高考数学总复习 数列 等比数列及其前n项和

1、等比数列及其前n项和知识能否忆起1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列an的常用性质(1)在等比数列an中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则am·anap·aqa.特别地，a1ana

2、2an1a3an2.(2)在公比为q的等比数列an中，数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时q1)；anamqnm.小题能否全取1(教材习题改编)等比数列an中，a44，则a2·a6等于()A4B8C16 D32解析：选Ca2·a6a16.2已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an()A4·n B4·nC4·n1 D4·n1解析：选C(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4·n1.3已知等比数列an满足a1a23，a2a

3、36，则a7()A64 B81C128 D243解析：选Aq2，故a1a1q3a11，a71×27164.4(2011·北京高考)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；a1a2an_.解析：a4a1q3，得4q3，解得q2，a1a2an2n1.答案：22n15(2012·新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.解析：S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.答案：21.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数(2)由an1qan，q0并不能立

4、即断言an为等比数列，还要验证a10.2等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误等比数列的判定与证明典题导入例1已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式自主解答(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以为首项，为公比的等比数列(

5、2)由(1)可知cn·n1n，ancn11n.在本例条件下，若数列bn满足b1a1，bnanan1(n2)，证明bn是等比数列证明：由(2)知an1n，当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1也符合上式，bnn.，数列bn是等比数列由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0且aan·an2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列以题试法1 (2012

6、·沈阳模拟)已知函数f(x)logax，且所有项为正数的无穷数列an满足logaan1logaan2，则数列an()A一定是等比数列B一定是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列解析：选A由logaan1logaan2，得loga2logaa2，故a2.又a>0且a1，所以数列an为等比数列等比数列的基本运算典题导入例2(2011·全国高考)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.自主解答设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an3×2n1，Sn3×(2n1)；当a12，q3时

7、，an2×3n1，Sn3n1.由题悟法1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式以题试法2(2012·山西适应性训练)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列3an的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d(d0)因为a2，a4，a8成等比数列，所以(23d)2(2d)·(27d)，解得d2.所以a

8、n2n(nN*)(2)由(1)知3an32n，设数列3an的前n项和为Sn，则Sn323432n(9n1)等比数列的性质典题导入例3(1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()A.B.C1 D(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23C34 D13自主解答(1)因为a3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，故sin(log3a1log3a2log3a7).(2)由等比数列的性质：S

9、3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3·(S9S6)，将S6S3代入得.答案(1)B(2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式anf(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算以题试法3(1)(2012·新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7B5C5 D7(2)(2012&#

10、183;成都模拟)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：(1)选D法一：由题意得解得或故a1a10a1(1q9)7.法二：由解得或则或故a1a10a1(1q9)7.(2)选Ca22，a5，a14，q，anan12n5.故a1a2a2a3anan1(14n)1设数列an是等比数列，前n项和为Sn，若S33a3，则公比q为()AB1C或1 D.解析：选C当q1时，满足S33a13a3.当q1时，S3a1(1qq2)3a1q2，解得q，综上q或q1.2(2012·东城模拟)设数列an满足：2a

11、nan1(an0)(nN*)，且前n项和为Sn，则的值为()A. B.C4 D2解析：选A由题意知，数列an是以2为公比的等比数列，故.3(2012·安徽高考)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5C6 D7解析：选Ba3·a1116，a16.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q34×2325，log2a105.4已知数列an，则“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“aanan2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A显然，nN*，an，an1，

12、an2成等比数列，则aanan2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，5(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16解析：选B设S2na，S4nb，由等比数列的性质知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bS4n30.6已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或C. D以上都不对解析：选B设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设a<c<d<

13、b，则a·bc·d2，a，故b4，根据等比数列的性质，得到c1，d2，则mab，ncd3，或mcd3，nab，则或.7已知各项不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.解析：由题意可知，b6b8ba2(a3a11)4a7，a70，a74，b6b816.答案：168(2012·江西高考)等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.解析：由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则S511.答案：119(

14、2012·西城期末)已知an是公比为2的等比数列，若a3a16，则a1_；_.解析：an是公比为2的等比数列，且a3a16，4a1a16，即a12，故ana12n12n，n，n，即数列是首项为，公比为的等比数列，.答案：210设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.解：(1)S1a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列，Sn2n1，又当n2时，anSnSn12n2(21)2n2.an(2)a3，a5，a2n1是以2为首项，以4为公比的等比数列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.11设数列an的前n项

15、和为Sn，其中an0，a1为常数，且a1，Sn，an1成等差数列(1)求an的通项公式；(2)设bn1Sn，问：是否存在a1，使数列bn为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，得2Snan1a1.当n2时，有两式相减，得an13an(n2)又因为a22S1a13a1，an0，所以数列an是首项为a1，公比为3的等比数列因此，ana1·3n1(nN*)(2)因为Sna1·3na1，bn1Sn1a1a1·3n.要使bn为等比数列，当且仅当1a10，即a12.所以存在a12，使数列bn为等比数列12 (2012·山东高考)已知等

16、差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.解：(1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn，由T5105，a102a5，得解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1.所以数列bm是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm.1若数列an满足p(p为正常数，nN*)，则称数列an为“等方比数列”甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要

17、条件D既不充分也不必要条件解析：选B若p，则±，不是定值；若q，则q2，且q2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件2(2012·浙江高考)设公比为q(q>0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q_.解析：法一：S4S2a3a43a22a3a43a42，将a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化简得2q2q30，解得q(q1不合题意，舍去)法二：设等比数列an的首项为a1，由S23a22，得a1(1q)3a1q2.由S43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q>

18、;0，q.答案：3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式解：(1)证明：依题意Sn4an3(nN*)，n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首项为1，公比为的等比数列(2)因为ann1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23·n11(n2)，当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn3·n11.1(2012·大纲全国卷)已知数列an的前n项和