圆锥曲线常见题型及复习资料

1、例题：（1）已知定点 是 （）A.（答: C）；（2）方程曲线的左支）表示的曲线是D .（答：双圆锥曲线常见题型归纳、基础题涉及圆锥曲线的基本概 念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程， 求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短） 轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系;（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在轴和 轴的两种（或四种）情况;（3）注意 El， I亠， I，的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 I ，双曲线中 I ，离心率亠，准线方程_

2、I，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的（3 ）已知点三匚及抛物线日上一动点P （）,则的最小值是（答: 2）（4） 已知方程 | 表示椭圆，则 的取值范围为（答：I ）;（5） 双曲线的离心率等于 ，且与椭圆.有公共焦点，则该双曲线的方程 （答：丄）；（6） 设中心在坐标原点 ，焦点、 在坐标轴上，离心率亠 的双曲线C过二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股

3、定理，圆的性质，解 三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应 由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处 理；圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以叵（）为例）： 范围：；焦点：两个焦点L一 ；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ），四个顶点其中长轴长为2，短轴长为2 ； 准线：两条准线匕I ；离心率：.，椭圆L g ，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁例：（1）若椭圆 的离心率訂，贝V的值是（答：3或 ）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（答：）（2）双曲线（以1）为例）范围：一或；焦

4、点：两个焦点 一；对称性：两条对称轴I ，一个对称中心（0,0 ），两个顶点I，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲 线，其方程可设为 亠 ；准线：两条准线 I ；两条渐近线：离心率：日，双曲线，等轴双曲线I，越小，开口越小， 越大，开口越大；例：（3）双曲线的渐近线方程为土 34,则双曲线的离心率为-耳（4） 双曲线I的离心率为，则冋=（答：4或）；（5） 设双曲线一（a>0>0）中，离心率e ,2,则两条渐近线夹角B的取值范围是（答：.）；（3）抛物线（以 ） 为例）：范围： I ;焦点：一个焦点冷，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称

5、性：一条对称轴1，没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线巨；离心率：，抛物线上（4）点L和椭圆一 x |(）的关系：（1）点曰在椭圆夕卜 丄；2）点EHJ在椭圆上1_=1；(3)点1在椭圆内，丨例：（6）U |设尸创，则抛物线的焦点坐标为（答：LrJ）；（7） 已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为 3,则点P到右准线的距离为（答: _）；（8） 已知抛物线方程为 I，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物 线的焦点的距离等于；（9） 若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点 的坐标为（答： ）；（10） 点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，贝V点P的横坐标

6、为（答：目）；三、直线与圆锥曲线的关系题（1） 写直线方程时，先考虑斜率 存在，把直线方程设为 I的形式，但随 后应对斜率 不存在的情况作出相应说明， 因为 不存在的情况很特殊，一般是验 证前面的结论此时是否成立；（2） 联立直线方程和圆锥曲线方程， 消去 或消去，得到方程 :或 I ，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。（3）当方程或的二次项系数 F时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用 判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条

7、；）（4）当方程或的二次项系数 时，判别式也、也、 ，与之相对 应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用 来求斜率的范围；例题：（1） 过点作直线与抛物线 E只有一个公共点，这样的直线有（答：2）；（2） 过点（0,2）与双曲线三|有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为（答：叵）；（3）直线y 1=0与椭圆 |恒有公共点，则m的取值范围是（答：1 ,5）U（ 5, +8）;（4）过双曲线三的右焦点直线交双曲线于 A B两点，若丨丨=4,则这 样的直线有条（答：3）；（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提亠,），记为| ,其中 ,亠1|的坐标可由方程或求得，一般

8、是由方程求出I ,再代入直线方程求3 ,或由方程求出 3 ,再代入直线方程求I。（6） 涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程 求出 FI耳，匕sJ 在直线 W 上，二 ALI ,请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去，得到 I ，继而用 韦 达 定 理， 求 出 二_】，_IK I '（6） 若抛物线 f的焦点弦为， ；，则丨； .=II（7） 若、是过抛物线一I 顶点0的两条互相垂直的弦，则直线恒经过定点 ILidll（7） 涉及弦中点问题，可用 韦达定理，由方程 :求出二，设弦的中点为 三I ，贝V 叵，日I点也在直线上，二I 。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率有关，而不涉及弦长，

9、则可把弦的坐标Q，f直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有、三I、 匡岂、I三，这些都与弦中点坐标和弦的斜率有关。（点差法）（8）弦满足有关的向量的条件，女口 （为原点），贝V 亠一 ,又如过椭圆 1的右焦点的直线与该椭圆交于刁两点，且I，求直线的方程。特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！ 例：（1）抛物线 F 上的两点A B到焦点的距离和是5,则线段的中点到 轴 的距离为（答：2）;（2）如果椭圆匕二 弦被点A （4, 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答： ）；（3）已知直线一1与椭圆相交于A B两点，且线段

10、的中点在直线L: x -20上，则此椭圆的离心率为(答：)；(1) 双曲线尸f的渐近线方程为 肓(2) 以产 为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为pq 为参数，工0)。如(4)与双曲线有共同的渐近线，且过点|耳 的双曲线方程为(答:丨)(5) .经过双曲线回 的右焦点F2作倾斜角为30°的弦，(1) 求(2) 求三角形 di的周长，(Fi是左焦点)(6) .已知抛物线与直线(1)相交于A B两点(1) 求证： (2) 当，求k的值。(7)已知动直线I与椭圆 厂相交于、两点，已知点RI ，求证：一为定值.解：将 I代入中得5KI所以（8）过椭圆冋 内一点上J引一条弦，使弦被-点

11、平分，求这条弦所在直 线的方程。四、关于圆锥曲线的最值（1） 圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标.F ，用两点间的距离公式表示距离，利用点丄的坐标 满足圆锥曲线方程，消去（或消去 ），把 表示成 （或）的二次函数，因为 （或）有一个取值 范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最 值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行 的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：（1）椭圆x八2/3八2=1上的点到直线4=0的最短距离； 五、求动点的轨迹方程

12、（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；注意：不重合的两条直线I 与.*" I ，弓的法向量为:，方向向量为3 /“ “ 一 且 匕_1（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立.之间的关系 I ;（1）已知动点P到定点F（1,0）和直线 F的距离之和等于4,求P的轨迹方程.（答: =J或 I ）; 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求 曲线的方程，再由条件确定其待定系数。（2）线段过x轴正半轴上一点 M （m 0），端点A B到x轴距离之积为2m以X轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：E ）;

13、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直 接写出动点的轨迹方程；由动点P向圆 L 作两条切线、，切点分别为 A B,/ 600,贝V动点P的 轨迹方程为 （答：' ）;（4）点M与点F（4,0）的距离比它到直线is 的距离小于1,则点M的轨迹方程 是（答：）；（5）一动圆与两圆O M HI和O N:-都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； 代入转移法：动点 I依赖于另一动点 b 的变化而变化，并且 4又在某已知曲线上，则可先用.的代数式表示冋,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；（6）动点P是抛物线丨上任一点，定点为，点M分 所成的比为2,则M的轨迹方

14、程为（答：）；（7） 是圆O的直径，且2a, M为圆上一动点，作丄，垂足为 N,在上取点，使，求点的轨迹。（答：f ）；（8） 若点丨在圆上运动，则点的轨迹方程是（答：X】）；9）过抛物线I的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦的中点 M的轨迹方程是（答：）；（14全国卷）20.（本小题满分12分）已知点勺（0, -2 ），椭圆勺：x 的离心率为_1 , 是椭圆的焦点，直线的斜率为冃,为坐标原点.（I）求的方程；（）设过点 的直线与相交于两点，当T的面积最大时，求的方20.（本小题满分12分）解：（I）设 _I ,由条件知，厂，得 ,又 | ，所以 故的方程为（H）当 轴时不合题意，故设F

15、7!得当 t ，即时，从而又点到直线尸的距离 | ，所以Ki的面积，则冋，因为|回I ,当且仅当，即卩丨时等号成立，且满足所以当 的面积最大时，的方程为12分答案一：1 2.双曲线的左支3V八2/4 即x八2=4y二焦点F为(0,1 )准线：1过点P作丄1于M，.| = |二 I 1= II 1：当三点共线时丨丨最小(II)" ( 2V 2)八2+1=3()(11 1) 3-1=24.= J ) ；5. 亠| ;6.:1.3 或2. 设焦点在x轴上，则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形，底边长为2c,面积最大时，底边上的高最大，即该动点必须位于椭圆与 y轴的交点上，即此时高为b,即

16、 2c*2=111而 cA2= aA2A2 =(1)A2即 aA2= bA2 +(1)A2> 2a>V2 长轴 2a>2V23. (1)焦点在x轴上，渐近线土()x 3/4 3t, 4t 5t 5/4(2)焦点在y轴上，渐近线土()x 3/4 3t, 4t 5t 5/34.4 或5. V2,2, ( n - 6 )/2 1/2,1/V2, n - 6 n /2,2 n /3,6.回 7.8. 7 ( n - 6 )/2 n /4, n /3,6的取值范围是n /3, n /2.( )10. _9.1、2 2.显然该抛物线焦点是(2,0 )这个点在5上.解方程组52=8x ,

17、则52V10.二该点坐标为(5,2 V10).用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为，过(0,2 )点，.可得22与x2/92/16=1有且只有一个公共点也就是方程组x2/92/16=1 ; 2只有一组解将2代入x2/92/16=1得到：(16-9k2)x2-18180=0就此讨论：当16-9k2=0时，方程只有一组解，也就是土(4/3)时，方程只有一组解当16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件也就是b2-40,可以得到另一组k的值x: y, II j i欲使其与椭圆 ' J1'3：v椭圆*m=，二讯且应，直线恒过定点(°) 恒有公共点，只需让

18、落在椭圆内或者椭圆上，即:匸选C.4. XA2 - Y八2/2 =1 c 2=1+2=3 F(V3,0)过F且垂直x轴的直线是V 3 代入则y2=4± 2所以此时2-(-2)=4所以这里有一条且都在右支时其他的直线则都大于4所以都在右支只有直线L交双曲线于两点、B分别在两支时，顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是2<4 所以也有两条，关于x轴对称所以共有3条1. 2 2.04.解ND如图和-(1所丽由-】得/ =】 fra - 3P从而 F 吞 4+ r+ F| ( 2 + 0).设 A ( t Xi ) f yi)»枉 仙方理为y 亨(x + 72).由3*聲理

19、得 S*2 4x 13 = D. *. X| + 也口 寺« xl2 E 罟g 令 * *号务即- Ixi r x2( S '华又 1 AS I I ffftl - I 41 I 山焦 半経公式知 MF J = <h3 + a. "Fj = * czi -趕 /, I I = i fiFi f - I yl/'t I = e< zf + *； + 2a 2 xy + 2 = 3(2) %' I I = er - at I Af2 I = o - eqI I + iAF2l sjrJ = 2x m 3/3；qAS” 周长为I肋I +Af =3 + jA6、(1)将(1)代入 y八2,设 A (X11) (X22)易得 X12(2kA2+1)A21*X2=1y1*y2A2(X1+1)(X2+1)10A斜率K1为y11,0B斜率K2为y22,所以K1*K21得证(2)1/2(根