晅收敛，自£(必鬼)二却发散，故"I/i=ia=imnMO饰足选呕D)飒,=I,这时£(八A)=fo收贪但前二X1发散，版网)针嵌.故/t=lg|jTm=IjM偌笫网(4)咯案】(B).【解析】因为0<x<II0<sin.r<cosx<l<ootx,4XI耳litv是单调i型郸J

8、e耳数所以Insiiu<IncoS.<Incotx.故正解案为.【答案】(D).【解析】由于将加你2歹四剑第I列?糊林从故100、A110=8,100即力用二/4=B耳;由于交换的第2行和第3行得电位知阵，故。00、001B=E,、。0,即R8二区故8二=R.因此/二£甲.故选®.咯案】©.【解析】山于出小,7是小-=/r的3位戋性无关的所以器是个二0的两彳例既郑解即=0期副解系中至少!以饮性无呼廨,所以口南聆川、(吩选吸又月为力号1=0,所以当%是心：=o的帐不是小=外的解一的I滁)迎页，I大蛔©.由于%是公=4的二-介线性无刻弼,所以2是

9、&>=()的两住雎做的解，即为=()的卿嘛系中至少行2仙洲无灯横亦即3-4冷之2,故/储)41.由于/HO,所以r(4)21,故r(4)=l.这样.月30的班怖系中正好ff2个线性碳的解，由此如7一小小一”是小=0的个鞠解系.因为不.弓是4r=/?的解，所以4万=近4=£,因此/殳誉二万，所以妇生一2是小=/府仰解蒯齐次线r防瞰蒯够胸可知4x=/?的通解为安义十冬(历一始十匕0%一/)(7)【答案】(D).【解刷出皿D)/6十，(x)£(x)拉=£玛(观耳+63(纥二】如"=6(砒e=1.所以工校x)+"；(x)为概率密度

10、1;)【答案】0.【解析】因为4%,其工409所以凤%)=2,9%)=，从iiM1H1E%孕)=济学)丁£如以小有产+卢卜百摩/>-I1&¥)+反 XJ=£(加二夙 ¥)= In因为所以耳7)£(/卜见因为41)=4,%).以©*).tfnn中;+与,)=$以*%)+?"尤)“一k。7-1)M犷11(11)二一j-D(+=."¥)二+-An-ifn-nj由用A2时，-<44fl77-1IT二、填空88(9-14小氮蜩嘏4分共24分诩络案现喀麒蜘位置匕)joi.4】【涔号】gDV,击=：

11、徐依刖冽V-.SOO"一二叫念蝴mrvo=4、0='琳，/>=L传+"x|专（P,1M唱?"相蜘切，=-U+X眄甜（【眼纷【线】）“忡'|+即忆=j-包g4-+ 1 X rGX“留 加十=方:m ,（门）-式A xpD万（9-平尬U忆+1）=1亚革亿11忆+1卜平亿限+1）=T（o.，=G+D匚【奶棚】中1M；J*(-)亿可丁【)【通皋】(01)gl)#=(x)J7W.7KJ/A'/K、产二年住+1)l叫工=，住+|,叫1=卜)/印闻(W)4Li工x1线十1）比。【涉易】小=*（【答案】3#.T【赳晰】因为/的牛仃元素之和为3,所以,

12、41J二31,故3为烟MF端征值由r（=1为赳阵/有两个样征fft为零，从而4=34=4=0.由于火型仿Ei变换卜栩断雨面的系数即为二刻撕对八朔怖附征值，所九次型在（14）【答案】“十/卜【解析】根据题总一Hi随机变量（x,y）财网“从企,决0）,因为只.=o,所以由维ii法分布的性岫|航机变最xy独%所以火炉.从而行4阳=w4石俨）=a丫）+硝卜）卜”岛斗三、解（1554飒共94分.请将解答写在答题ftffi定明、证明过程或演算步骤）。5）（木酸酚1。分）-Vl+2sin.Y-x-l【解析】linP；M.vln(l+x),.Vl+2sinj-x-l=hiTi：V乂）/1.-2005-12jl

13、+2sinx2rcosr-vl+2siiLr=lim广；、t*ZrVl+2sinxPcosx-Vl+2sinx=liini2x-sinx=lim.vT8SXJl + 2sinx1. cosx=-lim,，5271 十 2sinx1= .2(16)(本懿分【0分)企【解析】=/：(x+y),/ay)H/n(x+y),/(%y)芥/7)髭=工；（工+讯/3切）1记（*十咒）（无十 Aq）* ZiT（ K+y） ,/（、”）+&（ x+H 代训侬必；（W） 式（工+为,/（、十切）/；（工j）由于/（I）=2为/（f峨值，故/ （】#=（u）=o,所以，会=/；（22）”3）/；（1,1）.

14、（X V（17）（本题满分10分）【解析】令二4.则x二/，出二2/t九所以户联！= 产世土加=2 J®Sisi” W= 2/,arcsin，一2+2/-hr-2= 27,arcsin/+2"一小=2VqarcsinG+24xInx+2V1-X-4Vx+C.(榴插分I。分)UQ断】设/(ji)=4arutanxT+¥-M4则 %)=函7）（行+工）1+.Y2令f'3=0,解得驻=枢耳=-3.所以，当x-x/§时，/"j0,故/（k）单调通版当时，/（x）（）,故/（X）单调递增：总时，八”0,故/任）单调递减乂当X£（ft5）

15、U（",6）时/（x）0，fl./（-V3）=0,故xw（f石）时只有个零点：又/诉#-2万：0. lim/任）二lim|4arctaiir-x+一、6 二。0,由每¥>t-X4冗一 6=o恰行两股u点定理可知，存在以利，便/U）=0；所以，7/14aitui.v-a4C9)(木睡满分10分)价淅】§危）小'城，=%»团，n27了+）灿才=女小什历办=（/（，）一/（工）减=”（。-Lx/由题设有处）一丫世二夕，小湍求曲幅的0Qt)=2曲,为变量可分离微分方程，解殍/（，）=0-2)2带入/（0）= 1,得 C=4,所以，f（x） =()1

16、< I）伴幽满分II分）im 由丁,乌&0不能由44白线性花示,对（凡为4,%进行初等fja(4 禽4 4%)= 11、1 3 1 o r2 4；0 1 33 a 1 1 5)p 1 3 I I-> 0 1 1 1-1I(0 2 d-3, 01 4； 10 0 4-51 0 P-I 1 22 一 1 0)收7=5时，旦0）=2于M片区4.=3,此时，火不砥I混用4线性及易摄4, G0不能由440线性芯R（II）对（&,%月遂用进行初阴便换:。0（q,4,%月自，图二 0 1I 1"113、3; I 2 45； I 3 5,0 1 1t 0 1 3 1、0

17、1 4 0I 3、 (2 4fo2 2J 1013112I0 1；-1 03、400|215、0I04210、001-10-2/故力二加十泣一电，食=可十数.4二%+1此一次.（2D（本邀满分11分）【解析】由于彳00=00,设乌二。,0,-1）、叼=（LQl）l则0）=（5,©,即/（乌=；-0；,以二七，而知月的特征价为4=T4=1,对血碉ffi间彩题为如化工0）,总药他工0）.由6(4)=2,故|40,所以4=0.illJF是一湖实对楙作故不I甜剂值那加柠征向Q相片正交，设4=0初朝桃用曲他为4二（七,曰E）,则«坦=0，即卜30.卅q=0,（X,+玉=0.解此讲卷H

18、,得图=（ojo）/,故4=0对刚的征向最为。名（&司）.（io由r代咐征值对八州用正向出马工交只需单位化月喝无（也出=令0=（%4用，则0/0=a=i°,A=Q02To042?06-10J包2此20.叵Tofj2To42I2J220立2内001、=000、100,27220(22)(本题；酚11例【解析】因为pK=y2=,所以片x。尸=1_"/=尸=o.即P1x=(xy=_i=x=o,y=i=Rx=i,y=o=O.柳蚓绦概率利给概率的关系得到P|X=ay=0=P¥=0_pT=Qy=T卜片=0、y=l=l；尸x=l,丫=-1二尸Y=_l-FX=0,Y=-l=!：3尸X=l,y=l=叩=1卜P：X=0,y=l=；.即(¥力的概率分布为N/010o1/3011/3013(11)2的所有“价用价1为一10.1.p(z=-i)=px=,r=-i二;.pz=i=py=i,y=l)=l.z=o=-rz=i-pz=-1二;.Z二AT的概率分布为Z-I0IP1/31/31/3UID 囚为/%. =Qv(AY)TwjSnE(XY-EXE(Y必X)内才其中&Ay)=£(Z)=-lLo+ll=O,绅)