复习专题：导数

1、导数-、导数公式(1)、几种常见的导数 C ；(X )( R)；- X 'X '(a )=;(e ) ;_ ，(log a X) =；'''(ln x) ； (sinx) ；(cosx) (2)、导数运算规则：f(x)g(x)k f(x);f(x) g(x) ； f(x) g(x)sin x练习：1、函数y 的导数为x2 .2、若 f(x) x Inx,则 f (x) 3、右 f(x) sin cosx,则 f ( ) 二、函数的单调性f (x) C, f (x)在区间A单调递增f (x) 0在A恒成立f (x) C, f (x)在区间A单调递减f (x

2、) 0在A恒成立作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于(或小于等于)0在给定区间恒成立练习：1、已知f(x) ax3 3x2 x 1在R上是减函数，则a的取值范围是f (x)的图象最2、设f (x)是函数f(x)的导函数,y f (x)的图象如图(1)所示，则y可能是()4、已知对任意实数x,有f ( x)3、已知函数y f(x), y g(x)的导函数的图象如下图，那么 y f(x), y g(x)的图象f(x), g( x) g(x),且 x 0 时，f (x) 0, g (x) 0 ,A. f (x) 0, g (x) 0B. f (x)

3、0, g (x) 0C. f (x) 0, g (x) 05、若 f(x) 1x3 1ax2 32则a的范围是D. f (x) 0, g(x) 0(a1)x 1 在(1, 4)内为减函数，在(6, +8)上为增函数,函数的草图注意点：如图，(X, f (X)是边界点不是极值点；三、极值和极值点(1)、极值点的判别法-函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点导数的草图(x2, f (x2) , J3, f J3)是转折点，才是极值点，其中(x2, f (*2)极大值点，(x3, f (x3)极小值点,f(x2)是极大值，f(x3)极小值；-极大值、极小值统称极值-是函数值由于极值点由横坐标决定

4、，因此，常称Xz为极大值点，x3极小值点；所以求极值点-求横坐标(即f (X) 0的解)导数的草图需画 x轴；X轴上方，导数大于 0,函数单调递增；下方导数小于0,函数单调递减-画x轴(2)、求函数y f(x)的极值的方法:求出f (x)0的根;利用导数草图判定 Xi是极大值点还是极小值点；求出极值(3)求最值的方法求出f (x)。的根；作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值练习：1、已知函数f (x)x3 12x 8在区间3,3上的最大值为 M ,则M f(x)x 2x2在(，)的值域是3.22、已知 f(x) x bx cx。如图，y说法中：不正确的有 3x 3时，函数y f(x)取

5、到极小值；函数y f(x)有两个极值点；f (x)的图象过点(1, 0), (2, 0),则下列c 6;x 1时，函数y f(x)取到极大值;3、设a b ,函数y (xa)2(x b)的图像可能是( yCD2x a .4、若函数f (x)在x 1处取极值，则ax 1四、切线：曲线y f (x)在x x0处切线的斜率k f (x0),切点(x0, f(x。)，从而切线方程为y f(xo) f (xO)(x x°) 求切线方程-关键在求切点的横坐标练习：1、设点P(x, y)是y x3 x 上一点，则在 P点处的斜率取值范围是 2、曲线y xex 2x 1在点(0,1)处的切线方程为

6、x213、已知曲线y 31nx的一条切线的斜率为 一，则切点的横坐标为 424、设P为曲线C： y x2 2x 3上的点，且曲线 C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,则点P横坐标的取值范围为43 25、在曲线y x3 3x2 6x 10的切线中，则斜率最小的切线方程是 6、若曲线y=x2 ax b在点(0, b)处的切线方程式x y 1=0,则a , b7、若曲线f xax2 Inx存在垂直于y轴的切线，则实数 a的取值范围是 解答题321、已知函数f(x) x bx ax d的图象过点P (0, 2),且在点M ( 1, f ( 1)处的切线方程为6x y 7 0.(I)求函数yf(x)的解

7、析式；(n)求函数yf(x)的单调区间.2、已知f(x)是二次函数，不等式f(x) 0的解集是(0,5)，且f (x)在区间 1,4上的最大值 是12。37(I)求f(x)的解析式；(II)是否存在自然数 m,使得万程f (x) 0在区间(m,m 1)内 x，有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。3、设函数 f(x) tx2 2t2x t 1(x R, t 0).(i)求f(x)的最小值h(t)； (n)若h(t) 2t m对t (0,2)恒成立，求实数 m的取值 范围.一 .一.32一一一 .一 . . 一 一 一4、已知函数f (x) x mx nx 2的图象过

8、点(一1, 6),且函数g(x) f (x) 6x的图象关于y轴对称.(I)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(n)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.1 325、已知函数f(x)=-x3x2axb的图像在点P (0,f(0)处的切线万程为y=3x-23(I )求实数a,b的值；(n )tsi g (x) =f(x)+ m 是2,上的增函数。 x 1(i)求实数m的最大值；(ii)当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图 形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由。一， ，、

9、 ，1a，6、已知函数 f (x) ln x ax 1(a R)x1(I)当a 1时，求曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线万程；(II)当a -时，讨论f(x) 2的单调性2 a7、已知函数f(x) x2 (x 0,常数a R).讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；x38、已知函数f (x) x x .求曲线y若函数f (x)在x 2 ,)上为增函数，求a的取值范围.f (x)在点M (t, f(t)处的切线方程；设 a 0 ,如果过点(a, b)可作曲线y f(x)的三条切线，证明： a b f (a).4 一一 一 29、已知函数 f(x) 3ax 2(3a 1)x 4x.

10、1 (I)当a 一时，求f(x)的极值；(II)若f(x)在 1,1上是增函数，求a的取值范围 6二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次,意义如下：(1)斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率(2)函数的凹凸性。(3)判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小 值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等 于零时，为驻点。、用二阶导数判断极大值或极小值定理设 f(X)在 X0 二阶可导，且 f (x0) 0, f (x0) 0 .若f(x0)则f (x)在x0取得极大值;试问a为何值时，函

11、数f(x)(2)若f (x0)0 ,则f (X)在X0取得极小值.asinx:sin3x在x 一处取得极值？它33是极大值还是极小值？求此极值.解 f (x) acosx cos3x由假设知又当a 2时，f (x)2sinx 3sin3x,且f (3)一，所以f (x) 2sinx sin3x在x 处取得极大 33值，且极大值f (3)例求函数f(x)3 o 2x 3x9x 5的极大值与极小值.解 f (x)在2,4上连续，可导.令f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0,得x 1和x 3,思考： f (x)在x1取得极大还是极小值？在 x 3取得极大还是极小值？f '

12、(x) 6x6-1代入二阶导数表达式为-12, f(x)在x1取得极大值3代入二阶导数表达式 12,在x 3取得极小值三、函数图像凹凸定理若f (x)在(a,b)内二阶可导，则曲线y f (x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是f (x) 0, x (a,b).曲线y f (x)在(a,b)内的图像是凸曲线的充要条件是f (x)0 ,x (a,b)。几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f ”(x) 0恒成立，那么在区间 I 上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之 在该线段的上方。1.曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况.但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它一f(Xi) f(X2)定义4.5.1 设y f(x)在(a,b)内可导，若曲线 y f (x)位于其每点处切线的上方,则称它为在(a,b)内下凸(或上凹)；若曲线y f(x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b) 内上凸(或下凹).相应地，也称函数y f (x)分别为(a,b)内的下凸函数和上凸函数(通常把下 凸函数称为凸函数).从图1 1和图1