(完整版)必修四必修五+圆锥曲线测试题(含答案)

1、必修四必修五 +圆锥曲线测试题（含答案）一、单选题 (60分）1等差数列 an 中， a a 16， a 1，则 a （）69411（A）64（B）30（C）31（D）15xy22已知变量 x, y 满足 xy2 ，则 zx2 y 的最小值为（）x1A 1B 3C 1D 23抛物线 y24x 的准线与双曲线x2y21(a 0) 交于 A, B 两点，点 F为抛物线的焦点，若a2FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A 5B 6C 5D 6554算法统宗 是中国古代数学名著， 书中有这样一个问题：“三百七十八里关， 初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算

2、相还, ”题目大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛走的路程为前一天的一半，走了6 天到达目的地。”则该人最后一天走的路程是 ()A3里 B 4里 C 5里 D 6里5若 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是 a, b, c ，已知 2bsin2 AasinB ，且 b 2, c3 ，则 a 等于（）A6B22 C10D 46两个正数 a 、 b 的等差中项是7 ，一个等比中项是23，且 a b ，则双曲线 x2y22a2b21的离心率 e 等于（）A 3B15C 5D 542437点 P 是双曲线 x2y21(a0, b0)22a22a2b2与圆 xyb

3、在第一象限的交点， F1, F2 分别为双曲线左右焦点，且 PF13 PF2 ，则双曲线的离心率为（）A 5B 10C 10D 52218如图是函数 y sin xx R, A 0,0,0在区间5上的图象，为了得到6，26这个函数的图象，只需将y=sin x 的图象A 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的1，纵坐标不变32B 向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变3C 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的1，纵坐标不变62D 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变69关于 x 的一元二次不等式 ax2bx1

4、0 的解集为 x|1 x1, 则 ab 的值为（）3A6 B -5 C -6 D 510在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，若 a,c,b 成等差数列，且 C， VABC 的面积3为 2 3，则 c()A4B22 C3 D 211若正数 ?，?满足 ?+ 2?=2，则 ?+14?+2的最小值为（）?A12 B16 C 18D 2412已知各项均为正数的等比数列? 满足 ? = ? + 2?，若存在两项 ? ,? 使得 ? ? = 4?，?765? ?1则 14 的最小值为（）?+ ?A 3B 5C 9D 9234二、填空题（ 20 分）13若 sinsin13

5、， coscos1 ，则 cos_2214直线 ?=3?是双曲线22?-?的一条渐近线，双曲线的离心率是_22 = 1?215在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，若（3bc）cosAacosC，则 cosA_4的最小值为 _.16若 x 2，则 x +x -2三、解答题（ 70 分）17在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 cos ABcosC3sin A B3sinC .（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b 2 ，求 ABC 面积的最大值 .18数列 ? ?，? = ?.143（ 1）求数列（2）设 ? =?满足 ? = 1，

6、?= 2?(? )，?为其前 ?项和 . 数列 ? 为等差数列，且满足 ? =1?+1?1? ，? 的通项公式；?1，数列 ?的前 项和为，证明：11 .? ?log?3? <?2?22?+2319已知双曲线 C 和椭圆 x2y21 有公共的焦点，且离心率为3 41（）求双曲线 C 的方程（）经过点 M 2,1 作直线 l 交双曲线 C 于 A ，B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线l 的方程20已知函数 f ( x)cos(x) 4（）若 f ( )7 2 ，求 sin 2的值；10（ II ）设 g(x)fxfx，求函数 g (x) 在 R的最值2421已知数列的前项和满足.（

7、）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.225?+?= 1(?> ?> 0) 的离心率为22在平面直角坐标系 ?中，已知椭圆 ?:22，且椭圆 ?的短轴?322恰好是圆 ? + ? = 4的一条直径 .(1)求椭圆 ?的方程(2)设 ?, ?分别是椭圆 ?的左，右顶点，点?是椭圆 ?上不同于 ?, ?的任意点，是否存在直线 ?= ?，1212使直线 ?1?交直线 ?= ?于点 ?，且满足 ? ? = -1 ，若存在，求实数 ?的值；若不存在，请22说明理由5参考答案1 D【解析】试题分析：在等差数列n中， a6a9a4 a11 , 所以 a1115,故选 D.a考点：等差数列的

8、性质.2 A【解析】xy2试题分析： 约束条件xy2 的可行域如图所示三角形ABC部分，当目标函数zx2 y 过点 B（ 1，-1 ）时，x1z 取最小值，最小值为1+2×（ -1 ） =-1 ，故选 A.yA（ 1,1）C（ 2,0）OxB（1,-1）考点：线性规划的应用.3 D【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y ，根据双曲线的对称性可知FAB 为等腰直角三角形，进而可求得A 或 B 的纵坐标为2 ，进而求得 a ，利用 a,b 和 c 的关系求得 c ，则双曲线的离心率可 得 .解 ： 依 题 意 知 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x1 ，

9、 代 入 双 曲 线 的 方 程 得 y1a2，不妨设aA( 1,1 a2)，设准线 x1 与 x 轴的交点为 F1 ，FAB 是直角三角形， 所以根据双曲线的对称性可知，aFF1 A 为等腰直角三角形，所以AF1 FF1 2 即1a22 ，解得 a5， c2a2b2116，a555所以离心率为6，选 D.考点：双曲线的性质.4 D6【解析】记每天走的路程里数为? ，可知数列 ?是公比 ?=1?1 (1-216)的等比数列 ，由 ? = 378 ，得 ? =1= 378，?2661-2解得 ? = 192, ? = 192 ×1= 6，故选 D.25165 C【 解 析 】 由 2b

10、sin2 AasinB 可 得 ：4sinBsinAcosAsinAsinBcosA1,在由余弦定理得：41b2c2a2a10cosA2bc46 Dab7a3【解析】由题意可得：22，结合 0 ab 求解方程组可得：，ab22b43则双曲线中：ca2b25, ec5.a3本题选择D 选项 .点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围 )，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ec ；a只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 c2a2b2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式 (不等式 )两边分别除以a 或 a2 转化为关于 e 的方程

11、(不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )7 B【解析】试题分析：依据双曲线的定义：|PF1| PF2| 2a ，又12 ，所以 |PF1|3a ， | PF2 | a , 因为圆PF3 PFx2y 2a 2b2 的半径 ra2b2c ，所以 F1F2 是圆的直径 , 所以 F1PF290o , 在直角三角形 F1PF2中 , 由 (3 a) 2a2(2c)2 解得ec210a22考点： 1. 双曲线离心率；2. 圆的几何性质【方法点睛】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数a, b, c 的方

12、程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围较多时候cb2解题解圆锥曲线的题目 , 要将题目叙述的图形正确的画出来, 然后考虑圆锥曲线的定义利用 e , e 1a2a7和图形的集合性质来解题.8 A【解析】由图可知A=1 ，T=，=2 ，又 + =2k （k Z），6 =2k +（ k Z ），又 0 ? ，32 =，3 y=sin （ 2x+ ）3为了得到这个函数的图象， 只需将 y=sinx （ x R）的图象上的所有向左平移个长度单位， 得到 y=sin （ x+13）的图象，再将y=sin （x+）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可332故答案为A 。9 A1b1+

13、 12【解析】 由题可知 -1 和是方程 ax2bx 10 的两根 ，由根与系数关系可知a33，所以311a3a3,b2. ab 6。 所以选 A。10 B【解析】 Q a,b,c 成等差数列，ab2c ， QABC1ab33 ，由余面积为 2 3,222弦定理可得 c2a2b22ab1，由得，c 22，故选 B.211 C【解析】分析：可先将问题变形为：?+14?+2?+14?+?+2?216，再结合 1的用法的基本不等式即可解?=?= ?+ ?决 .详解：由题可得：?+14?+2?+14?+?+2?216216216112?32?=?= ?+ ?，( ?+ ?) ?2 = ( ?+ ?)

14、?(? + 2?)?2 = 2 (16 +?+ 4+?) 12×36 = 18点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合1 的用法解题是本题关键，属于中档题.812 A【解析】分析：由a 7=a 6+2a 5求得 q=2，代入 ?= 4?1求得 m+n =6，利用基本不等式求出它的最小值详解：由各项均为正数的等比数列a n满足 a 7=a 6+2a5 ，可得654，?1= ?1+ 2?12， q=2q q 2=0m+n 2=16m+n 2=24， m+n=6 ， ? ? = 4? ，q，2? ?1141(1+4?)=1(5 +?+4?) 1?4?3.?+ =6?)(? +6?

15、6(5+2 ?) =2?当且仅当 ? = 4? 即 m=2,n=4 时，等号成立?143故 ? + ?的最小值等于 2.故选 A点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如1+4= (1+4)×6×1 ，再把常数6 代换成已知中的m+n , 即 1+4=?6?1(1+4常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.6?)(? + ?).?3132【解析】将已知条件两边平方得sin2sin22sin sin73 ， cos2cos22cos cos1 ，44两式相加化简得

16、 cos3.214 2【解析】分析：利用双曲线的渐近线方程，推出a， b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可2222详解：双曲线?-?= 1的一条渐近线方程为?= 3?，可得?3 ，即? -?= 322=2?解得 e=2 故答案为： 2 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力3153【解析】试题分析：由正弦定理可将已知条件转化为3 sin Bsin C cos Asin A cosC3sin B cos A sin A cosC sin C cos A sin A C sin B3cos A39考点：正弦定理与三角函数基本公式16 6【解析】试题分析：因为，x 24= x - 2

17、+44，即 x +4的，所以， x + 2 ? 2 ( x 2) ?2 = 6x - 2x - 2x- 2x- 2最小值为6.考点：本题主要考查均值定理的应用。点评：简单题，通过改造函数的表达式，应用均值定理。应用均值定理时，“一正，二定，三相等”，缺一不可。17（ 1） B（2） 33【解析】试题分析：（1）根据三角形内角关系及诱导公式得cos ABcos AB3sin AB3sinAB ，再根据两角和与差的正余弦公式展开化简得tanB3，即得 B3. （ 2）先由余弦定理得 4c2a2ca ，再根据基本不等式得ac4，最后根据三角形面积公式得最大值 .试题解析：（ 1）在ABC中， A B

18、 C，则 cos ABcos A B3sin AB3sin AB ，化简得：2sinAsinB23sinAcosB由于 0A， sinA0 ，则 tanB3，解得 B.3（ 2）由余弦定理，4c2a2ca2accaac ，从而 S1 casin33，2当且仅当 ac 时取 S 到最大值 .18（ 1）?=?-1. ?2?-1. （ 2）见解析 .2? =【解析】 分析：（ 1）由 ?= 2?可知， ? 是首项为1，公比为 2 的等比数列， 利用 ? = ?，? = ?.解?, ?两?+1?11431个基本量， ?= 1，?= 2。1（ 2）? =1=1，利用裂项相消求出?的表达式即可。? ?l

19、og?(2?-1)(2?+1)?22?+2详解：（1）由题意知， ?1，公比为2 的等比数列，?是首项为 ? = ? ?2?-1 = 2?-1 . ? = 2?- 1.? 1?设等差数列 ?= 1+ 3?= 7，?的公差为 ?，则 ?1 = ?1 = 1， ?4 ?= 2，则 ?×2 = 2?- 1.?= 1 + (?- 1)10（ 2）证明： log2?= log22?+1， ?=1=1=1(1-1) ，? ?log?(2?-1)(2?+1)22?-12?+12?+22?22?+2 ?= 1 (1 -1 +1-1+?+1-1 )=1(1 -1)=? .23352?-12?+122?

20、+12?+1?=1(1-1) <1，当 ? 2时， ?-?-1=?-?-1=1> 0， ? ， ?22?+122?+12?-1(2?+1)(2?-1)数列 ? 是一个递增数列，?1 =1. 综上所述，1 ? <1.332点睛：等差等比之间的转换：等比数列添上对数的运算变成等差数列，等差数列添上指数的运算变成等比数列。裂项相消法是用来解同一等差数列的前后两项之积的倒数的模型。19 ( ) x2 y21 ( ) y 4x 72【解析】试题分析：（ I）设双曲线方程为x2y2 1(a 0, b 0) ，由题意得 c2a2b23，结合ec3，可得 c23a2 ，a2b2a故可得 a2

21、1 ， b22 ，从而可得双曲线方程。（）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y k x 2 1 ，与双曲线方程联立消元后根据根与系数的关系可得x14kx2k直线方程。试题解析：222k，解得 k4 可得42x2y2的焦点为 F3,0 ， F23,0 ，（ I）由题意得椭圆141设双曲线方程为x2y 21(a0, b 0) ，a2b2则 c2a2b23 ， ec3a c3a ， c2 3a2 3，解得 a21 ，b22 ，2双曲线方程为x2y1211（ II）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y 1k x 2 ，即 y k x 2 1 。y kx21由 y2消去 x 整理

22、得x2122 k 2 x22k 4k2 x 4k 4k23 0 ，直线 l 与双曲线交于A， B两点，2 k 20，2k 4k 2 24 2 k24k 4k23 0解得 k 22 。设 A x1 , y1 ， B x2 , y2 ,则 x1 x24k 22k ，k 22又M 2,1 为 AB的中点4k22k4 ，k22解得 k4 满足条件。 直线 l的方程为 y 4 x 21 ，即 y 4x 7 .点睛：解决直线与双曲线位置关系的问题的常用方法是设出直线方程，把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题当直线与双曲线有两

23、个交点的时候，不要忽视消元后转化成的关于x(或 y) 的方程的 x2（或 y2 ）项的系数不为0，同时不要忘了考虑判别式，要通过判别式对求得的参数进行选择24；（ II）120（ I ） sin 2225【解析】试题分析：（ I ）由 f (72，化简得 cos7，平方后利用正弦的倍角公式，即可求解sin2的)sin105值；（ II ）化简 g x1 cos 2x ，即可求解 g( x) 在 R 的最值2试题解析：（）因为f ( )cos(72)，41012所以2 (cossin)7 2，所以 cossin7 2105平方得， sin 22sincoscos2=49 ，25所以sin 224

24、 25（ II）因为 g ( x)fxf x= cos(x) cos( x)244=2 (cos x sin x)2 (cos xsin x) =1(cos2 xsin 2 x) =1cos 2x 2222所以 g (x) 的最大值为1 ； g (x)的最小值为 -1 22考点：三角恒等变换；三角函数的性质21 19，1，2，【解析】【分析】（ ）由数列nnn，利用n 的通项公 a 的前 n 项和 S满足S=，能求出数列 a式（ ）推导出，由此利用错位相减法能求出数列 b n 的前 n 项和【详解】解：（）当时，；当时，符合上式 .综上，.， ，.则，.13【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1) 要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“ Sn ”与“ qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nn”的表达式； (3) 在应用错SqS位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解 .2239?22 (1)9 +4= 1(2)? =5【解析】【分析】522? ?-?， 2b=4 ，联立解出即可得出；（ 1）由 e=3=?)?0?0()（ 2）由题意知 ,设?( ?,0 ?0，直线 ?1 ?的