上海市松江区九年级(上)期中数学试卷

1、九年级（上）期中数学试卷题号一一三总分得分、选择题（本大题共 6小题，共24.0分）1.下列图形一定是相似图形的是（）A.两个矩形C.两个正方形B.两个周长相等的直角三角形D.两个等腰三角形2. 已知 RtAABC 中，70=90 °, AC=4,A. sinA=23B. cosA=23BC=6,那么下列各式中，正确的是（C. tanA=23D. cotA=233 .已知a, b是两个非零向量，e是一个单位向量，下列等式中正确的是（）A. a|a|=eB. a|a|=b|b|C. |a|e=a4 . 已知ab=35 ,下列说法中，错误的是()D. |e|a=aA. a+bb=85B.

2、 a-bb=-25C. a+1b+1=ab D. ba=535.如图，在那BC中，点E、F分别是边 AC、BC的中点，设BC=a,CA=b,用a、b表示EF,下列结果中正确的是（A. 12(a+b)B. - 12(a+b)C. 12(b-a)D. 12(a-b)6.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线 BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是（A.EDAD=DFABB.BCDE=CFDFC.DEBC=EFFBD.BFBE=BCAE第16页，共17页、填空题（本大题共 12小题，共48.0分）7 . 已知线段a=4 cm, b=9 cm,则线段a, b的比例中项为 cm.8 .已知点

3、P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是 厘米.9 . 已知两地的实际距离为 800米，画在图上的距离（图距）为 2厘米，在这样的地图 上，图距为16厘米的两地间的实际距离为 千米.10 .计算，（2a-b） -12 （6a-4b） =.11 .已知 BBC的两条中线 AD和BE相交于点G, BG=8,则BE=12.在以。为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （4, 2）,如果AO与x轴正半轴的夹角为a,那么COS a =13.在 AABC 中，/C=90 °, sinA=1213, BC=12,那么 AC=14 .如果a是锐角，且COt a =tan25那么a =

4、度.15 .如图，线段BD与线段CE相交于点A, ED/BC,已知2BC=3ED, AC=8,贝U AE=.16 .如图，点 C、D在线段AB上（AC>BD） , APCD力是边长为6的等边三角形，且"PB=120° ,若AB=19, 则 AC=.17 .如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的12,那一忑么称这个三角形为 好玩三角形：在Rt9BC是好玩三角形"，且/C=90°,则 tanA=.18 .在 RtAABC 中，/ACB=90 ： AB=9, cosA=23,如果将 AABC 绕着点 C 旋转至 AAB C ' 的位置，使点B落在

5、/ACB的角平分线上，AB与AC相交于点D ,那么线段CD 的长等于.三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19 . 3sin60 -2cos30 + tan60 ?cot45 °20 .已知：如图，两个不平行的向量a和b.求作（1） 2a+b； （ 2） a-b（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21.如图，在 AABC 中，DE/BC, DEBC=25.(1)如果AD=4,求BD的长度；(2)如果 Szade=2,22.如图，在 AABC 中，AB=AC=10, sinC=35 ,点 D 是 BC 上一点，且DC=AC.D（1）求BD的长；(2)求 tan/BAD.2

6、3.24.如图，在四边形ABCD中，AD IBC, BA和CD的延长线交于 P, AC和BD交于点O,连接PO并延长分别交 AD、BC于M、N.求 证：AM=DM.如图，已知直线y=-34x+b与y轴相交于点 B(0,3), 与x轴交于点A,将 BOB沿y轴折叠，使点A落在 x轴上的点C.(1)求点C的坐标；(2)设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合.联结PB.以点P为端点作射线PM交AB 于点 M,使 ZBPM=ZBAC.求证：APBCsMPA.是否存在点P,使4PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在, 请说明理由.25.在 AABC 中，AB=AC=10,si

7、n/BAC=35,过点 C 作 CD/AB,点 E 在边 AC 上，AE=CD, 联结AD, BE的延长线与射线 CD、射线AD分别交于点F、G.设CD=x, ACEF 的面积为y.(1)求证：ZABE=ZCAD.(2)如图，当点 G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域.(3)若ADFG是直角三角形，求 4CEF的面积.答案和解析1 .【答案】C【解析】解:A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、两个周长相等的直角三角形的 对应角不一定相等，不符合题意；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；D、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不

8、符合题意.故选:C.根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解.本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似形的定义是解题的关键.2 .【答案】D 【解析】解：.£=90 , BC=6, AC=4,. AB=2 ,A . sinA= 二单四，故此选项错误；B . cosA= 盖=笔 ,故此选项错误；DC :，C. tanA= =5 ,故此选项错块； _ ll.i 二D . cotA=示=、,故此选项正确.故选：D.本题可以利用锐角三角函数的定 义以及勾股定理分 别求解，再进行判断即可.此题主要考查了锐角三角函数的定 义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键.3 .

9、【答案】D 【解析】解:A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；B、方力得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D、符合向量的长度及方向，故正确；故选：D.长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括 长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析 求解.本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质和计算法则是解题的关键.4 .【答案】C【解析】A、如果；：=，那么 a+b) b= C+d) d b、dwQ .所以=；,得'J 三乱,故该选项正确；B、如果a：b=c：d那么

10、 a-b) b= C-d) d b、dw。.所以巾;=：,<1=,故该选项正确；C、由得，5a=3b,所以a*b 又由;.：=得，ab+b=ab+a即 a=b.故该选项错误；D、由;=：得，5a=3b;又由二=?得，5a=3b.故该选项 正确； rJ J-IU! ii故选:C.根据比例的性质(合分比定理)来解答.本题主要考查的合分比定理和更比定理.合比定理：如果a：b=c：d,那么a+b) b= C+d) d b、dw。；分比定理：如果a：b=c：d那么a-b) b= C-d) d b、dw。；合分比定理:如果 a：b=c：d那么 a+b) : a-b)= C+d) : c-d) b、d

11、、a-b、c-d w Q ；更比定理：如果a：b=C：d那么a：C=b：d a、b、c、dw。.5 .【答案】B【解析】解：元=丁、而一了 ,.5=。口 仁1=- =值 + b)，, £F= : All= 2 f Tf + b l故选：B.此题主要用到了三角形中位 线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量AB,又矢胭中EF为中线，所以只要准确把AB表示出来，向量EF即可解 决.本题考查平面向量、三角形中位线定理.解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、三角形的中位 线定理的应用.6 .【答案】A【解析】解：四边形ABCD是矩形，. BC/DE, AD=BC ,ZBCF

12、s/edf,BC CF DF EF:正=瓦，羡=京，故B, C正确，.DF AB ,BF AD BC 丁色BE AE= AE ?故D 正确，故选:A.根据矩形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决 问题；本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知 识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.7 .【答案】6 【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性 质，得：比例侧的平方等于两条线段的乘积.设它们的比例中项是x,则x2=4X9,x=,线段是正数，负值舍去），故晚.根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负.理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数.8

13、 .【答案】6-25 【解析】解：.点P是线段AB的黄金分割点， 1 二,_.,.较长线段 BP=-; >4=2'%-2 （厘米），.较短线段AP=4- 2滤-2）=6-2%行（厘米），故答案为:6-2湘.根据黄金比是计算.2本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，黄金比是 正。是解题的关 键.9 .【答案】6.4【解析】解：设图距为16厘米的两地的实际距离为x米.一、2根据题意得到：,=.解得x=6400 （米），经检验：x=6400是原分式方程的解，所以图距为16厘米的两地间的实际距离为6.4千米，故答案为64.根据地图上的距离的比值等于实际距离的比值，列比例式即可求解.本

14、题主要考查比例线段，判定四条线段是否成比例，只要把四条 线段按大小 顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段 之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.10 .【答案】-a+b【解析】解：原式=2 - * -3 +2匕=-TT +石，故答案为:-F +了.先去括号，后合并即可解决问题本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 基础题.11 .【答案】12【解析】解：:zABC的两条中线AD和BE相交于点G,G点为BBC的重心,. BG=2GE,. GEj BG=4, .BE=8+4=12.故答案为12.利用重心的性 质得到

15、GE= ' BG=4,从而计算出BG+GE的和即可.本题考查了重心的性质：重心至顺点的距离与重心到 对边中点的距离之比 为2:1.12 .【答案】255【解析】解：.在以。为坐标原点的直角坐标平面内有一点A 4, 2),利用锐角三角函数的定 义、坐示与图形性质以及勾股定理的知 识求解.本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定 义、坐标与图形性质以及勾股 定理的知识，止题比较简单，易于掌握.13 .【答案】5【解析】解：feABC 中，ZC=9(J ,.* I? sinA= 13，BC=12,. AB=13,. ac=J.w 曰y =5.故答案为5.先根据正切的定 义得到sinA=j =

16、 e，则可得到AB=13 ,然后根据勾股定理 计算AC的长.本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的 过程 就是解直角三角形.14 .【答案】65【解析】解：,a是锐角，且cot a =tan25.a =6q故答案为：65.依据a是锐角，且cot a =tan25°即可得出a =65：本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若ZA+ ZB=90° ,那么sinA=cosB或 sinB=cosA.15 .【答案】163 【解析】解：.ED/BC,= A（ = RL又.2BC=3ED, DE ? =hi. AE=-I Jr nrnr 2.四?依据ED/BC,

17、可得手二五二，再根据五二二4，即可得到二%，进而得出 HL. JJL.JUL. >门 ”一 Hi AE= " .kJ本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直 线截其他两边（或两力的延长线），所得削应线段成比例.16 .【答案】9 【解析】解：ZPCD是等边三角形，PC=CD=PD=6, /PCD=/PDC=60°, jACP=ZPDB=120 °,：.A+ ZAPC=60°,v jAPB=120 °,.Y+ ZB=60°,APC=ZB,zACPs/pdb,. AC:PD=PC: BD, .AC?BD=P

18、D?PC=36,设 AC=x,贝U BD=AB-AC-CD=13-x ,x Q3-x）=36,解得：x=9,或x=4 （舍去），. AC=9；故答案为：9.根据等边三角形的性质得到PC=CD=PD=6, /PCD=/PDC=60 ,得出 /ACP=/PDB=120°,证出 “PC=ZB,得出AACPs/pdb,因止匕AC：PD=PC：BD, AC?BD=PD?PC=36,设 AC=x，则 BD=AB-AC-CD=13-x ,得出方程，解方 程即可.该题考查了相似三角形的判定及其性 质、等边三角形的性质及其应用等几何 知识点问题；猴掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决 问题的关键

19、.17.【答案】12或2或1【解析】解：分三种情况：图1高 AC二 ； BC, 止匕时 tanA=mz = 6=2；如图2,高BC=； AC,此时tanA=尼=,设 AC=x , BC=y, CD=a,贝U AB=2a,由三角形面积公式和勾股定理得:解得：x=y=M咆a仅数舍去）， .tanA= -7 =1 ；故答案为：1或2或1.分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可.本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面 积，能求出符合的所有情 况是解此题的关键，有一定难度，要分情况讨论.18.【答案】302-1210【解析】解：女用，作B' SC于F,A' EgC于E. zBC

20、B' /CB'与ACA' =45,°区EC1等腰直角三角形，CB'是等腰直角三角形,在 RtAACB 中，AB=9 , cosA=:，. AC=6, BC=3 ,. BF=CF= , EC=A' E® ,_1 .八一，二、B=o ><6><3v1,)= ? CD? 3V - +,. CD=30f-12h而,故答案为30g-12/in .如图，作B' gC于F,A' ESC于E.利用面积法构建方程即可解决 问题; 此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面 积求法等知 识,利用S3，C

21、=sAcdB +s3da求出是解题关键19 .【答案】 解：原式=3X32-2 >32 + 3X1 = 332 .【解析】 直接利用特殊角的三角函数 值代入求出答案.此题主要考查了特殊角的三角函数 值，正确记忆相关数据是解题关键.20 .【答案】 解：（1）如图1中，AC即为所求；（2）如图2中，EF即为所求；【解析】1）女置1中，利用三角形法则，作而=2/，正二葭则飞即为所求；2）女由2中，利用三角形法则，Z作方1 =T，方F =亍，则前即为所求；本题考查作图，平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型.21 .【答案】解：(1).DE IBC,.ZA

22、DEMBC,. ADAB = DEBC,. DEBC=25 , AD=4,. 44+BD =25 ,. BD=6；(2) .,ADEsMBC, DEBC=25 , 2 SA ADESA ABC DEBC),，.Saade=2 , 222+S 四边形 DBCE= (25), 解得：S 四边形dbce=212 . 【解析】1）根据相似三角形的判定得出 BDEs&BC,根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可;2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可.本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出用des*bc是解此题的关 键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方.22 .【答案

23、】 解：(1)过点A作AE1BC于点E,.AB=AC,.BE=CE,在 RtAACE 中，AC=10, sin/C=35,.AE=6,. CE=AC2-AE2 =8,. BC=2CE=16,. BD=BC-BD=BC-AC=6.(2)过点D作DFAB于点F,在 RtABDF 中，BD=6, sin ZB=sin ZC=35 ,. DF=185 ,. BF = BD2-DF2 =245,. AF=AB-BF=265 ,. tan/BAD = DFAF=913 .【解析】1）过点A作AE1BC于点E,求出CE,BE,再由CD=AC ,可求出BD的长度.2）过点D作DFMB于点F,在RtBDF中求出

24、DF, BF,继而可得AF ,从而 可求 tan/BAD .本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，注意熟练掌握锐角三角函数的定义.23 .【答案】 证明：.AD/BC,. AMNC=AOCO,.AD /BC,. AOOC=ADBC=PDPC=MDNC,.AMNC=MDNC,.AM=MD.【解析】依据AD /BC,即可得出 w = c0 ,再根据AD /BC,即可得到石=BC'=PD AfD，人所=，进而得到结论.本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一 边的直线 截其他两边（或两力的延长线），所得削应线段成比例.(0, 3),24

25、.【答案】(1)解：.直线y=-34x+b与y轴相交于点B . b=3,.,直线的解析式为y=-34x+3,令y=0 ,得到x=4,-A (4, 0),点C与点A关于y轴对称，. C (-4, 0).(2) 证明： zBPM = /BAC,且 /PMA= ZBPM + /PBM , /BPC=/BAC+/PBM,，zPMA=/BPC.又.点C与点A关于y轴对称，且 /BPM=/BAC, ，zBCP= /MAP. .ZPBCsmpa.解：存在.由题意：A (4, 0) , B (0, 3) , C (-4, 0)当/PBM=90° 时，则有 ABPOsMBO. POBO=BOAO,即

26、PO3=34,. PO=94,即：Pi (-94, 0).当 /PMB=90° 时,则 ZPMA 90°.zPAM+ZMPA=90°.zBPM=ZBAC, .zBPM+ZAPM=90°. BPSC.过点B只有一条直线与 AC垂直，.此时点P与点。重合，即：符合条件的点 P2的坐标为：P2 (0, 0) .使4PBM为直角三角形的点 P有两个Pi (-94, 0) , P2(0, 0).【解析】QA与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；2)根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA , WJ/BCP=ZMAP ,再根据三角形的外角的性 质即可证得/P

27、MA=/BPC,从而证得两个三角形相 似；首先求得B的坐标，当/PBM=90°时，则有ABPOs&bo ,根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；当/PMB=9 0时，则/PMAr 90°时，BP必C,则此时点P与点O重合.则P的坐标可以求得.本题是属于一次函数 综合题，考查了相似三角形的判定和性 质、待定系数法、次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属 于中考压轴题.25.【答案】解：(1) .CD /AB, zBAC= /ECD,又.AE=CD, AB=AC,.ZDACAEBA (SAS), .MBE=/CAD；(2)过点E