Ch2导数与微分

1、 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.1 2.1 导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入二、导数的定义二、导数的定义三、单侧导数三、单侧导数四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系一、导数概念的引入一、导数概念的引入求函数变化率的两个实例求函数变化率的两个实例实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动

2、的瞬时速度. . 设设质点的运动方程为质点的运动方程为：s = =s( (t).).则则从时刻从时刻t0到到t0 + + t时间段内时间段内，质点走过的路程为：，质点走过的路程为： s=s(s=s(t0 + + t)-s()-s(t0) )在时间间隔在时间间隔tt内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为: :00()( )S ttS tSvtt 000()( )limts tts tvt 当当 t0 0时，时，取极限取极限得得质点在时刻质点在时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度: :实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放实例实例2 2 切线

3、问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2

4、2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置实例实例2 2 切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义二

5、、导数的定义0000000000000()( ( )(),() , ( )()( ),(),m. li,xxxxxx xfyf xxU xxxU xyf xyf xxxf xxdydf xxyfxdxdxx 设在点 的某个邻域内有定义设在点 的某个邻域内有定义且若且若则称在并称这个极限则称在并称这个极限点处可导点处可导导导为为在点在点数数处的记为或处的记为或定义定义1 1即即00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 0000()()lim( ).xf xxf xf xxx 如果不如果不点 的点 的则称在则称在不可导不可导，.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其

6、它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 实例实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度质点作变速直线运动的瞬时速度: :00( )( )v ts t 实例实例2 曲线曲线y=f(x)上一点上一点M(x0 , f(x0)处的切处的切线斜率线斜率tan = f (x0)xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或 )()(00 xfxf( ),( ).yf xIf xI 如果在开区间内的每点处都可导如果在开区间内的每点处都可导就称函数在开区间内可导就称函数在开区间内可导定义定

7、义2 2( )( )( )( ),( ),.xIfxyfxdydf xf xyfxdxdx 导函导函由确定的新函数叫做由确定的新函数叫做的简称的简称数数作或作或导数导数，记，记注意注意: :00()( ).x xfxfx .,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x注意注意（2）右导数）右导数: 单侧导数单侧导数（1）左导数）左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlimxxxf x

8、f xf xxf xfxxxx ，定义定义左、右导数统称为左、右导数统称为单侧导数单侧导数定理定理1如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.注意注意: :由定义求导数由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(si

9、n)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例4 4.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)

10、1(loglim10 11log.lnaexxa1(log).lnaxxa 即 例例5 5.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(3 x23x )(1 x11)1( x.12x hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0(

11、)0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy注意导数的几何意义与物理意义注意导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM（1）几何意义）几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy

12、解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即（2）物理意义）物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.0( )lim.tQdQi ttdt 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对

13、长度质量对长度( (面积面积, ,体积体积) )的导的导数为物体的线数为物体的线( (面面, ,体体) )密度密度. .定理定理 若若 f (x) 在在 x0 处可导，则处可导，则 f (x) 在在 x0 处处连续连续. .证证三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 注意注意: 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导连续函数未必可导)例如例如y=|x|在在

14、x=0处连续但不可导处连续但不可导.例例7 7.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例8 8?,1)(,1,1,)(2应取什么值应取什么值处连续且可导，处连续且可导，在在为了使函数为了使函数设函数设函数baxxfxbaxxxxf 解解1

15、lim)01(21 xfxbabaxfx )(lim)01(11)1( f1,1)( baxxf则则连续连续在在若若211lim)1(21_ xxfxaxaaxxbaxfxx 1lim11lim)1(11)1()1(,2_ ffa时时当当处连续且可导处连续且可导在在时时当当1)(,1b2, xxfa小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定

16、义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 有什么区别与联系 ?与导函数2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解2.2 函数的求导法则函数的求导法则 一、四则运算法

17、则一、四则运算法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则定理定理并且并且也可导也可导处处在点在点分母不为零分母不为零它们的和、差、积、商它们的和、差、积、商那么那么处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略. .),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设h

18、xfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ;)3(wuvwvuvwuuvw .)1()4(2vvv 例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解例

19、例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解23xy x4 .cos x xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解同理可得同理可得2(cot )sc.cxx 2(tan )sec.xx 即即)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解同理可得同理可得(sec )sta.ecnxxx 即即(csc )

20、cc.scotxxx xx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin )cos1()(sec xxy.1csc22yxxy ，求求例例5 5解解222)1(csc2)1(cotcsc2xxxxxxy 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 例例7 7).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1

21、)0( f.0,110, 1)( xxxxf三、小结三、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.Z 思考思考1、 求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切线方程轴平行的切线方程.32xxy x2 2、若函数若函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数0)(0 xf，则曲，则曲线线)(xfy 在点在点( ()(,00 xfx) )处的法线处的法线（ ） （A A）与）与x轴相平行；轴相平行； （B B）与）与x轴垂直；轴垂直； （C C）与）与y轴相垂直；轴相垂直； （D

22、D）与）与x轴即不平行也不垂直轴即不平行也不垂直. .解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.2 2.2 函数的求导法则函数的求导法则 一、四则运算法则一、四则运算法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则

23、 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim

24、)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例7 7.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例8 8.log的的导导数数求求函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax

25、 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )( ),( ), ( ), 2 .( )( )ug xxyf uuyfdyf udxxggxx 如如果果在在点点可可导导 而而在在点点 可可导导 则则复复合合函函数数在在点点可可导导且且其其导导数数为为定定理理推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxd

26、yxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例10.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解例例1111.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 补充：指数求导法则补充：指数求导法则 0ln xuexuxuxvxv幂指函数幂指函数 xuxvxvexuln xux

27、vexuxvlnln xuxuxvxuxvxuxvln例例3 3.sin的导数的导数求函数求函数xxy 解解 xxxxxxsinlncossinsinsin lnxxxxesin lnsin lnxxexx例例1212.的导数的导数求函数求函数xexy 解解 xeexxexln xexexxxexln.2的导数的导数练习：求函数练习：求函数xxy 2222,)(xxxxxxxx 1()0 ().xxxR 证明证明例12例12解解1(ln)0.xxx 证明证明例13例13解解(ln( )( )/( ).( ( )0)f xfxf xf x 更一般地，更一般地，四、基本求导法则与导数公式四、基本求

28、导法则与导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是

29、常数) )C 2211)cot(arc11)(arccosxxxx 3.反函数求导法则反函数求导法则反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(, )(xgufxydxdududydxdyxfyxguufy 或或的的导导数数为为都都可可导导，则则复复合合函函数数设设 利用上述公式及法则利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决初等函数求导问题可完全解决.结论结论: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例1414.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)

30、0( a例例15152221cos,.1cosxyyx 求求解解 axaxaxyarcsin222222222222222121xaaxaxxa 2222)cos1(sincos2)cos1()cos1(sincos2xxxxxxxy 22)cos1(2sin2xx , y, y ( ( /2)=0./2)=0.例例1616.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1212.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin

31、)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 例例7 7).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x1( )1fxx,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf例例17、双曲函数与反双曲函数的导数、双曲函数与反双曲函数的导数sinh,cosh22xxxxeeeexx(sinh )cosh2xxeexx (sin

32、h )coshxx (cosh )sinhxx sinhtanhcoshxxx 21(tanh )coshxx 同理同理)11(1122xxxx 211x 211x 211x )11ln21( xx221)1()(arcsinhxxxxx )1(ln(2xx2ln(arcs1)inhxxx (arccosh )x (arctanh )x 小结小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用分界点导数用左右导数左右导数求求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函

33、数的求导法则注意函数的复合过程注意函数的复合过程,合理分解正确使用链式合理分解正确使用链式 法则）法则）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.1sinsinnynxx( ), ( ):dyf xg xydx2 2 设可导，求下列函数的导数设可导，求下列函数的导数)(cos)(s

34、in)2()()1(222xfxfyxfy 0)()()()()3(2222 xgxfxgxfy.yxxx3 3求函数的导数求函数的导数练习练习arctan(tanh )yx 4 4 求求第第3 3题的解答题的解答解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第第4 4题的解答题的解答解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1coshsinh11 xx22sinhcosh1 .sinh2112x Z 思考思考1.1.幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）

35、. .（1）必可导；）必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；（3）（D）1.1.幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）. .解答解答正确的选择是正确的选择是（3）例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x )1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2(（1）必可导；）必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导； 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定

36、的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.3 2.3 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.( ),ss t 设设( )( )v ts t 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva( )( ) ( ) .a tv ts t 0 ( )( ),()( ) ( )lim,( )( ).xf xfxxfx

37、xfxfxxfxf xx 如如果果函函数数的的导导数数在在点点 处处可可导导 即即存存在在 则则称称为为函函数数在在点点 处处的的二二阶阶导导数数定义定义记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,( )1( ),f xnf xn 一般地 函数的阶导数的导数称为一般地 函数的阶导数的导数称为函数的 阶导数 记作函数的 阶导数 记作.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数

38、称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf 二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.211xy 22)1(2xx 22)1(2xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 211xy例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy

39、, !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn

40、)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( ( )(2) (sin )sin()2nxxn ( )(3) (cos )cos()2nxxn )0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求为常数为常数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebx

41、aebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab EX1 EX1 ( )( )().nf xnf axb 已知的 阶导数存在，求已知的 阶导数存在，求常用高阶导数公式可写成常用高阶导数公式可写成( )1(1)!(5) ln()( 1)()nnnnaxbnaaxb ( )(2) (sin()sin()2nnaxbaaxnb ( )(3) (cos()cos()2nnaxbaaxnb ( )(1) ()ln(0)bx dnnbxndbaaaa( )()bnbxnx ddbee ( )11!()( 1)()nnnnaaxb

42、axbn ( )(4) () (1)(1)()nnnnaxbaxba 则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）公式）公式三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(2

43、2)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex )()()(nxvxu关于莱布尼兹公式，应该注意：关于莱布尼兹公式，应该注意：)()(0kknnkknvuC (1)knC不要丢了系数；不要丢了系数；(2)( )( )0( ),( ).u xv xv xu x恰当地选择和，恰当地选择和，求导最快为 的为求导最快为 的为容易求出任意阶导数的取做容易求出任意阶导数的取做间接法间接法: :利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求

44、出求出n阶导数阶导数.例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy 66)5()1(! 5)1(! 521xxy 66)1(1)1(160 xx.,21)(2nyxxy求求 解解 练习练习)2111(31 xxy111111312( )()!()()nnnnynxx例例8.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)(

45、nxynn降幂降幂小结小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.1. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?1(1)1xyx 3(2)1xyx 解解: 解解: 练习练习1! ( )nnf x 2. (填空题填空题) (1) 设设2216( )(32) cos,xnf xxx 则则( )(2)nf ( )f x 16cos) 1(2xxn( )( )nfx16cos) 1(2xxn提示提示:各项均含因各项均含因子子 ( x 2 )nx)2(

46、! n22!n(2) 已知已知( )f x任意阶可导任意阶可导, 且且2n时)()(xfn提示提示:2( ) ( ) ,fxf x 则当则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf3. 设设,3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高._n2阶数阶数 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微

47、分2.4 2.4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定函数的导数二、由参数方程所确定函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函数函数该区间内确定了一个隐该区间内确定了一个隐在在那么就说方程那么就说方程值存在值存在的的唯一唯一的的相应地总有满足这方程相应地总有满足这方程间内的任一值时间内的任一值时取某区取某区当当中中设在方程设在方程.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不

48、易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :1. 应用复合函数求导法则直接对方程应用复合函数求导法则直接对方程 两边求导两边求导.( ,( )0F x f x 2. 通过解方程得到导数通过解方程得到导数.例例1 100,.xyxxyeedydyydxdx 求由方程所确定的隐函数求由方程所确定的隐函数的导数的导数解解要特别注意在求导的过程中，视要特别注意在求导的过程中，视 y = f (x)是是x的函数的函数.:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知00

49、0 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx01;4xy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代入代入01.16xy 01;4xy解解反函数的导数反函数的导数 . .例例3 3 求求xyxe例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两

50、边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 xxxxyy1sinlncos)sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)()(1)(lnxfxfxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 方法方

51、法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :总结例总结例4,54,5如下如下: :( )( ).v xu x多个函数相乘、除及幂指函数的情形多个函数相乘、除及幂指函数的情形1. 设设tan3ln22(sin ),(2)xxxxyxxx 求求.y 1y2y提示提示: 分别用对数求导法求分别用对数求导法求12,.yy答案答案12yyytan2(sin )(seclnsin1)xxxx 212ln3(2)3(2)xxxxx练习练习3ln212(2)xxxx 2. 2. 设设( )yy x

52、 由方程由方程yexye确定确定 , , (0) ,y 解解 求求(0) .y 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函

53、数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddx

54、yd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .c

55、ossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 小结小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法

56、则; 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.5 2.5 导数的简单应用导数的简单应用一、一、 切线与法线问题切线与法线问题二、二、 相关变化率相关变化率oxy)(xfy T0 xM由导数的几何意义，由导数的几何意义，)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程

57、为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy 0001()()yyxxfx 一、一、 切线与法线问题切线与法线问题0()0).fx 31yx xy01000000( ),()()limlim,( ). ()xxf xxf xxf xyxxf xx 设函数在点连续 但设函数在点连续 但称函数在点有不称函数在点有不无穷无穷意意导数导数可导！可导！注注例如例如, 1)(3 xxf11.xx 在处不可导，在处不可导，但此时有垂直切线但此时有垂直切线2300000()()limlim1limxxxf xxf xyxxx 例例1 1解解2(3,8),.Myx 过作曲线的切线 写出切线方程过

58、作曲线的切线 写出切线方程例例2 2解解333,3 3( , ),2 2.CxyxyCC设曲线 的方程为求过 上设曲线 的方程为求过 上点的切线方程并证明曲线 在该点的法点的切线方程并证明曲线 在该点的法线通过原点线通过原点例例3 3解解.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttaxdtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例3 3.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1

59、()sin( ttayttax二、相关变化率二、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?( )( ).,xx tyy txdxydtdydt设及都是可导函数而变量与设及都是可导函数而变量与之间存在某种关系 从而它们的变化率与之间存在某种关系 从而它们的变化率与之间也存在一定关系这样两个相互依赖的之间也存在一定关系这样两个相互依赖的变化率称为变化率称为相关变化率相关变化率1.1.先建立先建立 x , ,y 之间的函数关系之间的函数关系F (x , y)=0, ,2.2.方程方程F (x , y)=0两边对两边对

60、t求导求导, ,得到得到 与与 的关系式的关系式. .dtdxdtdy解决这类问题的一般途径是解决这类问题的一般途径是: :例例9 9解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高度为分分米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为分钟后分钟后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140分分米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(1