立体几何证明垂直专项知识点及练习

1、立体几何证明垂直.复习引入1 .空间两条直线的位置关系有：,三种。2 .（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相.3 .直线与平面的位置关系有,三种。4 .直线与平面平行判定定理：如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行5 .直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么.6 .两个平面的位置关系：,.7 .判定定理1:如果一个平面内有立线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.8 .线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面.9 .如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行.10 .如果两个平面平行，那么其中

2、一个平面内的所有直线都于另一个平面.二.知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语百描述如果直线l和平向a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平向互相垂直，记作l，a一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平向垂直.图形I条件b为平向a内的直线，而l对这一直线总有l±aUm,l±n,mCn=B,m,n结论l±l±要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语百描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平闻内的所启直线

3、垂直于同一个平闻的两条直线平行.图形条件iX%济二比二1±冤闭_L3：结论?1m知识点三、二面角I.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角-AB-.（简记PABQ）二面角的平面角的三个特征：i.点在棱上五.线在面内出.与棱垂直n.二面角的平面角：在二面角-1-的棱i上任取一点o,以点o为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱1的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字

4、描述两个平闻相父，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平间垂直.一个半而过另一个平闻的垂线，则这两个平间垂直图形而证明线线垂直一般有以下的一些方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,(1) 通过“平移”。(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。(3) 利用勾股定理。(4) 利用直径所对的圆周角是直角(1)通过“平移”，根据若a/b,且b,平面a,则a,平面a1 .在四棱锥P-ABCM,PBCJ正三角形，AB,平面PBCAB/CD求证：A已平面PDC.2 .如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PAL底面ABCD,/PDA=45°，点E为棱AB的中点.求证：平

5、面PCEL平面PCD;(第2题利用等腰三角形底边上的中线的性质3、在三棱锥PABC中，ACBC2,ACB90°,APBPAB,PCAC.(I)求证：PCAB;(3)利用勾股定理4.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD,PA1,PD"求证：PA平面ABCD;(4)利用直径所对的圆周角是直角5、如图，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，FAL平面ABC.(1)求证：平面FACL平面PBC;课堂及课后练习题：1 .判断下列命题是否正确，对的打，错误的打“X”。(1)垂直于同一直线的两个平面互相平行()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行()(3) 一条直线在平

6、面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直()2 .已知直线a,b和平面，且ab,a，则b与的位置关系是3 .如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD,AB/CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上1的点，且DF-AB,PH为PAD中AD边上的局。2(1)证明：PH平面ABCD;4 .如图所示，四棱锥PABCD底面是直角梯形BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点，FA=AD证明：BE平面PDC;5 .如图，在三棱锥PABC中，/PAB是等边三角形，/PAC=PBC=90o证明：AB±PC6 .如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点

7、,CACBCDBD2,ABAD.2.(1)求证：AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的大小；7 .如图，四棱锥SABCD中，ABBC,BCCD,侧面SAB为等边三角形，ABBC2,CDSD1.证明：SD平面SAB.8 .如图，在圆锥PO中，已知PO=J2,。的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点.证明：平面POD平面PAC；课堂及课后练习题答案：11 1)V(2)V(3)V2 .b/或者b3 .证明：因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD,又因为AB平面PAD,所以ABPH,ABIAD=A,所以PH平面ABCD4 .分析：取PD的中点F,易证AF/BE,易证AFL平面PDC从而BE平面PDC.5.证明：因为PAB是等边三角形，PACPBC90所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D,连结PD,CD,WJPDAB,CDAB,所以AB平面PDC,所以ABPC。6.(1)证明：连结OCQBODO,ABAD,AOBD.QBODO,BCCD,COBD.在AOC中，由已知可得AO1,COJ3.而AC2,AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.QBDIOCO,AO平面BCD7.(I)取AB中点E,连结DE