全等三角形地经典模型(一)

1、实用标准文档文案大全等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题( AC=BC 90, 45, 45口).如图1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2;补全为正方形.如图3, 4.【例1】已知：如图所示,RtAABC, ABAC, /BAC =90 , O为 BC的中点,写出点O到ABC勺三个顶点 A B C的距离的关系（不要 求证明）如果点M N分别在线段 AC AB上移动，且在移动中保持 ANtCM试判断 OMNJ形状，并证明你的结论 .如果点M N分别在线段CA AB的延长线上移动，且在移动中保 持AN=CM试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明.【解析】OA=O

2、B=OC连接OA. OA=OC /BAO =/C =45AN=CM.AN竽 ACMO.ON=OM. NOA =/MOC.NOA -/BON =. MOC 十/BON =90.NOM =90.OMNI等腰直角三角形ON檄然为等腰直角三角形，证明：BAB90 , ABAC O为 BC中点 .Z BA(=ZOACZAB(=Z ACB45 , . AGBGOC .在 ANG 口 CMOP,AN =CM BAO 二，CAO =CO AN孽 ACMQ SAS)，ON=OM / AON/COM 又 / COM/AOM90 , .OMN;等腰直角三角形.【例2】 两个全等的含30”，60,角的三角板 ADE和

3、三角板ABC ,如 图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接 BD ,取BD的 中点M ,连接ME , MC .试判断AEMC的形状，并说明理由.【解析】AEMC是等腰直角三角形.【例3】【解析】证明：连接AM .由题意，得DE =AC,. DAE . BAC =90; DAB =90.，ADAB为等腰直角三角形.DM =MB ,MA =MB =DM ,. MDA =/MAB =45. MDE =/MAC =105, AEDM ACAM .EM =MC,/DME =/AMC .又 /EMC =/EMA +/AMC =/EMA +/DME =90 . CM _LEM ,A EMC是等腰直角三

4、角形.已知：如图， AABC 中，AB =AC , /BAC =90 , D 是 AC 的中 点，AF _LBD于E ,交BC于F ,连接DF .求证：ZADB =/CDF .证法一：如图，过点 A作AN J_BC于N ,交BD于M .AB =AC , ZBAC =90 , ./3=/DAM =45.ZC =45 ,Z3 =/C . AF _LBD ,Z1 +/BAE =90 /BAC =90 ,/2+/BAE =90Z1 =/2 .在 ABM 和 CAF中，1 =，2AB = AC1/3 =/CA ABM 里 CAF . AM =CF .在 ADM和ACDF中，AD =CDDAM =yCAM

5、 =CF ADM CDF ./ADB =ZCDF .证法二：如图，作 CM _LAC交AF的延长线于 M . AF _LBD , 公 +22 =90 ,/BAC =90 ,/1 +/2 =90 ,. Z1 =/3 .在 ACM和 BAD中， 1 二/3AC a.BB| /ACM =/BAD =90A ACM BAD .ZM =/ADB , AD =CMAD =DC , CM =CD .在ACMF和ACDF中，CF =CFZMCF ZDCF =45CM =CDACMF CDF . /. /M =NCDF /ADB =/CDF .【例4】 如图，等腰直角 AABC中，AC =BC ,/ACB =9

6、0 , P为 ABC内部一点，满足PB=PC,AP=AC, 求证:,BCP =15【解析】补全正方形ACBD ,连接DP易证 ADP是等边三角形， /DAP =60 0, /BAD =45 ,ZBAP =15, /PAC =30)NACP =75, /BCP =15 ,【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，RtABC中，/ BAG90

7、 , AB=AC M为AC中点，连结 BM A ADL BM交 BC于点D,连结 DM求证：/ AM=/ CMD【解析】 作等腰RtAABC于BC对称的等腰RtABFC；延长AD交CF于点N, .ANL BM由正方形的T质，可得 AN=BM易证 RtAABM RtACAIN，/ AMB/CND CN:AM. M为 AC中点，CM=CN / 1 = /2,可证得 CM篁ACND / CND/CMD Z AMBZCMD【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图，RtABC中，/BA(= 90,AB=AQAD=CEAN!BD于点 M延长B改NE的延长线于点F,试判定 DEF的形状.【解析】作等腰RtA

8、ABC于BC对称的等腰RtABHC可知四边形 ABHC；正方形，延长 ANx HC于点K, . A。BD 可知 AK=BD 易证：RtABD2 Rt CAK / ADB:Z CKN CKAD . AD=EGCK=CE易证 CK庠 CEIN / CKN/CEN易证/ ED后/DEF .DE等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，Rt ABO43, /A=90 , AB*G D为 BC上一点，DB AC, DF/ AR 且 BE=4,CF=3,求 S矩形 DFAE.RtAGCBFD ED交 BG CG点 N M【解析】 作等腰RtAABC于BC的对称的等腰 可知四边形 ABGC；

9、正方形，分别延长可知 DN=EB=4, DMFC=3, 由正方形对称性质，可知 S矩形 dfa=S矩形 dmg=DM DN=3x4=12.【探究四】求线段长【备选 4】如图， ABC43, ADL BC于点 D, / BA(=45 , BD=3, C1=2,求 AD的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但BA(=45 ,若分别以AB AC为对称轴作 Rt ADB勺对称直角三角形和 Rt ADC勺对称直角三角形， 这样就出现两边相等且 夹角为90。的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正 方形.【解

10、析】 以AB为轴作RHADB勺对称的RtAEB再以Ag轴作RtADC勺对称的RtAAFC 可知 BE=BD=3, FC=CD=2, 延长 EB FC交点 G / BAC=45 , 由对称性，可得/ EAF=90 ,且AE=AD=AF, 易证四边形AFGEJ正方形，且边长等于 AD 设 ADx,则 BGx 3, CGx2,在 Rt BCC,由勾股定理，得(x2f+(x3 2 = 52 ,解得x=6,即AD=6.【探究五】求最小值【备选5】如图，RtABC中，Z ACB=90 , AGBC=4, M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值.AMCB【解析】 将原图形通过引辅助线化归

11、为正方形，即作RtAACB于AB对称的RtADB可知四边形 ACB师正方形，连接 CD可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB 于点P,连接CP则PM+PC的值为最小，最小值为:PMPC=DI=j42 +22 =2蕊.已知 ABL BD EDL BD AB=CD BGDE 求证：ACLCEB Ci C DB C1D (C) B C1 DC C1 B D C其余条件不变，试判断 ACL Ci E这一结论是否成立？若成立，给予证若将 CDEg C昉向平移得到等不同情形，AB =C1D , 【解析】 .A- BD EDL BD. . B =./D =90在 ABC与ACDE中AB =CD! ZB

12、=/DBC =DEA ABC CDE ( SAS. 1 = . E. 2 , E =90/ACE =90 ,即 ACL CE图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明 ABCA C DE. ACB - . C1ED ZC1ED +/DC1E =90。/DC1E +/ACB =90。. ACL CiE【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0, 10）, （8, 4 ），点C在第一象限.求 正方形边长及顶点 C的坐标.（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和 等于斜边的平方.）【解析】 过点C作CG_x轴于G过B作B已y轴于E,并反向延长交 CGF F 点A、B的坐

13、标分别为(0,10), (8,4).BE=8, AE=6,AB=10四边形ABC国正方形，AB=BC /1 . 3 =90/2 /3 =90.1 =/2 . AEB =. BFC =90.AE望 BFC.CF=BE=8, BF=AE=6 .CG12 EF=14C(14, 12),正方形的边长为 10【例6】 如图所示，在直角梯形ABCD中，/ABC =90工AD / BC , AAAB =BC , E 是 AB 的中点，CE _LBD .求证：BE=AD;匚 求证：AC是线段ED的垂直平分线； ADBC是等腰三角形吗？请说明理由.【解析】: /ABC =90*, BD 1EC ,NECB +Z

14、DBC =90 s, /ABD +NDBC =90、. /ECB =/ABD , /ABC =/DAB =90 , AB =BC ,. BAD CBE , AD = BE . E是AB中点，EB = EA由得：AD = BE,AE = AD AD / BC ,/CAD =/ACB =45*,ZBAC =45,ZBAC =/DAC由等腰三角形的性质，得： EM =MD , AM .LDE即AC是线段ED的垂直平分线. DBC是等腰三角形，CD =BD 由得：CD =CE ,由得： CE =BD. CD =BD , A DBC是等腰三角形.MN出巅峰突谖【例7】如图1, 4ABC是等边三角形，H

15、E分别是AB BC上的点，且BaCE连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出/ APD勺度数=如图 2, Rt ABC, Z B=90 , MN分别是AB BC上的点，且AM=BC BM=CN【解析】连接ANCMf交于点P.请你猜想/APM,并写出你的推理过程.（2013平谷一模）图略,45 图2证明：作AEE! AB且 AE =CN =BM .NEM可证4EAM色AMBCME =MC , ZAME =/BCM .ZCMB +/MCB =90?ZCMB +.ZAME =90 =ZEMC =90 . EMC是等腰直角三角形，/MCE =45 又 AECCAN (SAS.ECA =. N

16、AC .EC/ AN.APM =. ECM =45训练1.已知：如图， aabc中，AGBC /ACB=90+，D是AC上一点，A红BD的延长1线于E,并且AE =-BD ,求证：B叶分ZABC .【解析】延长AE交BC的延长线于F ,. BE! AF , /ACB=90。.FAC =. DBC在AF% ABDO43, pFAC =/DBCAC =BC l，ACF = BCD . AFCABDC (ASA). AF=BD。1又 AE = BD21AE =AF =EF2 BE是AF的中垂线，BA=BFB叶分.ABC训练2. 已知，在正方形 ABC珅，E在BD上，DGL CE于G, DG AC于F

17、.求证：O曰OF【解析】ABC麋正方形 .OD：OC . DOC =90. DGL CENDGC =90 . NDOC =/DGC. ZOFD =NGFC.ODF =. ECO在 ADO陵口 ACOE,/DOF ZCOEOD =OCJ./ODF =/OCE.DO户COE(ASA:.OE=OF训练3.已知：如图， ABC 中，AB =AC , NBAC =90。，D 是 BC 的中点，AF _L BE 于G ,求证：DH =DF【解析】AB =AC , ZBAC =90。，D是BC的中点. AD=BD=CD ADI BCZADB =90 AF _ BE/AGH =90.DBE =. DAF，在

18、BDHF 口 ADF,1DBH ZDAFBD =ADZADB ZADF.BD国 AADI3 (ASA). D伸DF训练4. 如图，已知矩形 ABCW, E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC且EF=EG D&4cm,矩形 ABCD勺周长为32cm,求AE的长.【解析】 在 RtAAEffl RtADEO,/ EF CE /. Z FE(=90 ,BC/AEF+/DEC90 ,而/ ECD/DEB90 , ./ AEF=/ECD又/FAEf/EDB90 . EF=EC .RtAAEF RtADCE. AE=CD，AD=AEM.矩形ABCD勺周长为32 cm, .2 (AEfAE-4) =3

19、2.解得 AE=6 cm.题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习1】如图， ACB 4ECD匀为等腰直角三角形，则图中与4 BDCir等的三角形为.【解析】AAEC【练习2】 如图，已知 RtA ABC中/ACB =90 , AC = BC , D是BC的中点，CE AD ,垂足为E . BF / AC ,交CE的延长线于点 F .求证:AC =2BF .【解析】 /ACB =90 , BF II AC , /ACD =/CBF =90 , /ADC +NCAD =90 . CE _LAD ,/FCB +/ADC =90 , /CAD =/FCB .又 AC =CB , ADC CFB . D

20、C =FB . D是BC的中点， BC =2BF ,即 AC =2BF .题型二三垂直模型巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形 ABC虚矩形（ADAB）,点E在BC上，且AE =AD DF! AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证 明.【解析】经探求，结论是：DF = AB.证明如下：四边形ABCDI矩形，/B=90，AD/ BC/ DAF= / AEBDF AE/AFD=90：,AE = AD , AABEADFA.AB = DF【练习4】如图， ABC中，AC =BC , /BCA =90 , D是AB上任意一点,AE _LCD 交 CD 延长线于 E

21、, BF，CD 于 F .求证：EF = BFAE.【解析】根据条件，/ACE、ZCBF都与/BCF互余， /ACE =/CBF .在 ACE和ACBF中，AC =CB , /AEC =/CFB =90 , ACE 9A CBF .则 CE =BF , AE =CF , EF =CE -CF =BF -AE .【练习5】四边形ABCD1正方形.如图1,点G是BC边上任意一点（不与R C两点重合），连接AG彳BFL AG于 点 F, DEL AG于点 E,求证： ABF DAE在中，线段 EF与AF、BF的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）；如图2,点G是CD边上任意一点（不与C D两点重合），连接AG彳BFAG于 点F, DEL AG于点E.那么图中全等三角形是 ,线段EF与AF、BF 的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）.【解析】 在正方形 ABC用，AB=AD /BAD =90 /BAF +/DAE