高数下期末考试试卷及答案

1、2017学年春季学期高等数学I (二)期末考试试卷(A)7 .设级数an为交错级数，ann 1(A)该级数收敛(B)(C)该级数可能收敛也可能发散8 .下列四个命题中，正确的命题是(0 (n )，则(该级数发散(D)该级数绝对收敛).名姓 号学 号序 号班学教纸卷试学大峡三一线封密过超要不题答题号一二三四总分得分注意： 1、本试卷共3页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方(A)若级数an发散，则级数a：也发散n 1n 1(B)若级数a：发散，则级数 an也发散n 1n 1(Q若级数a；收敛，则级数 an也收敛n 1n 1阅卷人得分(D)若级数|an|收敛，则级数a2也收敛n

2、 1n 1题号12345678答案一、单项选择题(8个小题，每小题2分，共16分)将每题的正确答案的 代号A、B、C或D填入下表中.1.已知a与b都是非零向量，且满足 a b a b ,则必有()阅卷人 得分二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分).(A) a b 0 (B) a b2.极限(A) 022x y )sin(B) 10 (C)().a b 0 (D)(C) 2(D)a b 0不存在3x 4y 2z 6 0 ,1.直线 y与z轴相交，则常数a为.x 3y z a 02.设 f(x,y) ln(x),则 fy(1,0) x3.下列函数中，df f的是().(A) f (x, y)

3、 xy(C)f (x, y)x2 y24.函数 f (x, y)(B)f (x, y) x y Co,Co为实数x y(D) f (x,y) exy(3 x y),原点(0,0)是 f (x, y)的().(A)驻点与极值点(C)极值点，非驻点(B)驻点，非极值点(D)非驻点，非极值点225.设平面区域D : (x 1) (y 1)13 j x 4 yd ,则有().(A)Ii I2 I3(B)I1I2 I32 ,若 IiD4，1 2DC4 yd(0 I2111 3(D) I31 11 2()4y2)ds则? (3x26.设椭圆(A) l4(B)2L33l1的周长为(C)4l(D)12l3 .

4、函数f (x, y) x y在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .224 .设 D: x y 2x ,二重积分(x y)d =.D5 .设f x是连续函数， ( x, y,z) 10 z 9 x2 y2 , f (x2 y2)dv在柱面坐标系下的三次积分为.6 .哥级数 (1)n 1式的收敛域是.n 1n!1, x 07 .将函数f(x) 9以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛1 x2,0 x名姓阅卷人得分三、综合解答题一（5个小题，每小题 说明、证明过程或演算步骤）7分，共35分，解答题应写出文字1 .设u xf （x，3 ,其中f有连续的一阶偏导数，求 ,.yx y解：4.

5、设 是由曲面z xy, y x, x 1及z 0所围成的空间闭区域，求Ixy2z3dxdydz.解:号学 号序 号班学教纸卷试学大峡三.2.求曲面ez z xy 3在点（2,1,0）处的切平面方程及法线方程.线 解：封密5.求哥级数nxn 1的和函数S（x）,并求级数啾的和.XZn 1n 1 2H解：超要不题3.交换积分次序，并计算二次积分° dx * s" dy .较 解：得分阅卷人四、综合解答题二(5个小题，每小题 7分，共35分，解答题应写出文字 说明、证明过程或演算步骤)1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 解4.计算 xdS, 为平面x

6、y z 1在第一卦限部分解：名姓 号学 号序 号班学教纸卷试学大峡三一线封密过超要不题答2.计算积分 ？Jx2 y2)ds,其中L为圆周x2 y2 ax( a 0).解：3 .利用格林公式，计算曲线积分I ?(x2 x y2所围成的区域D的正向边界曲线.y2)dx (x 2xy)dy ,其中L是由抛物线y x2和5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy+ dydz+ dzdx ,S其中 为圆锥面z2 x2 y2介于平面z 0及z 1之间的部分的下侧 解：2017学年春季学期高等数学I (二)期末考试试卷(A)答案及评分标准(B)若级数a：发散，则级数an也发散；n 1n 1(Q若级数a：

7、收敛，则级数an也收敛；n 1n 1(口若级数|an |收敛，则级数a2也收敛.n 1n 1题号12345678答案DABBADCD、单项选择题(8个小题，每小题2分，共16分)1.已知a与b都是非零向量，且满足aa bb,则必有(D二、填空题(7个小题，每小题 2分，共14分).3x 4y 2z 6 0 ,1.直线 y与z轴相交，则常数a为 3x 3y z a 0(A) ab 0；(B)2.极限2 lxm(xy 02、y )sin(A) 0(B) 1(C) a(C) 20;(D) a b(D)0.不存在.2,设 f (x, y)ln(x A 则 fy(1,0) x3.函数 f (x, y)4

8、 .设 D : x2 y2x y在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为2x ,二重积分(xDy)d5.设f X是连续函数,(x,y,z)|022,x y ,2f (x2 y2)dv在柱面坐标系下3.下列函数中，(A)f(x, y)df的是(C)f (x, y)4.函数f (x, y)xy ；x2xy(3(B) f(x, y)(D) f (x,y)ex yy Co,C0为实数的三次积分为f( 2)dz(A)驻点与极值点；(C)极值点，非驻点;设平面区域D:(xD(A) I1x4yd则有(6.设椭圆7.设级数I 3 ；2x4(B)(B)2y33l ；y)，(B)(D)1)2原点(0,0)是 f

9、(x, 丫)的(B ).驻点，非极值点；非驻点，非极值点.6.哥级数 (n 17.函数f(x)(y1的周长为an为交错级数,1(A)该级数收敛;(B)(C)该级数可能收敛也可能发散;8.下列四个命题中，正确的命题是(A)若级数an发散,则级数n 1(C)1)n1)222d4x ydd 4三、综合解答题一 算步骤)(C)(D)n1的收敛域是 n!0,以2为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛于5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演4y2)ds (D(D)1.设u解：- x(n(D) D),该级数发散；该级数绝对收敛.)a2也发散;1xf (x,) ,yxf1其中f有

10、连续的一阶偏导数，求u_ux y_xyf2u y2.求曲面解：令Fx, y ,zn (Fx,Fy,Fz)所以在点(2,1,0)xyez(y,x3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程.z,e(2,1,0)(1,2,2),处的切平面方程为 (x 2) 2(y 1) 2z 0,即 x 2y 2z 4 0 ;法线方程为一1又最大周长一定存在，故当 x y时有最大周长.2 .计算积分？Jx2)ds ，其中2L为圆周ax( a 0).3.交换积分次序，并计算二次积分0dxx解：L的极坐标方程为a cos解：0dx xsin ydy = 0 dyy 0y sin y dx则ds0 sin ydy所以?

11、L(x2 y2)ds4.设 是由曲面z xy, y x, x0所围成的空间区域，求I2 3xy z dxdydz或解:L的形心(x,y)2 2ad 2(-,0), 2a cosL的周长解：注意到曲面z xy经过x轴、y轴,=( x, y, z): 0 z xy,0 y x,0x 12分4分,22、?L(xy )ds= ?Laxds=ax a =2 3,1 ,xy z dxdydz o dxdy °xyxy2z3dz =3.利用格林公式，计算曲线积分 I?(x2 y2)dx(x 2xy)dy,其中 L 是364由抛物线y x2和x解:5.求哥级数nnxn1的和函数1S(x),并求级数I

12、?(x2 y2)dxy2所围成的区域D的正向边界曲线.(x 2xy)dy解：S(x)nxn 1，n 1S(0)dxdyD1. Xdx , dy 0x2由已知的马克劳林展式:xn,| x | 1 ,1有 S(x)(nxn)(彳111)=2 )(1 x)|x|1,4.13计算 xdS,为平面x解:在xoy面上的投影区域为y z 1在第一卦限部分.Dxy : xy 1(x 0,y 0),-n_=1n 1 2n2 n_ =11 2n 1 2zxy,x四、综合解答题二(5个小题，每小题 7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.所以 xdS1,- y1,故 dS解 设两个直角边的边长分别为需求C x y 1在约束条件 设拉格朗日函数L(x,y,、,3 xdxdyDxy1dx0xxdy1下的极值问题.22y 1 (x y 1),或解：由对称性,1.xdS - (x3y z)dS3 dS 6Fx1令Fy12x222 y解方程组得xy1,20,0,