【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

1、二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1 .会用待定系数法求二次函数的解析式；2 .会平移二次函数y =ax2(a =0)的图象得到二次函数 y = a(x-h)2+k的图象;了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3 .根据交点求解解析式.知识点梳理21、顶点式：y =a(x h)+k的图像与性质a <0问卜(h, k )直线x = hxh时，y随X的增大而减小；X<h时， y随x的增大而增大；x=h时，y有最 大值k.2、交点式：y =a(x x)(x X2)的图像与性质Xi、X2分别是二次函数与 X轴的两个交点坐标，如果二次函数与 X轴的交点坐标已知,则我们可以设解析式为

2、 y =a(X_Xi)(X-X2),然后再根据条件求出 a即可；，.2.一一3、般式 y=ax +bx+c的性质对于一般式：y =ax2 +bx +c(a #0),我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢?将一般式配方成顶点式:/ 2=a(xbX C = a(X2 bX -) = a(X2 - xa ab / b 2、 c b 2-x (-)-(-)a 2a a 2a22b2b2、2r2 r)4a 4a上2=a X 2ab2 -4ac4 a2所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线b 一 .x 二 一一 ；顶点坐标为2a4ac -b24a1.当a >0时，抛物线开口向上，对称轴为直线

3、bx = -,顶点坐标为2a2b 4ac -b2a' 4a当x一包时，y随x的增大而减小；当x>-b-时，y随x的增大而增大; 2a2ab 2.当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线 x =,顶点坐标为2aF 2b 4ac -b一 ，、2a 4a J当x一包时，y随x的增大而增大；当x>-b-时，y随x的增大而减小; 2a '2a '典型例题分析1、二次函数一般式；例1、抛物线y = _2x2 +4x-1的对称轴是直线 【答案：x=1例2、抛物线y =2x2 4x+3的顶点坐标是 .【答案：(1,1)1例3、二次函数y=x22x3,当y<0时，

4、自变量x的取值范围是 .【答案：根据一般式，画出图像，求出与x轴的两个交点，位于 x轴下方的部分就是y <0；: 一1 <x <3例4、已知二次函数 y =ax2+bx+c的图象如图，则 a、b、c的正负性分别是.【答案：a <0; b <0; c>01例 5、如果 A ( 2, y1),B (-1, y2)为二次函数y = x24x+1的图像上的两点,试判断丫与y2的大小为【答案：丫2<%例6、若二次函数y = (m+1 X2+m2 -2m 3的图象经过原点，则 m的值为【答案：3】例7、二次函数y =ax2+bx+c的图像如图所示，那么abG b2

5、4ac,2a+b,a+b+ c值为正数的有 个.【答案：2】例8、已知二次函数 y =ax2+bx + c的图象与x轴交于点(一2,0)、(x1,0)且1 <x, <2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论： 4a -2b +c=0； ab+c>0； a+b+cc0； a<b<0.其中正确结论的是.【答案：正确，将 x = 2即可；正确，将 x = T代入得：ab+c>0;错误，将x=1代入彳导：a+b+c0;正确，将x = -2代入得：4a 2b+c = 0 ,将x = 1代入得：a+b+c>0,所以(4a -2b +c) -(a +b

6、+c) <0 ,整理得：3a -3b <0 例9、已知二次函数y = 2x2 +3x +1的顶点是A ,与x轴的两个交点为 B、C ( B点在C点的左侧)与y轴的交点为 D,求四边形 ABCD的面积.31_1_9【答案：A(-,-) ； B(1,0)； C( 一,0) ； D(0,1)；面积为一】482322、二次函数顶点式；1 2 . 一.例10、把一次函数y=x的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得 2图像的解析式为：.一心12-127【答案：y= (x+1)+3或丫= x +x十2 22例11、如果抛物线y =x2mx+m+3的顶点在x轴上，那么 m=【答案：m

7、= 6或m = 2例12、抛物线y =ax2 1上有一点P(2, 2),平移该抛物线，使其顶点落在点A(1,1 ) A(1,1)处，这时，点P落在点Q处，则点Q的坐标为.【答案：Q(3, 4),原函数顶点坐标是(0, -1)2例13、将函数y = 2x2 +8x7写成y =a(x+m) +k的形式为.【答案：y = 2(x2)2+1例14、已知函数y = (m +2 Km24ms是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？【答

8、案：(1) m = -3或m = 2;(2) m=2, (0,0);当x=0时，y有最小值为0,当x>0, y随x的增大而增大(3) m=-3, (0,0)；当x=0时，y有最大值为0,当x>0, y随x的增大而减小】例15、（1）若抛物线y = x2+mx +2m的顶点在y轴右侧，求 m的取值范围;（2）已知抛物线y =x2 2（k +1）x+16的顶点在x轴上，求k的值；（3）若抛物线y =x2 2（k+1）x +16的顶点在y轴，求k的值.【答案：（1） mc0; （2） k=3 或 k=5; （3） k=1】3、二次函数交点式；例16、抛物线y =x2+bx + c经过点（

9、0,-3）和（-1,0），那么抛物线的解析式是 .【答案：y =x2 -2x-31例17、二次函数的图像经过点 （1,0） , （3,0）,且最大值是3,求二次函数的解析式.3 2 39【答案：y=x+ x+ 424例18、已知抛物线y =ax2+bx+c（a#0）与x轴的两交点的横坐标分别是 -1和3, 与y轴交点的纵坐标是 -3； （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线 的开口方向，对称轴和顶点坐标.1 23.【答案：（1） y=-xx-一 ；（ 2）开口向上；对称轴：直线x = 1 ；顶点坐标（1,2）】2 2课后练习练1 .抛物线y = x2 6x +5的顶点坐标为 .【答

10、案：（3, Y）】练2.已知一元二次方程 x2+bx3 =0的一根为一3 ,在二次函数y=x2+bx 3的4 . 5.1图象上有一八、（一，y1）、（ ，y2 ）、（ 一，y3 ） ,yi、y2、y3 的大小关系.5 46【答案：必丫2丫3】练3.已知函数y =（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 .【答案：k 4123练4. 右一次函数 y=x -一x+c图象的顶点在 x轴上，则c=.2,9【答案：c = 2】16练5.抛物线y=ax2+bx + c在点（3,1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为与，则它的解析式为.【答案：y = -x2 +6x -8 练6.已知

11、抛物线y =ax2+bx+c经过（1,2）、（3,0）两点，它在x轴上截得线段的长为6 .求此抛物线的函数解析式.1 2 327 212 9,答案：y= x x + 或 y = x +一82844练7.已知抛物线y = x2+mx 2与直线y = 2x + b相交于M、N两点，点M、点N的横坐标分别是7和一2.求：(1) M、N两点的坐标；(2)直线和抛物线的解析式；(3)若坐标原点是 O,求iMON的面积.【答案：(1) M (7, -30) , N(底,12)； (2) y = _x2+3x2; y = 2x16；(3)SION 72 练8.抛物线y=ax2+bx + c过点(0,1)与点

12、(3,2 ),顶点在直线y=3x3上,a <0,求此二次函数的解析式.【答案：y = -x2 +4x -1 练9.已知二次函数图象与 x轴交于A(-2, 0), B(3,0)两点，且函数有最大值是2.(1) 求二次函数的图象的解析式；(2) 设次二次函数的顶点为 P ,求 MBP的面积.(2) S,BP = 5 】/、82848【答案:(1) y=-x +-x+一；252525练10.已知抛物线y = x2mx+m2.(1)求证此抛物线与 x轴有两个不同的交点；(2)若m是整数，抛物线 y = x2-mx十m-2与x轴交于整数点，求 m的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线顶点为 A ,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点 为B.若M为坐标轴上一点，且 MA = MB ,求点M的坐标.【答案：(1) =b2-4ac>0;(2) m=2； (3) (1,0)或(0,1)】课后小测验1 2 ,1 .将抛物线y=-x向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向右3平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标、.1 010【答案：y= X22； y=-(x-3)2-2； (0,-2) ； (3,-2) 332 .抛物线y=x2 6x16的顶点坐标为 .【答案：(3, 15)】3 .二次函数y =x2 +bx+C的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上