含参二次不等式因式分解

1、一、公式法必会的乘法公式【公式1】【公式2】(立方和公式)【公式3】(立方差公式)【公式4】【公式5】【例1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) (2) 【例2】分解因式：(1) (2) 二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例3】把分解因式【例4】把分解因式2分组后能直接运用公式【例5】把分解因式【例6】把分解因式十字相乘法分解因式1二次三项式1多项式，称为字

2、母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项例如：和都是关于x的二次三项式2在多项式中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式3在多项式中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式同样，多项式，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式2十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同(2)对于二次项系数不是1的二次

3、三项式大家知道，反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过屡次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解它的特征是“拆两头，凑中间当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号

4、相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母【例1】把以下各式因式分解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 竖分二次项与常数项交叉相乘，和相加检验确定，横写因式顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱例2、因式分解与系数的关系 假设多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，那么整数k可取的值有( ) A.5个 B.6个 C.8个 D.4个分析：因为二次项系数

5、为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数) 因为16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B2一般二次三项式型的因式分解【例2把以下各式因式分解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，假

6、设原常数为负数，用减法凑，看是否符合一次项系数，否那么用加法凑，先凑绝对值，然后调整，添加正、负号 练习1：分解因式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 练习2分解因式 (1)； (2)； (3)4、5 6 7 ca(ca)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘与其它知识综合例1.分组分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =(x-2y)-32(x-2y)-5 =(x-2y-3)(2x-4y-5) 说明：分组后

7、运用十字相乘进行因式分解，分组的原那么一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.此题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例2.换元法与十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，那么更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6 =(x2+x)+1(x2+x)+2-6 =(x2+x)2+3(x2+

8、x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1) 说明：此题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，假设能分解一定要继续分解， 例3、 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 分析：在此题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-27y+1x -28y²-25y+3 4y -3 7y -1 =10x²-27y+1x -4y-37y -1 2 -7y 1 5 4y - 3=2x -7y -15x +4y -3 =2x -7y +15x +4

9、y -3 说明：在此题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为4y-37y -1，再用十字相乘法把10x²-27y+1x -4y-37y -1分解为：2x -7y -15x +4y -3 解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 2 -7y5 4y=2x -7y5x +4y-x -25y- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3=2x -7y+1 5x +4y-3 =2x -7y+15x +4y -3 说明:在此题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为2x -7y5x +4y,再把2x -7y5x

10、+4y-x -25y- 3用十字相乘法分解为2x -7y+1 5x +4y-3. (试比一下“分组分解与“十字相乘适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析) 例4.因式分解与十字相乘法 (x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值 解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)(x2+y2)-1-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y20例5 把以下各式分解因式：(1)；(2)；(3)点悟：(1)把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；(2)提取公因式(xy)后，原式可转化为关于(xy

11、)的二次三项式；(3)以为整体，转化为关于的二次三项式解：(1) (x1)(x1)(x3)(x3)(2) (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)(3) 点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止例6 分解因式：点悟：把看作一个变量，利用换元法解之解：设，那么原式(y3)(y24)90(y18)(y9)点拨：此题中将视为一个整体大大简化了解题过程，表达了换元法化简求解的良好效果此外，一步，我们用了“十字相乘法进行分解例

12、7 分解因式点悟：可考虑换元法及变形降次来解之解：原式，令，那么原式点拨：此题连续应用了“十字相乘法分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“复原，这是一个重要环节例8：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 分析：2a²ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²- 3ax + 2a²ab -b²=0 x²- 3ax +2a²ab - b²=0 1 -b 2 +b x²- 3ax +2a+ba-

13、b=0 1 -2a+b 1 -a-b x-2a+b x-a-b=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9 有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式点悟：因为是四次多项式，有一个因式是，根据多项式的乘法原那么可知道另一个因式是a、b是待定常数，故有根据此恒等关系式，可求出a，b的值解：设另一个多项式为，那么， 与是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一个因式为点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视练习3、1、有一个因式是，求a值和这个多项

14、式的其他因式2、假设xy6，那么代数式的值为_提高版练习1、把以下各式分解因式：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)练习2、(1)； (2)； (3)； (4)；(5)；(6)练习3xy2，xya4，求a的值四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，此题还有其它方法，请大家试验2拆、添项法【例12】分解因式分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了

15、，可考虑通过添项或拆项解决解： 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件此题还可以将拆成，将多项式分成两组和一般地，把一个多项式因式分解，可以按照以下步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止A 组1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2把以下各式分解因式：(1) (2) (3)

16、 (4) 3把以下各式分解因式：(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 组1把以下各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2，求代数式的值3证明：当为大于2的整数时，能被120整除4，求证：第二讲 因式分解答案A组1234 5B组1 234三、强化练习1.把以下各式分解因式(1)x-x2+42 (2) (3)a2n+a4n-2a6n (4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y2.：x2+xy-2