中考数学系列专题28与圆有关的角

1、专题28与圆有关的角聚焦考点温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆 或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角

2、所对的弦是直径。WWWUUMMMUWMHUUMMUUWMWWMWMUWWMMUMHWWMUHUMWMWWUWMWWaWWWWWMWWMIMWWMWWWWWWWWMWWUMWW _* -； - - - _ _ - -/aWWWWWWMWWWMT推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。名师点睛典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算 【例1】2021山东济宁第5题如图，在OO中，丨=，/ AOB=40，那么/ ADC的度数是 A. 40 B. 30 C. 20 D. 15【答案】C.【解析】 试题分析：，在00中，AB=AC, ZAOfiO* 根据同圆或等圆中

3、，同弧或等弧所对的圆周角相等，并 且都等于所对圆周角的一半可SZADC=ZA0E=20 故答案选-I考点：圆周角定理【点睛】此题运用了圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.【举一反三】2021湖南娄底第6题如图， AB是OO的直径，/ D=40，那么/ CAB的度数为A. 20 B 40 C 50 D 70【答案】C.【解析】试题分析：根据圆周角定理可得/B=Z D=40,Z ACB=90，所以/ CAB=90 - 40 =50.故答案选 C.考点：圆周角定理考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】2021内蒙古巴彦淖尔第 3题如图，线段 AB是O O的直径，弦 CDL AB

4、, / CAE=40,那么/ ABD与/ AOD分别等于A. 40,80B.50, 100C.50,80D.40,100【答案】B.【解析】试题分析：丁CD丄戏孔 二厶値UXT ；j .C=5 .厶够口=三0刃 *二乙站川5b , :.Z-4100* ,应选 E.考点：圆周角定理；垂径定理.【举一反三】如图，在O O 中，CDL AB于 E,假设/ BAD=30,且 BE=2,贝U CD 【答案】4.3 .【解析】试题分析：如答图，连接 0D设O 0的半径为r,/ BAD=30 ,/ BOD=Z BAD=60 ./ CD丄 AB, DE=CE.在 Rt ODE中, OE=OB-BE=r-2,

5、OD=r,OEt cos EOD cos60ODr 21，解得r =4 ,r 2 OE=4-2=2, DEOD2OE242一22 2 3. CD=2DE=4.3 .考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】2021海南省第12题如图，AB是OO的直径，直线PA与OO相切于点A, PO交OO于点C,连接BC.假设/ P=40，那么/ ABC的度数为C . 40D . 50A. 20B . 25【答案】B.【解析】试题分析：是0的直径.直线站与00相切于点A八:, ；.ZPAO=SOa、:.ZABC=|ZPAO=35S .应选：B.【举一反三】2021黑龙江哈尔滨第18题如图，AB为OO的直径，直线

6、I与OO相切于点C, ADLI，垂足为 D, AD交OO于点E,连接OG BE假设AE=6, OA=5那么线段DC的长为【答案】4.【解析】试题分析：令 OC交 BE于 F,/ AB为O O的直径，AEB=90,/ ADL CD/BE/ CD/CD为O O的切线, OCL CD OCLBE,.四边形 CDEF为矩形，二 CD=EF 在 Rt ABE中，BE 、AB2 AE28 , v OF丄 BE, BF=EF=4 CD=4考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.考点典例四与圆周角有关的证明【例4】2021湖北黄石第19题本小题总分值7分如图，OO的直径为AB，点C在圆周上异于 代B ,AD

7、CD.1 假设 BC =3，AB 5，求 AC 的值；2假设AC是 DAB的平分线，求证：直线 CD是O O的切线.【答案】14;2详见解析.【解析】试範俞析：口棍捋直径所对的圆周甬杲直角可得厶匸0二剜，再由勾股定理即可求得虻汕 心连接OC,根据角平井线的性质氏誓JBI三角形时性质可得dac=zoca,由平行线的性质可得iiOC,又 因ADDC ,所以0C-DCS即DC是0O的切绒.试题解析:1 ： - AB罡30直径,C在0上,二 二 90&又丁 BC=3, AB=5a:.AC = 42证明:AC是DAB的角平分线，DACBAC又ADDC,ADCACB 90ADCs ACB,DCACBA又O

8、AOC ,OACOCAOACOBC90 ,OCA ACDOCD 90DC是O O的切线.解法二2证明：AC是DAB的角平分线，DAC圆的性质 OA OC , OAC OCA DAC OCA即 AD / OC ,又 AD DC , OC DC DC 是O O 的切线考点：圆周角定理；勾股定理；切线的判定 【举一反三】如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90，以 AC为直径作O O交AB于点D,连接 CD (1 )求证：/ A=Z BCD (2)假设M为线段BC上一点，试问当点 M在什么位置时，直线 DM与O O相切？并说明理由.【解析】2)当MC=M(或点M是BC的中点)时，直线 DM与O O

9、相切，理由见解析试题分析：根据圆周角注理可得ZAIXf 再根据直角三角形的性JpTZA-ZDCA-90再由上DCB-爲 可得 ZDCB=ZA；(2)当皿时言线D相切连接DO,根据等边对等角可得zTl=Z2； Z4-Z3.再根据Z ACB=50=可得:fi而证得直线*1与(30相切.试题解析：(1)证明：丁AC対直径上ADCTT. /.ZA-ZDCA=?0/ ACB=90 ,/ DCB+Z ACD=90 . /-Z DCBM A.(2)当MC=MD或点M是BC的中点)时，直线 DM与O O相切，理由如下：如答图，连接DO / DO=CO/Z 1 = Z 2/ DM=CM/Z 4=Z 3.Z 2+

10、Z 4=90/Z 1 + Z 3=90. 直线 DM与O O 相切.一选择题1. 2021江苏常州第5题如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M N,量得OM8cm O時6cm那么该圆玻璃镜的半径是A. .10 cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm【答案】B.【解析】试题分析；如團J连接W V Z 0=9 ,是直径又S忙刊、OG伽、w Jo亠。屮=7e:+s: =10，二该副牖镜的半徑是-一以*立刑-应选乩1考点：圆周角定理；勾股定理.2. 2021四川达州第7题如图，半径为3的OA经过原点O和点C 0, 2, B是y轴左侧OA优弧上一点，贝U

11、tan / OBC为【答案】C.【解析】试题分析：连结6可得CD为直径在联ZlOCD中，CD=S, 0C=2,根据勾股定理求得0D=4血所由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,那么tZ0BC= ,故答铀 C.考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义.3. 2021湖北襄阳第8题如图，I是？ABC的内心，AI向延长线和 ABC的外接圆 相交于点D,连接BI,BD DC以下说法中错误的一项为哪一项 A. 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段 DC重合B. 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段 DI熏合C. Z CA绕点A顺时针旋转一定能与/ DAB重合D. 线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段 IB重合

12、心8业博【答案】D.【解析】试题分析：因为I是厶磁 的内心.所IX Al. EIZBAC.三眩 的角平分纟圮ZBADZCAD,又ZBAD= ZBCDj ZCABZCBD,所臥山二 上CBD,所以，DB=DC；亶 正确；ZDIB= ZDAB4 2ABI;二DEI二ZDEC + ZCEIj 又ZI=ZcBI, ZDAB=ZDAC=ZDBCfl 所ZdIB=ZdBI；所以皿=DB iESSo 由上可知, C正确但ID与IE不一定相等，故答案选D*考点：内心的概念；圆周角定理 4. 2021湖南娄底第6题如图， AB是00的直径，/ D=40，那么/ CAB的度数为CS0A. 20 B. 40 C.

13、50 D. 70【答案】C.【解析】试题分析：根据圆周角定理可得/B=Z D=40,Z ACB=90，所以/ CAB=90 - 40 =50 .故答案选 C.考点：圆周角定理5. 2021内蒙古巴彦淖尔第 3题如图，线段 AB是O O的直径，弦 CDL AB / CAE=40,那么/ ABD与/A. 40,80B.50, 100C.50,80D.40,100【答案】B.【解析】试西分析；TCD丄卫占，ZAEO9胪、ZG4=40c.Z0500 , .ZXBiZ50Q 、 ：O3=OD.Z.45D=ZOZ)=50C ,二ZAQ*厶BD+rOD赛Wb应选 B-考点：圆周角定理；垂径定理.6. 如下图

14、，点 A, B, C在圆0上，/ A=64,那么/ BOC的度数是()A. 26116128154【答案】C.【解析】试题分析：A=64,/ BOC=Z A=2X 64 =128.应选C.考点：圆周角定理.二.填空题1. 2021内蒙古包头第18题如图，AB是OO的直径，点C在OO上，过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,假设/ A=30 , PC=3那么BP的长为.【答案】3 .【解析】试题分析：连接0G0口G 厶二h ,所以ZtONF；由三角形夕卜角的性质可得ZC0B=ZA-HZACX=60o ,又因 FC 5o 切线可得ZFC0=90 , ZP=30fl ,再S PC=3,根据锐

15、角三角函数 可得 0C=PC t：an3C 二不、PC=2OC=2 ；即可得 PS=P0 - 0E= 7J 考点：切线的性质；锐角三角函数.2. 2021湖南湘西州第7题如图，在OO中，圆心角/ AOB=70，那么圆周角/ C= 【解析】11试题分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得/ C= / AOBd X 70 =3522考点：圆周角定理3. 2021山东枣庄第15题如图，在半径为3的OO中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC, BD假设【答案】2 2.【解析】试题分析：如图，连接BC根据直径所对的圆周角为直角可得ACB为直角三角形，在直角三角形 ACB中,AC

16、=2, AB=6由勾股定理可得 BC=4 2，由圆周角定理可得/ A=Z D,所以tan D=tanA=BC 4-2 2 2 .AC 2考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数4. 2021贵州铜仁第16题如图，点 A, B, C在O O上，/ OBC18。，那么/ A=【答案】72【解析】试题分析： U二OG Z0018 , -ZCOZOTOir，.Z5001SO 1 =144* , .Z= - ZfiOC 1 X144 =72* .故答案为：72 .-2ZG3ilS0& - 2X考点：圆周角定理.9【解析】13题如图， ABC勺外接圆0的半径为2,/ 0=40，那么Ab的长是80 2 8试

17、题分析：/ C=40,A/ AOB80,. Ab的长是=一.故答案为:1809考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算.6. 2021广西来宾第18题如图，在O 0中，点A B、0在O 0上,且/ AC咅110,89.贝 y/a=C【答案】140【解析】试題分析：忧弧肋上任取一点D连接汕丁四边形且衍d內接与Q6厶Dm刖-ZO180Q - iwe =70 , .Z.4O5=2M=2X70fl =140Q .故答案対：140 .BBDC勺大小是.【答案】40.考点：圆周角定理.7. 2021广西河池第16题如图，AB是OO的直径，点 C D都在O O上，/ ABC50。，那么/【解析】BD(=- x

18、2试题分析：/ ABC50,. ADC的度数为100 ,v AB为直径，二 ?C 的度数为80 ,.80 =40,故答案为：40.考点：圆周角定理.8. 2021青海第10题如图，在O O中，AB为直径，CD为弦，/ CAB=50，那么/ ADC=【答案】40【解析】试题分乐期为5的直径根据直径所对的圆周角为直角求出二配跻97即可得ZABC=40* ,根据同弧所对的圆周角相等即可得ZADC=ZAK=40考点：圆周角定理.9. 2021重庆A卷第15题如图，OA OB是O O的半径，点 C在O O上，连接AC, BC,假设/ AOB120。，1试题分析： OAL OB / AOB120./ ACB=120x _ =60,故答案为：60.2考点：圆周角定理.10. 2021辽宁葫芦岛第15题如图，A, B, C, D是O O上的四个点，/ C=110 ,那么/ BOD 度.【答案】140.【解析】试题分析： A, B, C, D是O O上的四个点，/ C=110，