通过肋片的导热

1、通过肋片的导热 摘要 在工程实际中，往往需要增加（对流）传热量，应用比较广泛的较为有效的一种方法就是增加换热面积，即采用肋片在材料消耗量增加较少的条件下能较多地增大换热面积。试从微分方程对肋片进行进行数学分析，建立温度场。 肋片，又称翅片是指依附于基础面上的扩展表面，图（1）给出了四种典型的肋片结构。 问题的描述 通过肋片的导热有个特点，就是在肋片伸展的方向上有表面的对流传热及辐射传热，因而肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。分析肋片的导热要回答两个问题：从基础面伸出部分（即肋片）的温度沿导热热量传递的方向是如何变化的，以及通过肋片的散热热流量（亦可简称散热量）有多少。在这将从导热

2、微分方程出发来解决这些问题，但仅以等截面直肋为例，其余肋片暂不作分析。 从图（1b）所示的结构中取出一个肋片来分析，如图（2a）所示。肋片与基础表面相交处（称为肋根）的温度t为已知，为不失一般性，设t大于周围流体温度t。该肋片与周围环境之间有热交换，并已知包括对流传热及辐射传热在内的复合换热的表面传热系数h。现在的任务是要确定肋片中的温度分布及通过该肋片的散热量。 模型的建立 基本假设与符号的说明 根据所给问题的条件，可以做以下假定，从而既能使问题得到适当简化，便于数学处理，又能保持实际问题的基本特点：（1）材料的导热系数、表面传热系数h以及沿肋高方向的横截面积Ac均各自为常数；（2）肋片温度

3、在垂直于纸面方向（即长度方向）不发生变化，因此可取一个截面（即单位长度）来分析；（3）表面上的换热热阻1/h远大于肋片中的导热热阻/，因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的；（4）肋片顶端可视为绝热，即在肋的顶端根据所给问题的条件，可以做以下假定，从而既能使问题得到适当简化，便于数学处理，又能保持实际问题的基本特点：（1）材料的导热系数、表面传热系数以及沿肋高方向的横截面积均各自为常数；（2）肋片温度在垂直于纸面方向（即长度方向）不发生变化，因此可取一个截面（即单位长度）来分析；（3）表面上的换热热阻远大于肋片中的导热热阻/，因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的；（4）肋片顶端可视为绝热，即

4、在肋的顶端。 经过上述简化，所研究的问题就变成了一维稳态导热问题，如图（2b）所示，并且可以设想，肋片各截面的温度沿高度方向是逐步降低的（图2c）。求解的任务就是要找出截面温度沿高度方向的变化规律。 数学模型描述 现在来建立肋片中温度场的数学模型描写。首先，导热微分方程式可简化为 （a）现在需要进一步确定的是源项的表达式。对于所研究的问题，肋片的两个侧面并不是计算区域的地界（计算区域的边界是x=0及x=H），但通过该两表面有热量的传递。在这种情况下，可以把通过边界所交换的热量折算成整个截面积上的体积源项。取长度为dx的微元段来分析。设参与换热的截面周长为P，则表面的总散热量为 （b）相应的微元

5、体积为dx，因而相应的折算源项为 （c）由于肋片向环境散热，相当于负的源项，因而取负号。将式（c）代入式（a），得 （d）相应的两个边界条件为 （e）式（d）、（e）构成了温度场的完整的数学描写。 模型的分析求解 式（d）是关于温度的二阶非齐次常微分方程，为便于求解，引入过余温度，可得关于过余温度的齐次方程，于是有 （f） （g）其中为一常量。 式（f）是一个二阶线性齐次常微分方程，其通解为 （h）其中、由两个边界条件式（g）确定，即 （i）最后可得肋片中的温度分布为 （j）令，即可从上式得出肋端温度的计算式。因，故得 （k） 由肋片散入外界的全部热流量都必须通过处的肋根截面。将式（j）的代入

6、傅立叶定律的表达式，即的此热流量为 （l）式（j）、（k）、（l）中的双曲函数和的数值可从数学手册中查出。 模型的改进与推广以上根据肋片末梢端面绝热的近似边界条件式（g）得到的理论解，应用于大量实际肋片可以获得实用上足够精确的结果。对于必须考虑肋片末梢端面散热的少数场合，其理论解可以参看文献。值得指出，在计算时，有一种巧妙的简化处理方法可代替较繁的理论解。以图1所示的直肋为例，假如肋厚为，则可以用假想高度代替实际高，然后仍按式（l）计算。这种处理，实际上是基于这样一种想法，即为了照顾末梢端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。值得指出，实际上沿整个肋表面换热系数常常是不均匀的，这时可以按其平均值

7、来计算。如果出现严重的不均匀性，则问题的求解就需要采用其他的数学分析方法。肋效率与肋面总效率前面指出，采用肋片主要是为了增加换热量，我们自然很关心采用一个肋片能增加多少换热量？为了表征肋片散热的有效程度，引进一个称为肋效率的新参数。它有以下的物理意义： （m） 已知肋效率即可计算出肋片的实际散热量。对于等截面直肋，其肋效率为 （n） 对于直肋，假定肋片长度比其厚度要大得多，所以可取单位长度来研究。其中参与换热的周界，于是有 （o）对于其他形状肋片的效率暂不作分析。肋面总效率 以上讨论的是单个肋片的效率，实际上肋片总是成组地被采用的，如图图所示。设流体的温度为，流体与整个表面的表面传热系数为，肋

8、片的表面极为，两个肋片之间的根部表面积为，根不温度为，则所有肋片与根部面积之和为，则。计算该表面的对流换热量时，若以为温差，则有：其中称为肋面总效率。显然，肋面总效率高于肋片效率，在换热器设计中有所应用。 肋片的选用与最小重量肋片 在大多数条件下，尤其是对于航天器而言，研究在一定的散热量下的最小重量的肋片具有重要意义，在此不作分析。在实际应用的时候应准确的理解该模型，才能熟练地运用，并能够将一些表面上看来与肋片风马牛不相及的问题与肋片导热问题联系起来，例如温度计套管的测量精确问题，在此暂不作分析。附图： 图（1） 肋片的典型结构图（2） 通过肋片的热量传递图（3）肋化表面示意图双曲函数：双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切： 参看文献：1 姜启源编 数学模型. 北京：高等教育出版社 19932 杨