信息光学习题复习资料

1、信息光学习题答案第一章线性系统分析1.1简要说明以下系统是否有线性和平移不变性d一一(i)gxfx;(2)gxfxdx;dx(3) gxfx2.(4) gxfhxd(5)fexpj2d解：(1)线性、平移不变;(4)线性、平移不变；(2)线性、平移不变；(5)线性、非平移不变.(3)非线性、平移不变;comb(x)x证实：左边=comb2n一.x1.2 证实comb-comb(x)exp(jx)2x15nn2(x2n)2n(x2n)右边comb(x)comb(x)exp(jx)(xn)exp(jx)(xn)n(xn)exp(jn)(xn)nn(xn)(1)n(xn)nn当n为奇数时,右边=0,

2、当n为偶数时,右边=2(x2n)n所以当n为偶数时,左右两边相等.1.3 证实(sinx)comb(x)证实：根据复合函数形式的8函数公式n(xx)h(x)(/：,h(xi)0i1h(xi)式中xi是h(x)=0的根,h(xi)表示h(x)在xxi处的导数.于是(xn)(sinx)comb(x)o当0<xW1时,如图题1.1(b)1.4计算图题1.1所示的两函数的一维卷积.解：设卷积为g(x).当-1WxW0时,如图题1.1(a)1xg(x)0(1)(1所示,(b)图题1.1所示,1.5(1)(3)解:g(x)g(x)计算以下一维卷积.(2x3)comb(x)(1)(2x(2)设卷积为g

3、(x),1(1x)(1x)d,xrect2rect(x)13130,1-x21-x213x,6136x,(2)其它,xrect一rectx13)rect2当xW0时,如图题rect1rect2x2.521.2(a)所示,当0<x时,如图题1.2(b)所示0图题1.22g(x)xd2x1x,x0g(x)221-,x02xg(x)2-(3)comb(x)rect(x)12),试求.,2、1.6exp(x)的傅立叶变换为exp(1) exox2?解：设yxx,z1即(2)2_2expx/2/22、exp(y)exp()由坐标缩放性质.1,口f(ax,by)同Fa,E信2(1)expx2)1.7

4、计算积分.(1)sinc4xdx(2)sinccosxdx解：应用广义巴塞伐定理可得2,、2(1)sinc(x)sinc(x)dx02122()()d1(1)2d0(1)2d-3(2)sinc2(x)cosxdx11122222exp(y2/,exp(z2),exp(22)/-、2._22一(2)expx/2expy/21.8应用卷积定理求fxsincxsinc2x的傅里叶变换2exp(22z2).2exp(2解：sinc(x)sinc(2x)sinc(x)1、,sinc(2x)rect()rect一221,万时,如图题1.3(a)所不,1:3G()万1du21,万时,如图题1.3(b)所不,

5、-11G()-12du1222时,如图题1.3(c)所示,、11,3G()1du-2222G(七)的图形如图题1.3(d)所示,由图可知G()_-_3/241/21.9设fxexpx,0,求fxdx解：exp(x)0exp(x)exp(j2x)dxoexo(x)exo(j2x)dx2(2)2exp(x)dx2(2)21.10设线性平移不变系统的原点响应为hxexpxstepx,试计算系统对阶跃函数stepx的响应.解：由阶跃函数定义1, x0step(x)得0,x0线性平移不变系统的原点响应为hxexoxstepxexox,x0所以系统对解阶跃函数stepx的响应为g(x)step(x)h(x

6、)°exo(x)d1exo(x),x01.11 有两个线性平移不变系统,它们的原点脉冲响应分别为hxsincx和h2xsinc3x.试计算各自对输入函数fxcos2x的响应g1x和g2x.解：1.12 一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)Aexpj(2x3y4z)试计算其波长入以及沿x,y,z方向的空间频率.解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式rU(x,y,z)aexp(jk?r)aexpjk(xcosycoszcos)由题可知,kcos2,kcos3,kcos4又由于cos2cos2cos2所以k波长为,29沿x,y,z方向的空间频率为coscoscos1.13单色平

7、面波的复振幅表达式为一“.1Ux,y,zAexpjx.14314z求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率.解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式U(x,y,z)aexp(jk?r)aexpjk(xcosycoszcos)1由题可知,kcos,kcos,14,2,kcos14314又由于cos2cos2cos2所以k1波长为k沿x,y,z方向的空间频率为coscoscos第三章光学成像系统的传递函数(3.1.5)式时,对于积分号前的相位3.1参看图3.1.1,在推导相干成像系统点扩散函数因子k2expj豆x.2y0.kexpj-2do试问：(1)物平面上半径多大时,

8、相位因子expk2do2x.2V.相对于它在原点之值正好改变兀弧度？h的第一个零点的半径是(2)设光瞳函数是一个半径为a的圆,那么在物平面上相应多少？入和do之间存在什么关系(3)由这些结果,设观察是在透镜光轴附近进行,那么时可以弃去相位因子expj2do22XoV.解：(1)由于原点的相位为零,于是与原点相位差为兀的条件是(x2V2)kr.2亚r.do(2)根据h/、1h(xo,Vo；xi,Vi)dodiP(x,y)expP(x,v)exp.2,j(xiMx°)x(yMy°)ydxdydi2j(xix°)x(ViVo)ydxdydi相干成像系统的点扩散函数是透镜

9、光瞳函数的夫琅禾费衍射图样,其中央位于理想像点(xo,yo)h(x0,yo；x必)12dodi2即,加印jR(xi")(Vi丫0)粗2B2dodircirc一a1aJ(2a)2dodi式中rVx2y2,22(1)xx.yy.didi在点扩散函数的第一个零点处J1(2ao)0,此时应有2ao3.83,即将(2)式代入(1)式,并注意观察点在原点r°0.61(2)(xiyi.),0.61do于是得(3)根据线性系统理论,像面上原点处得场分布,必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的奉献h(x°,y°；0,0).根据上面的分析,如果略去h第一个零点以外

10、的影响,即只考虑h的中央亮斑对原点的奉献,那么这个奉献仅仅来自于物平面原点附近2r00.61do/a范围内的小区域.当这个小区域内各点的相位因子expjkr：/2d0变化不大,而降它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如"16)就满足以上要求,那么kr；/2do,162od0/16,也即a2.44do例如入=600nm,do=600mm,那么光瞳半径a>1.46mm,显然这一条件是极易满足的.3.2一个余弦型振幅光栅,复振幅透过率为,11C,txo,yocos2f°x°22放在图3.1.1所示的成像系统的物面上,用单色平面波倾斜照明,平面波的传播

11、方向在xoz平面内,与(1)(2)(3)z轴夹角为.透镜焦距为f,孔径为D.求物体透射光场的频谱；使像平面出现条纹的最大0角等于多少？求此时像面强度分布；假设.采用上述极大值,使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与.=的截止频率比拟,结论如何?解：(1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0,sin),为确定起见设.0,那么物平面上的透射光场为Uo(Xo,yo)Aexp(jkXo,sin)t(x0,y.)sinexpj2x.1-exp2j2xofosin1sin-expj2x°fo一其频谱为Uo(xo,yo)sinsinsin由此可见,相对于垂直入射照明,物频谱沿

12、E轴整体平移了(2)欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统.sin0入距离.系统的截至频率cD/4f,于是要求sinsinDfo4f由此得foD4fsinD4f9角的最大值为maxarcsinD4f(2)此时像面上复振幅分布和强度分布为,、A_D一1Ui(Xi,yi)二expj2x-1二exp(j2xf.)24f2A2Ii(xi,yi)T5cos2fox4(3)照明光束的倾角取最大值时,由fo(1)式和(2)式可得D4fD4ffoomax0=0时系统的截止频率为ccD/4f,因此光栅的最大频率fomax(4)比拟(3)和(4)式可知,当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提升了一倍,

13、系统的极限分辨率,但系统的通带宽度不变.也就提升了3.3光学传递函数在0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样?解：在Hi(,)Hi(0,0)%(xi,yjexpj2(xi,yi)dxdyi(1)hi(X,yjdxidyih(x,yi)式中,令hi(xi,yi)dxdyi为归一化强度点扩散函数,因此(1)式可写成(,)h(xi,yi)expj2(x,yjdxdyi而(0,0)1h(xi,yi)dxidyi即不考虑系统光能损失时,认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上,着便是归一化点扩散函数的意义.(2)不能大于

14、1.(3)对于理想成像,归一化点扩散函数是8函数,其频谱为常数1,即系统对任何频率的传递都是无损的.3.4 当非相干成像系统的点扩散函数hiXi,yi成点对称时,那么其光学传递函数是实函解：由于hi区,yj是实函数并且是中央对称的,即有h|Xi,yi%a,丫.,h1Xi,yihXi,yi,应用光学传递函数的定义式H|(,)H(0,0)h|(Xi,yi)expj2(为,yJdXidyihi(Xi,yi)dXidyi易于证实,即,为实函数3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成.小圆孔的直径都为2a,出瞳到像面的距离为di,光波长为这种系统可用来实现非相干低通滤波.系统的截止频率近

15、似为多大？解：用公式,.S_q来分析.首先,由于出瞳上的小圆孔是随机排列的,因So此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统的截止频率在任何方向上均相同.其次,作为近似估计,只考虑每个小孔自身的重叠情况,而不计及和其它小孔的重叠.这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积,其结果与单个小孔的重叠情况是一样的,即截至频率约为2a/di,由于2a很小,所以系统实现了低通滤波.第四章局部相干理论4.1 假设光波的波长宽度为A入,频率宽度为A丫,试证实：.设光波波长为632.8nm,2108nm,试计算它的频宽a、=?假设把光谱分布看成是矩形线型,那么相干长度lcc证实：由于频率与波长

16、的关系为对上式两边求导得所以因-632.8nm,cdcvddvdv2108nmv其中c为光速dv0vvv2-c所以v1.5104赫有由于相干长度lcctclc2.0104(m)v4.2 设迈克耳孙干预仪所用光源为i589nm,2589.6nm的钠双线,每一谱线的宽度为0.01nm.(1)试求光场的复相干度的模；(2)当移动一臂时,可见到条纹总数大约是多少？(3)可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线的线型为矩形,光源的归一化功率谱为1 +vV1*vV2?(v)rectrect2 vvv(1)光场的复相干度为()0?(v)exp(j2v)dv1 .sinc(v)exp(j2

17、v1)1exp(j2v)2式中vv2Vi,复相干度的模为()sinc(v)|cosv)由于,故第一个因子是.的慢变化非周期函数,第二个因子是.的快变化周期函数.相干时间由第一个因子决定,它的第一个零点出现在c1/v的地方,笠即为相干时间,故相干长度c21cccvlc5893(2)可见到的条纹总数N589300.1(3)复相干度的模中第二个因子的变化周期1/v,故cv6可见度的变化周期n60v0.1一,N58930A每个周期内的条纹数982n604.3假定气体激光器以N个等强度的纵模振荡.其归一化功率谱密度可表示为N1/2式中,Av是纵模间隔,V为中央频率.为简单起见,假定N为奇数.(1)证实复

18、相干度的模为sin(Nv)Nsin(v)(2)假设N=3,且0W°W1/Av,画出与Ay°的关系曲线.(1)证实：复相干度函数为()?(v)exp(j2v)dv得01N1/2vv0NnN1/2nvexp(j2v)dvexp(j2v)N1/2exp(N1/2j2sinNvNsinexp(j2v)所以复相干度得模为()sin(Nv)Nsin(v)(2)当N=3时,复相干度的模为()sin(3v)'3sin(v)4.4在例4.7.1所示的杨氏干预实验中,点光源代替,试计算此时的复相干系数.解：应用范西泰特一策尼克定理得假设缝光源用两个相距为a,强度相等的准单色(d)aex

19、p2dcosa一z4.5利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明,距离光源为z的平面上任意两点Pi和P2之间的复相干系数科(Pi,P2).解：设光源所在平面的坐标为a,3;孔平面的坐标为x,y.点Pi和P2的坐标为(xi,yi)和(X2,y2).对于准单色点光源,其强度可表为1(,)Io(i,i)在傍轴近似下,由范西泰特-策尼克定理得2exp(j)Io(i,i)expj(xy)ddz(RE)22j%zIo(i,i)ddexp222、.2y2xiyi)expj(xiyi)z由于|(Pi,F2)i,由点光源发出的准单色光是完全相干的,或者说x,y面上的相干面积趋于无限大.第六章计算全息6.1 一个二维

20、物函数f(x,y),在空域尺寸为iOXiOmnp最高空间频率为5线/mm为了制作一张傅里叶变换全息图：(i)确定物面抽样点总数.(2)假设采用罗曼型迂回相位编码方法,计算全息图上抽样单元总数是多少？(3)假设采用修正离轴参考光编码方法,计算全息图上抽样单元总数是多少？(4)两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解：(i)假定物的空间尺寸和频宽均是有限白设物面的空间尺寸为Ax,Ay;频宽为2R,2By.根据抽样定理,抽样间距8x,Sy必须满足Sx<i/2Bx,8yWi/2By才能使物复原.故抽样点总N(即空间带宽积SW内x八y_4N?xy(2Bx)(2By)SWiOiO(

21、25)(25)iOyy(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位置来编码物光波在该点的振幅和相位.根据抽样定理,在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积,即NSWiO4.要制作傅里叶变换全息图,为了不丧失信息,空间带宽积应保持不变,故在谱面上的抽样点数仍应为NiO4.(3)对于修正离轴参考光的编码方法,为满足离轴的要求,载频a应满足a>Bx为满足制作全息图的要求,其抽样间隔必须满足SxWi/2Bx,SyWi/2By.因此其抽样点数为xy4N？1xy(4Bx)(2By)iOiO2OiO2iOyy(4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系,这是由于,在罗曼型编码中

22、,每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中,每一抽样单元编码一实数.修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数,每个抽样单元都是实的非负值,因此不存在位置编码问题,比同时对振幅和相位进行编码的方法简便.但由于加了偏置分量,增加了记录全息图的空间带宽积,因而增加了抽样点数.防止了相位编码是以增加抽样点数为代价的.6.2 比照光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数,说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率.解：设物的频宽为(2Bx,2By)(1)对于频宽&的选择光学离轴,由图6.2.5(b)可知,3Bx修正离轴,由图6.2.5(d)可知,Bx载频的选择是为了保证全息函数在频域中各

23、结构分量不混叠.1-H修正离希参考光全息圉(0对抽样后的结果一国625空间频率分布(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择光学离轴全息,由图6.2.5(c)可知：在x方向的抽样频率应8Bx,即x方向的抽样间距x1/8Bxo在y方向的抽样频率应4By,即x方向的抽样间距y1/4ByO修正离轴全息,由图6.2.5(e)可知:在x方向的抽样频率应4Bx,即x方向的抽样间距x1/4Bxo在y方向的抽样频率应2By,即x方向的抽样间距y1/2By.6.3 一种类似傅奇型计算全息图的方法,称为黄氏(Huang)法,这种方法在偏置项中参加物函数本身,所构成的全息函数为,、1h(x,y)-A(x,y)1cos

24、2ax(x,y)(1)画出该全息函数的空间频率结构,说明如何选择载频(2)画出黄氏计算全息图的空间频率结构,说明如何选择抽样载频解：把全息函数重写为物函数为h(x,y)1 A/、1、二A(x,y);A(x,y)expj(x,y)exp(j2x)2 41n-A(x,y)expj(x,y)exp(j2x)4f(x,y)A(x,y)expj(x,y)并且归一化的,即A(x,y)max1,参考光波R=1.经过处理后的振幅透过率为t(x,y)to2A(x,y)14A(x,y)expj(x,y)exp(j2x)14toA(x,y)expj(x,y)exp(j2x)1 一、1八、-A(x,y)-f(x,y)

25、exp(j2x)2 4f(x,y)exp(j2x)其频谱为111T(,)to(,)-F(,)1F(,)1F(,)244(1)设物的带宽为2Bx,2By,如图题6.3(a)所示.全息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示,载频2Bx.(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c)所示,由此可得出：在x方向的抽样频率应6Bx,即x方向的抽样间距x1/6Bx.在y方向的抽样频率应2By,即x方向的抽样间距y1/2ByO抽样点数即空间带宽积为NSW12xyBxBy.xy黄氏计算全息图的特点:(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积SW8xyBxBy),不具有降低空间带宽积的优点.(2)

26、黄氏全息图具有更高的比照度,可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求.(b)6.4罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式,如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释,在这三种孔径形式中,是如何对振幅和相位进行编码的解：对于I型和出型,是用Ax来编码振幅A(x,y),用dx来编码相位(x,y),在复平面上用一个相幅矢量来表示,如图题6.4(a).对于罗曼n型是用两个相同宽度的矩孔来代替I,m型中的一个矩孔.两矩孔之间的距离Ax是变化的,用这个变化来编码振幅A(x,y).在复平面上反映为两个矢量夹角的变化.两个矩孔中央距离抽1¥单元中央的位移量dx用作相位(x,y)的编码.在复平面

27、上两矢量的合成方向即表示了(x,y)的大小,如图题6.4(b)所示.第八章空间滤波8.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式,并同非相干照明下的最小分辨距离公式比拟.解：显微镜是用于观察微笑物体的,可近似看作一个点,物近似位于物镜的前焦点上.设物镜直径为D,焦距为f,如图8.1所示.对于相干照明,系统的截止频率由物镜孔径的最大孔径角0o决定,截止频率为sino/.从几何上看,近似有sinoD/2f.截止频率的倒数的倒数即为分辨距,即对于非相干照明,由几何光学可知其分辨距为0.61sino2fcsinoD非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍.8.2 在4f系统

28、输入平面放置40mm-1的光栅,入射光波长632.8nm.为了使频谱面上至少能够获得土5级衍射斑,并且相邻衍射斑间距不小于2mm,求透镜的焦距和直径.解：设光栅宽度比拟大,可近似看成无穷,设周期为d,透光局部为a,那么其透过率函数可表为其频谱为f(Xi)rectm,xrect一ax1mdXrectax1mdmcombdF()f(xi),xi1xi'rect一一combaddasinc(a)comb(d)sinc(a)dmamam一sinc()一dmdd即谱点的位置由x2/fm/d决定,即m级衍射在后焦面上的位置由下式确定:xmf/d相邻衍射斑之间的间距xf/dxd2/40由此得焦距f为

29、fWd-2/40779(mm)632810物透明片位于透镜的前焦面,谱面为后焦面,谱面上的土5级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足sin1D/25d于是求得透镜直径D10-f10x20(mm)8.3 观察相位型物体的所谓中央暗场方法,是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光.假定通过物体的相位延迟<<1弧度,求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来).解：相位物体的透过率为t(x1,y1)expjd?)1j(为,)其频谱为T(,)1j(9)(,)j(,)假设在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器,滤掉零频背景分量,那么透过的频谱为再经过一次傅里

30、叶变换(在反演坐标系)得tM(x3,y3)j(x3,y3)强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布,实现了将相位转换为强度分布的目的.不过光强不是相位的线性函数,这给分析带来困难.8.4 当策尼克相衬显微镜的相移点还有局部吸收,其强度透射率等于a(0<a<1)时,求观察到的像强度表示式.解：相位物体的频谱为现在用一个滤波器使零频减弱,同时使高频产生一个土2的相移,即滤波器的透过率表达式为j,1,在0的小范围内其它H(,)T(,)j(,)j(,)像的复振幅分布为像强度分布为tM(X3,ya)jj(X3,y3)1(X3,y3)22j(X3,ya)(X3,ya)22区

31、半)诲佻)2(x3,y3)像强度分布与相位分布成线性关系,易于分析.8.5 用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片,设才3描点之间的间隔为0.2mm,图像最高空间频率为10mm-1.如欲完全去掉离散扫描点,得到一帧连续灰阶图像,空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距f=1000mm,F632.8nm).解：扫描点的表达式为f(X1,y1)X1mX0,yny0其频谱为eXpj2(mX0mnny.)XoYoX2XoYom/X0,my2X0n/y0)-)y0在上式的化简中应用了公式eXp(j2naX)nan由此可见,点状结构的频谱仍然是点状结构,位置为x2

32、mfX0但点与点之间的距离不同.ynfy0扫描点频谱出现的点状结构是高频,所以采用低通滤波将其滤掉.低通滤波器圆孔半径为frx2X063281071000023.164(mm)能传递的最高空间频率为sin1?fX01X051/mm即高于51/mm的空间频率将被滤掉,故输出图像的分辨率为51/mm.8.6 某一相干处理系统的输入孔径为30mm<30mm的方形,头一个变换透镜的焦距为100mm波长是632.8nm.假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比拟,问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限,一般用几何光学近似,引入光瞳函数P(x,y),根据题意其表达式

33、为P(x,y)rectrect3030f(X1,yj,它的频谱分设系统的输入面位于透镜的前焦面,物透明片的复振幅分布为布为F(,),透镜后焦面上的场分布.,、一,、x1y1Uf(,)Cf(x1,y1)rectrect3030900CF(,)sinc(30)sinc(30)expj2(x2y2H式中x2/f,y2/fo由Uf的表达式可见,频谱面上能分辨的细节由sinc(30)sinc(30)决定.取一个方向来看,将sinc函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元,即要求满足301或30x2/f1,于是有f63281071003.x22.110(mm)2.1m3030由于频谱平面模片也有同样细节,所

34、以对准误差最大也不允许超过它的一半,约1口.第九章相干光学处理9.1 参看图9.1.1,在这种图像相减方法的编码过程中,如果使用的光栅透光局部和不透光局部间距分别为a和b,并且awb.试证实图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制.所以VW图9L1光棚编俯图儡相减g)编码光路：9)光栅透射因子解：如图题9.3所示,先将t(x)展开成傅立叶级数a02nxu.2nxt(x)ancosbnsin2niabab0Q图题93式中a.anbn2a2Roab2.n一sincosn2n(ab)2(ab)2.n(ab)n一sincos-2(ab)t(x)Ro2.nsin一n2ncos-

35、(ab)2nx2(ab)n.n(ab)cos一sin22(ab)cos(ab)2nxcos(ab)R.RiR2第一次曝光得lAt(x)IaR.IaRiIaR2对于t(x)是将光栅向x的负方向移动半个周期即(a+b)/2,将它展开成傅立叶级数得第二次曝光得lBt(x)IbRoIbRIbR2总曝光量=(IaIb)(RoR2)(IaIb)Ri即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制,图像差的信息受到光栅奇数信频的调制.9.2 用VanderLugt方法来综合一个平年元平面滤波器,如图9.1(左)所示,一个振幅透射率为s(x,y)的“信号底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面,用照相底片记录后焦面上的强度,并使

36、显影后底片的振幅透射率正比于曝光量.这样制得的透明片放在图题9.1(右)的系统中,假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位,问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少,才能综合出：(1)脉冲响应为s(x,y)的滤波器？(2)脉冲响应为s*(x,y)的“匹配滤波器？输入平面4透明片与输入出面图题9.1解：(1)参看图题9.1左,设物面坐标为Xi,y1；胶片坐标为x2,y2.那么参考光波在记录胶片上造成的场分布为Ur(x2,y2)Aexp(j2y)(1)式中A为常数,a=sin0/入为空间频率.物透明片在记录胶片上造成的场分布为5(x2.)Cexpj-(x2y2)S(,式中S(E,力为s(X1,

37、y1)的频谱,且卫=X2/ff丫2/f.胶片上的光强分布为1(X2*)Ur(X2,y2)U1(X2,y2)222a2C2S(,)2CAS(,)expj2±"Y2(2)22_X2V2CAS(,)expj2二2十丫2将曝过光的胶片显影后制成透明片,使它的复振幅透过率正比于照射光的强度,即t(x2,y2)1(X2')(3)将制得的透明片作为频率平面模片,放在图题9.1右所示的滤波系统中.要综合出脉冲响应s(x,y)或s*(-x,-y),只要考察当输入信号为单位脉冲8(x,y)时,在什么条件下系统的脉冲响应为s(x,y)或s*(-x,-y).参看右图,当输入信号为8(Xi,yi)时,在L2的后焦面上形成的光场复振幅分布,根据公式U(x,y)cexpjk2(fdo)(x22q(fd.)y2)fdot(xo,yo)expf(x°xy°y)jkq(fdo)fdodxody.5(X2,y?)expj21dx22y2(xi,yi)exp.2/j-Mxy2yi)dxidyiexpj21dx2y；f2f透过频率平面模片得光场分布,