圆幂定理讲义

1、圆幂定理1:进门考 理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。(1)例题复习1. (2015?夏津县一模)一副量角器与一块含 30°锐角的 三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径上， 顶点A, B恰好都落在量角器的圆弧上，且/.若 8,则量角器 的直径.【考点】M3垂径定理的应用；：勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作丄于点 D,取圆心O连接，作丄于点 E,首先求得 的长，即的长，在直角中，利用勾股定理求得半径的长，贝V即 可求解.【解答】解：作丄于点 D,取圆心O连接，作丄于点E.在直角中，/ 30

2、°,贝V亍4,在直角中，/ 90°-/ 60°,-?4X 二=2(),二 2.：；,在中，丄4,则 i | ：' I'2 7 (),则 24().故答案是：4【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.2.,则折痕的长为（D.2 -；故选：D.（2017?阿坝州）如图将半径为 2的圆形纸片折叠后，【考点】M2垂径定理；：翻折变换（折叠问题）【分析】通过作辅助线，过点 O作丄交于点D,根据折叠的性质 可知2,根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出的长.【解答】解：过点 O作丄交于点

3、D,连接，T 22,-'.-()【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用， 正确应用勾股 定理是解题关键.3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，OP的圆 心坐标是（3, a）（ a> 3）,半径为3，函数的图象被O P截得A. 4 B .： C【考点】M2垂径定理；F8: 次函数图象上点的坐标特征；：勾股定理.【专题】11 :计算题；16 :压轴题.【分析】丄x轴于C,交于D,作丄于E,连结，由于3,易得 D点坐标为（3, 3）,则为等腰直角三角形，也为等腰直角 三角形.由丄，根据垂径定理得 寺2近，在中，利用勾股定理 可计算出1,则一：，所以3+】:.【解答】解：

4、作丄x轴于C,交于D,作丄于E,连结，如图，vO P的圆心坐标是（3, a）,二3, 把3代入得3,二D点坐标为（3, 3）,二3,二为等腰直角三角形，二也为等腰直角三角形,在中，3,二和三一律近严二1，二/，二3+卫. 故选：B.7A0C、【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的 性质.4. (2013?内江)在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A (13, 0)，直线-34与O O交于B、C两点，则弦的长的最小值为.【考点】：一次函数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】根据直线-34必过点D (3, 4),

5、求出最短的弦是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出的长，再根据以原点0为圆心的圆过点 A(13， 0)，求出的长，再利用勾股定理求出，即可 得出答案【解答】解：T直线-34 (x - 3) +4, 二 k (x - 3)- 4,t k有无数个值，二x - 3=0, y - 4=0,解得3, 4,二直线必过点D(3, 4),最短的弦是过点 D且与该圆直径垂直的弦,点D的坐标是(3, 4),二5,以原点O为圆心的圆过点A (13, 0),二圆的半径为13, 13,12, 的长的最小值为24;故答案为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合， 用到的知识点是垂径定理、 勾股定理、圆的有关性质，关键是求

6、出最短时的位置.2: 新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念 2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识一、相交弦定理相交弦定理jt I:（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等I? 一基引本题型:各弦被这点所分成的两段的积相等）.I几何语言：若弦、交于点 P,则？（相交弦定理）（经过圆内相的两条线段的比例中项.几何语言：若是直径，垂直于点p,则2?（相交弦定理推论）A. 6 B. 12 C. 8 D.不能确定【例1】（2014秋?江阴市期中）如图，O O的弦、【考点】M7

7、相交弦定理.【专题】11 :计算题.可得出的长,【分析】由相交线定理可得出？，再根据3, 4, 2, 从而得出即可.【解答】解：？,CPt 3, 4, 2,-6,二 2+6=8.故选C.【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.【练习1】（2015?南长区一模）如图，矩形为O O的内接四边形，2, 3,点E为上一点，且1,延长交O O于点F,则线段的长为（ ）【考点】M7相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出，再由相交弦定理求出, 即可得出的长.【解答】解：四边形是矩形，:丄 90°厂丁 I： 一：. w .- 3, 1,. 2, 由相交弦定

8、理得：？,BE-CE 1*225AEV&5故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练 掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的 关键.?综合题型例2】（2004?福州）如图，是O O的直径，M是O O上一点，丄, 垂足为N. P、Q分别是“、Y上一点（不与端点重合），如 果ZZ,下面结论：/仁/2;/ 180° ;/;2?.其中正确的是（）一dA方丿A. B. C. D.【考点】M7相交弦定理；M2垂径定理；M4:圆心角、弧、弦 的关系；M5圆周角定理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对

9、各个结论进行分析，从而得到答案.【解答】解：延长交圆于点 W延长交圆于点E,延长交圆于点F,连接，,丄，/仁/ 2 （故正确），/ 2与/是对顶角，/ 仁/,T是直径，二可得， 同理，点N是的中点，？ 2?（故正确），5/（故正确）故选B.【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂 径定理求解.?与代数结合的综合题【例3】（2016?中山市模拟）如图，正方形内接于O Q点P在劣弧上，连接，交于点 Q.若，则一的值为（）A. 2岛-1 B. 2听 C 冋近 D. V3+2【考点】M7相交弦定理；：勾股定理.【专题】11 :计算题.【分析】设O 0的半径为r，贝V,- m利用相交弦定

10、理，求 出m与r的关系，即用r表示出m即可表示出所求比值.【解答】解：如图，设O 0的半径为r,则，在OO中，根据相交弦定理，得？.2 2 即(r - m)() ?，所以 ”ID连接，由勾股定理，得2225所以,2 2匚)2二卉#JO箸兽*2故选D.【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.?需要做辅助线的综合题例 4】(2008秋?苏州期末)如图，O O过M点，O M交OO于A,延长O O的直径交O M于C,若8, 1,则.【考点】M7相交弦定理；：勾股定理；M5圆周角定理.【分析】根据相交弦定理可证?

11、()(-)2- 2=8，又由直径对 的圆周角是直角，用勾股定理即可求解 6.【解答】解：作过点 M B的直径，交圆于点E、F, 则,由相交弦定理知，？（）（-）2-2=8,是圆0的直径，:丄 90°由勾股定理得，222=64,二 6.【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股 定理求解.r、割线定理n割线定理本题型圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 :相等.【几何吾言：1998?绍兴）如图，过点P作O O的两条割线分别交O O于点A B和点C、D,已 域3线定理）则的长是（） 由上可知：2?A. 3 B. 7.5C. 5 D. 5.5【考

12、点】：切割线定理.【分析】由已知可得的长，再根据割线定理得 ？?即可求得的长.【解答】解：T 3, 2,-5,/ ?5二 7.5 ,故选B.【点评】主要是考查了割线定理的运用.【练习2】（2003?天津）如图，中，/ 90°, 3, 4,以点C为圆心、为半径的圆与、分别交于点D E.求、的长.c£【考点】：切割线定理；：勾股定理.【分析】中，由勾股定理可直接求得的长;延长交O C于点F,根据割线定理，得？，由此可求出的长，进而可求得的长.【解答】解：法1:在中，3, 4;根据勾股定理，得5.延长交O C于点F,则有:3 （O C的半径）， -1, 7;由割线定理得，？，于是

13、于疋匸；所以-二；5法2:过C作丄，交于点M如图所示,由垂径定理可得 M为的中点，s丄?丄?,且 3, 4, 5,.二在中，根据勾股定理得：222,即卩92+ （牛）2解得：亠，【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.?综合题型例 6】（2015?武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16n,过小圆上任意一点P作大圆的弦，则？的值是（）A. 16 B. 16 n C. 4 D. 4n【考点】：切割线定理.【分析】过P点作大圆的直径，如图，设大圆半径为 R,小圆半 径为r，根据相交弦定理得到？（-）？（）2- r2,再利用nR2- nr2=16n 得到 R2- r2=16

14、,所以?16.【解答】解：过P点作大圆的直径，如图，设大圆半径为 R小圆半径为r,/ ?5二? (-) ?()=(R- r)()2 2-r ,两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为16n,'nR -nr =16 n, R2- r2=16, ?16.故选A.B【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路?三、切割线定理切割线定理【働7直定理2从圆?长清区二模割线女如图一点到每条割线O圆的交线!两条线段长切点,111吧等）的割线过点0与O O分别交于B、C,8,4, 几何语言：:求是OQ

15、的半径 ?（割线定理）由上可知：2?【考点】：切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】连接，设o 0的半径为，由勾股定理，列式计算即可.【解答】解：连接，设OO的半径为，（2分）则 r2+8= （4） 2,（ 4 分）解得6,二0 0的半径为6.（2 分）【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟 练掌握.【练习3】(2013秋?东台市期中)如图，点 P是O O直径的延长线上一点，切O O于点C,已知3, 2.则等于()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【考点】：切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出 S,再由3, 2,则8，代入可求出.【解答】解：、

16、分别为O 0的切线和割线，二2?,2/ 3, 2,二 8,二?2X 8=16,二 4.故选C.【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式2?.p四、切线长定理切割线定理(1) 圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这梯8】圆的切线长315?秦皇岛校级模拟)如图，一圆内切四边形，且(2) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.(3) 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的 雪长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.C(D)(4)切线长定理包含着一些隐含

17、结论:A. 32 B. 34 C. 36 D. 38【考点】：切线长定理.【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外 切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长.【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2X（ 7+10） =34.故选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理， 熟悉圆外切四边形的性质: 圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.【练习4】（2015?岳池县模拟）如图，切O O于A, B两点，切O O于点E交，于C, D,若O O的半径为r，的周长为3r,连接，则一的值是（）DA.r- - B-C.【考点】：切线长定理；：切线的性质.

18、【分析】利用切线长定理得出，进而得出_,求出即可.【解答】解：，切O O于A, B两点，切O O于点E交，于C,555二 23r,:,则二的值是：L丄.故选：D.【点评】此题主要考查了切线长定理，得出的长是解题关键.例9】（2014秋?夏津县校级期末）如图， P为O O外一点， 分别切O O于A, B,切OO于点E,分别交，于点C, D.若5, 则的周长和/分别为（）+P7, 90° +|D. 10, 90°C.10 , 90°【考点】：切线长定理.【分析】根据切线长定理，即可得到，,从而求得三角形的周长=2;连接、根据切线性质，/180°,再根据为切线

19、可知.【解答】解：、切O O于A B,切OO于E, 二 10, 二的周长2,即的周长=210,;如图，连接、.由切线性质得，丄，丄，丄，5易证(),(),/ 180°/ P,丄/ P.故选：C.【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或 论证，常通过作辅助线连接圆心和切点， 利用垂直构造直角三角 形解决有关问题，是基础题型.五、圆幂定理请尝试解出下列例题：例 10】（2005?广州）如图，在直径为6的半圆上有两动点M N,弦、相交于点P,则？?的值为.【考点】M7相交弦定理；：勾股定理；M5圆周角定理.【专题】16 :压轴题；25 :动点型.【分析】连接、，根据圆周角定

20、理，由是直径，可证/90。，由勾股定理知，222，由相交弦定理知，？，原式（）（）2?2?22+2?222+2?2+（）2222=36.【解答】解：连接、，T是直径，/ 90°.222原式（）（）2222+2?222+2?2+ ()2222=36.【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幂定理。（部分参考书以前三条为圆幂定理）圆幂定理：过平面内任一点 P （P与圆心O不重合）做O O的（切）割线，交O 0与点A、B,则恒有PA PB0P2“ 0P2被称为点P到OO的幂。）3:落实巩固一一查漏补缺理念：找到自己本节课的薄弱环节4:总结理念：本结课复习

21、了什么？学到了什么?方法：学生口述+笔记记录5:课后练习 一.选择题（共5小题） 1.如图所示，已知O O中，弦，相交于点 P, 6, 2, 4，贝V的长 是（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【分析】可运用相交弦定理求解，圆内的弦，相交于P,因此?, 代入已知数值计算即可.【解答】解：由相交弦定理得？，T6, 2, 4,?- 6X 2-4=3.故选D.【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一 点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.2.0 O的两条弦与相交于点 P, 3, 4, 2,贝卩（A. 12 B. 6 C. 8 D. 7【分析】根据相交弦定理进行计算.【

22、解答】解：由相交弦定理得：？，W 6, 2+6=8.故选 C.PC 2，【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点， 各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算.3. 如图，0 O中，弦与直径相交于点 P,且4, 6, 2，则O O的 半径为（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【分析】根据相交弦定理得出xx,求出，求出即可.【解答】解：由相交弦定理得：XX, 4, 6, 2, 12+2=14,是O 0直径，O 0半径是7.故选c.【点评】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出XX.4. 如图，A是半径为1的圆0外的一点，2,是O 0的切线，B是切点，弦/,连

23、接，则阴影部分的面积等于（）AB-丄 CD.【分析】连接，易证：是等边三角形，且阴影部分的面积的面积，据此即可求解.【解答】解：连接，是圆的切线,在直角中，1, 2,:丄 30°,/ 60°,/,60°, 且 S阴影部分厶,二是等边三角形，边长是 1,二S阴影部分厶 x 1.:' : 【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理, 正确证明是等边三角形是解题的关键.5. 如图，分别是O O的切线，A, B分别为切点，点 E是O O 上一点，且/ 60°,则/ P为（ ）A. 120° B. 60°C. 30°

24、;D. 45【分析】连接，由圆周角定理知可知/ 2/ 120°,、分别切O O于点A B,利用切线的性质可知/ 90°,根据四边形内角和 可求得/ 180°-/ 60°.【解答】解：连接，；V/ 2/ 120°,/ 90°,/ 180°-/ 60°.故选B.【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理， 利用了四边形的内角和为 360度求解.二.解答题（共3小题）6. 如图，P为弦上一点，丄交O O于点C, 8,十丄，求的长.?【分析】延长交O O于D.由垂径定理可知，由8,丄n，得到丄2,亍6.再根据相交弦定理得出？，代入数值计算即可求解.【解答】解：如图，延长交O O于D.8,亍亠，、是O O的两条相交弦，交点为 P, ?,二 2=2X 6, 2 :.【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分 成的两条线段长的积相等. 同时考查了垂径定理，准确作出辅助 线是解题的关键.7. 如图，分别与O O相切于E, F, G且/, 6, 8.求的长.12