正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系

1、第二十四章 圆观察下列图形，从这些图形中找出相观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形应的正多边形.正正n 边形：边形：正三正三角形角形正方形正方形想一想想一想你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切, ,只要把一个只要把一个圆圆分成分成相等相等的一些的一些弧弧, ,就可以作出这个圆的内接就可以作出这个圆的内接正多边形正多边形, ,这个圆就是这个正多边形的这个圆就是这个正多边形的外接圆外接圆. .探索新知探索新知ABCDEOABCDE如图如图, ,把把O分成分成相等的相等的5 5段弧段弧, ,依次连接依次连接各分点得到正五

2、边形各分点得到正五边形ABCDE. . AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABCDEO同理同理B=C=D=E.又又五边形五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在 O上上, 五边形五边形ABCDE是是O的内接正五边形的内接正五边形, , O是五边形是五边形ABCDE的外接圆的外接圆. .我们以我们以圆内接正五边形圆内接正五边形为例证明为例证明. .AB=BC=CD=DE=EABCE=CDA=3AB正多边形每一边所对的正多边形每一边所对的圆心角圆心角叫叫做做正多边形正多边形的的中心角中心角（即（即AOB ）我们把一个正多边形的我们把一个正多边形的外接圆外接圆的的圆心圆心叫做这个叫做这个正多边形正

3、多边形的的中心中心（即（即点点O）外接圆外接圆的的半径半径叫做叫做正多边形正多边形的的半径半径（即即OA）中心到正多边形的一边的中心到正多边形的一边的距离距离叫做叫做正多边形正多边形的的边心距边心距（即（即OM）引入新知引入新知O中心角中心角半径半径R边心距边心距rABCDEFM正多边形的外接圆正多边形的外接圆 圆内接正多边形圆内接正多边形ABCDEFOO圆心角圆心角中心角中心角ABCDEFCDABMM半径半径R半径半径R圆心圆心中心中心弦心距弦心距r边心距边心距r弦弦边边外外接接圆圆O O圆圆内内接接正正多多边边形形圆心圆心O 中心中心O 半径半径OAOA（R R） 半径半径OAOA（R R

4、） 圆心角圆心角AOB 中心角中心角AOB 弦心距弦心距OM(r) 边心距边心距OM(r) 弦弦CD 边边CD ABEF.连接连接OC，由垂径定理（运用圆的有关知识）得，由垂径定理（运用圆的有关知识）得CDCM21nnCOM1803602121中心角.Rt222CMOMOCCOM中，有在 中心角一半 边长一半 半径R 边心距r M C O603180336021213中心角时，当COMn454180436021214中心角时，当COMn306180636021216中心角时，当COMn 边心距r 半径R 60 O M C 边心距r 半径R 45 O M C 边心距r 半径R 30 M C O）

5、边心距（）边心距（面积，边心距）（rnarLSraR2121222EFCD.n360中心角nBOGAOG180边心距边心距OG把把AOB分成分成2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a, ,半径为半径为R, ,它的周长为它的周长为L=na. .Ra例例. . 有一个亭子有一个亭子, ,它的地基半径为它的地基半径为4 m4 m的正六边形的正六边形, ,求地基的周长和面积求地基的周长和面积( (精确到精确到0.1 m0.1 m2 2).).解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心所以它的中心角等于角等于 ，OBC是等边三角形，从

6、而正是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径六边形的边长等于它的半径.因此因此, ,亭子地基的周长亭子地基的周长l =46=24(m).OABCDEFRPr360606例题讲解例题讲解利用勾股定理利用勾股定理, ,可得可得边心距边心距22422 3.r 亭子地基的面积亭子地基的面积211242 341.6(m ).22Slr在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，例题讲解例题讲解OABCDEFRPr巩固练习巩固练习1 1正八边形的每个内角是正八边形的每个内角是_度度. .1352 2如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF内接于内接于O，则，则CFD的度数是（的度数是（ ）

7、A. 60 60 B. 45 45 C. 30 30 D. 22.5 22.5C 3 3如果一个正多边形绕它的中心旋转如果一个正多边形绕它的中心旋转9090就与就与原来的图形重合，那么这个正多边形是（原来的图形重合，那么这个正多边形是（ ） A.正三角正三角形形 B.正方形正方形 C.正五边形正五边形 D.正六边形正六边形B 4 4已知正六边形的边心距为已知正六边形的边心距为 ，则它的，则它的周长是周长是_._. 3125 5如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF的半径为的半径为2 2，以它，以它的中心的中心O为坐标原点，顶点为坐标原点，顶点B、E在在x轴上，求轴上，求正六边形正六边形ABC

8、DEF的各顶点的坐标的各顶点的坐标?O?F?E?D?C?B?A xyA（-1，?）3B（-2，0?）C（-1，?）3D（1，?）3E（2，0?）F（?1，?）36 6如图，有一圆内接正八边形如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若若ADE的面积为的面积为1010，则正八边形，则正八边形ABCDEFGH的面积为的面积为( ) ( ) A. 40 B .50 C. 60 D. 80 A. 40 B .50 C. 60 D. 80 BACDEFGHA7 7边长为边长为6 6的正三角形的半径是的正三角形的半径是_._.32?A?B?C?D?E?F?O8 8如图，如图，O的周长为的周长为 cm,cm,求以它的半求以它的半径为边长的正六边形径为边长的正六边形ABCDEF的面积的面积