MDSP第四章维纳滤波和卡尔曼滤波

1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式时域解2.3 离散维纳滤波器的z域解2.4 维纳预测2.5 卡尔曼(Kalman)滤波2.1 引 言 在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据是信号与噪声之和（如图2.1.1所示），即 我们的目的是为了得到不含噪声的信号，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为（如图2.1.2所示），系统的期望输出用表示，应等于信

2、号的真值；系统的实际输出用表示，是的逼近或估计，用公式表示为，。因此对信号进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将看作是一个估计器，也就是说，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么，采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估计，在通信中称为波形估计；在自动控制中，称为动态估计。假若已知，要估计当前及以后时刻的信号值，这样的估计问题称为预测问题；若已知，要估计当前的信号值，称为过滤或滤波；根据过去的观测值，估计过去的信号值，称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤或预测问题，并以估计的结果与信号真值

3、之间的误差的均方值最小作为最佳准则。维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的，因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的

4、发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。它用状态空间法描述系统，即已知前一状态的估计值和最近一个观测数据，采取递推的算法估计当前的状态值。由于卡尔曼滤波采用递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很多领域，并取得了很好的结果，但它只是维纳滤波的一种算法。卡尔曼滤波已经出现，就受到人们的很大重视，并在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统5。前面讲到，维纳滤波和卡尔曼滤波都是采用最小方差估计，即采用最小均方误差准则（MMSE，Minimum Mean Square Error）。一

5、般来讲，均方误差准则对大误差抑制能力强，而对小误差不敏感。下面我们首先介绍维纳滤波的时域和复频域的求解方法，然后介绍维纳预测、特别是纯预测问题的求解，最后介绍卡尔曼滤波的内容。2.2 维纳滤波器的离散形式时域解设计维纳滤波器的任务，实际上就是选择，使其输出信号与期望信号误差的均方值为最小，即维纳滤波器是一个均方误差最小准则下的最小滤波器。维纳滤波最初是对连续时间信号以模拟滤波器的形式出现的，尔后才有离散形式，这两种形式解决问题的思路是基本一致的。在这里我们只讨论离散维纳滤波器，模拟维纳滤波器的设计以习题的形式出现，共大家练习。假设滤波系统是一个线性时不变系统，它的单位脉冲响应和输入信号都是复函

6、数，设定 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出, 设期望信号为，误差信号及其均方值分别为 要使均方误差为最小，须满足 这里，表示；同理，可以用分别表示。由于误差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求导问题，它等价于 记 则(2.2.6)式可以写为 将(2.2.8)式展开 又根据(2.2.1)(2.2.3)式 将(2.2.10)(2.2.13)式代入（2.2.9）式，得 因此 上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。它的重要意义在于提供了一个数

7、学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。下面计算输出信号与误差信号的互相关函数 假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出与期望信号的误差为，把(2.2.15)式代入上式，得到 这样，在滤波器工作于最佳状态时，期望信号、估计值与误差信号的几何关系如图2.2.1所示。图中，用表示误差信号所构成的向量，表示滤波器处于最佳工作状态时，误差信号所构成的向量。同理，表示期望信号所构成的向量，表示滤波器处于最佳工作状态时，输出信号所构成的向量。这样的向量表示方法在第三章介绍最小二乘滤波器时，还要用到。图2.2.1表明滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号，即 注意我们所研究的是随机信

8、号，图2.2.1中各矢量的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值，应用正交性原理，则，因此在滤波器处于最佳状态时，估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。2.2.2 维纳霍夫方程将（2.2.15）式展开，可以得到 将输入信号分配进去，得到对上式两边取共轭，利用相关函数性质：(或)，得到 (2.2.20)式称为维纳霍夫(WienerHopf)方程。当是一个长度为的因果序列(即是一个长度为的FIR滤波器)时，维纳霍夫方程表述为 把的取值代入(2.2.21)式，得到 定义 （2.2.22）式可以写成矩阵的形式，即 对上式求逆，得到 上式表

9、明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维纳滤波器，当选择的滤波器的长度M较大时，计算工作量很大，并且需要计算的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外，在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新M基础上重新进行计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法。2.2.3 估计误差的均方值假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于，将(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到 上式可以进一步化简得到 可以看出，

10、均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次函数关系。由于单位脉冲响应为维向量，因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取得最小值。将(2.2.24)式，即，代入(2.2.26)式，得到最小均方误差 下面举一个具体的数值例子，说明维纳滤波器的求解方法。例2.2.1 设，是一白噪声，方差。期望信号的信号模型如图2.2.2(a)所示，其中白噪声的方差，且。的信号模型如图2.2.2(b)所示，。假定与、与不相关，并都是实信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波器是一长度为2的FIR滤波器。解 这个问题属于直接应用维纳霍夫方程的典型问题，

11、其关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的互相关函数。 根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图2.2.3所示。 用和分别表示和的信号模型，那么滤波器的输入信号可以看作是通过和级联后的输出，和级联后的等效系统用表示，输出信号就等于和之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵和输出信号与期望信号的互相关矩阵是解决问题的关键。相关函数矩阵由相关函数值组成，已知与不相关，那么(1) 求出期望信号的方差。根据图2.2.2(a)，期望信号的时间序列模型所对应的差分方程为也即这里，由于的均值为零，其方差与自相关函数在零点的值相等。 其中，这是因为与不相关。 (2) 计算输入信号和输出信号的自相关

12、函数矩阵。根据自相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知时间序列信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号的模型可以通过计算得到。这是一个二阶系统，所对应的差分方程为 式中，。由于和的均值为零，因此，的均值为0。方程两边同乘以，并取数学期望，得到式中，这是因为为实信号。对方程（1）取m=1, 2，得到方程（2）、（3）、（4）联立求解，得至此，输入信号的自相关矩阵可以写出：是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对角形，且，因此，输出信号的自相关为(3) 计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。由于两个信号都是实信号，故根据图2.2.2系统的输入与输出的关系，有推出这样将代入上

13、式，可得因此，输出信号与期望信号的互相关为 求出输出信号自相关矩阵的逆，并乘以，就得到维纳滤波器的最佳解：把代入（2.2.27）式，可以计算出该维纳滤波达到最佳状态时均方误差，即取得了最小值，2.3 离散维纳滤波器的z域解下面从复频域研究维纳滤波器的求解方法。若不考虑滤波器的因果性，（2.2.20）式可以写为设定，对上式两边做Z变换，得到 假设信号和噪声不相关，即，则 （2.3.2）式可以写成 （2.3.5）式表示，当噪声为0时，信号全部通过；当信号为0时，噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。把信号的频谱用表示，噪声的频谱用表示，那么非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性如图2.3

14、.1所示。 然而实际的系统都是因果的。对于一个因果系统，不能直接转入频域求解的原因是由于输入信号与期望信号的互相关序列是一个因果序列，如果能够把因果维纳滤波器的求解问题转化为非因果问题，求解方法将大大简化。那么怎样把一个因果序列转化为一个非因果序列呢？ 回顾前面讲到的时间序列信号模型，假设的信号模型已知（如图2.3.2(a)所示），求出信号模型的逆系统，并将作为输入，那么逆系统的输出为白噪声。一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器（如图2.3.2(b)所示）。 (a) (b)图 2.3.2 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器具体思路如图2.3.3所示。用白噪声作

15、为待求的维纳滤波器的输入，设定为信号的白化滤波器的传输函数，那么维纳滤波器的传输函数的关系为 因此，维纳滤波器的传输函数的求解转化为的求解。 图 2.3.3 维纳滤波解题思路下面仍然根据非因果维纳滤波器和因果维纳滤波器两种情况进行分析。在下面的分析中，假定信号为实信号。首先，来看非因果维纳滤波器的求解。2.3.1 非因果维纳滤波器的求解假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为，期望信号，系统的输出信号，是的逆Z变换，如图2.3.3所示。 其中，。可以看出，均方误差的第一和第三项都是非负数，要使均方误差为最小，当且仅当  因此g(n)的最佳值为 对上式两边同时做Z变换，得到 这样，非因果维纳

16、滤波器的最佳解为 因为，且，根据相关卷积定理(1.4.15)式, 得到 其中，。对上式两边做Z变换，得到因此 将上式代入(2.3.13)式，并根据的信号模型，得到非因果的维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式 假定信号与噪声不相关，即当Es(n)v(n)=0时，有 对上边两式做Z变换，得到 把(2.3.17)式代入(2.3.15)式，得到 将（2.3.18）式和（2.3.19）式代入（2.3.16）式，得到信号和噪声不相关时，非因果维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为 下面我们推出该滤波器的最小均方误差的计算，重新写出(2.3.9)式的最佳解根据围线积分法求逆Z变换的公式，用下式表示： 得出

17、 由复卷积定理 取，有 因此 把(2.3.23)式和(2.3.26)式代入(2.3.9)式，得到 将（2.3.19）式代入上式，得到 因为实信号的自相关函数是偶函数，即，因此 假定信号与噪声不相关，则 由上式可以看出，维纳滤波器的最小均方误差不仅与输入信号的功率谱有关，而且与信号和噪声的功率谱的乘积有关，也就是说，最小均方误差与信号和噪声功率谱的重叠部分的大小有关。2.3.2 因果维纳滤波器的求解若维纳滤波器是一个因果滤波器，要求 则滤波器的输出信号 估计误差的均方值类似于（2.3.9）式的推导，得到 要使均方误差取得最小值，当且仅当 令 又由（2.3.15）式得到 所以因果维纳滤波器的复频域

18、最佳解为 维纳滤波的最小均方误差为 比较（2.3.28）式和（2.3.39）式，可以看出因果维纳滤波器的最小均方误差与非因果维纳滤波器的最小均方误差的形式相同，但公式中的的表达式不同，分别参见(2.3.16)式和(2.3.38)式。前面已经导出，对于非因果情况，对于因果情况，比较两式，它们的第二项求和域不同，因为因果情况下，因此可以说明非因果情况的一定小于等于因果情况。在具体计算时，可以选择单位圆作为积分曲线，应用留数定理，计算积分函数在单位圆内的极点的留数来得到。通过前面的分析，因果维纳滤波器设计的一般方法可以按下面的步骤进行： (1) 根据观测信号的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，

19、即采用谱分解的方法得到。具体方法为，把单位圆内的零极点分配给，单位圆外的零极点分配给，系数分配给。 (2)求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得。 (3) 积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计算，。例 2.3.1 已知信号和噪声不相关，即，噪声是零均值、单位功率的白噪声()，求和。 解 根据白噪声的特点得出，由噪声和信号不相关，得到。对上式两边做Z变换，并代入已知条件，对进行功率谱分解：考虑到必须是因果稳定的系统，得到(1) 首先分析物理可实现情况，应用公式（2.3.38）：令，的极点为0.8和2，考虑到因果性、稳定性，仅取单位圆内的极点，为

20、的Z反变换。用Res表示留数，应用留数定理，有取因果部分，其中，。令 单位圆内只有极点，未经滤波器的均方误差(2) 对于非物理可实现情况，应用公式(2.3.20)和(2.3.28)，有令单位圆内有两个极点0.8和0.5，应用留数定理，有 比较两种情况下的最小均方误差,可以看出非物理可实现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的均方误差。2.4 维纳预测预测是根据观测到的过去数据来估计当前或将来的信号值。维纳预测是已知以前时刻的个数据，估计当前时刻，或者未来时刻的信号值，即估计，估计得到的结果仍然要求满足均方误差最小的准则。下面我们首先说明信号是可以预测的，并介绍预测的特点，然后讨论维纳预测的计算

21、方法，重点是纯预测及一步线性预测问题的分析。首先，信号可以预测是由于信号内部存在着关联性。预测是利用数据前后的关联性，根据其中一部分推知其余部分。显然，数据间关联越密切，预测越准确；完全不关联，则无法预测。以周期信号为例，只要知道一个周期，那么以后的信号就可以按照第一个周期完全无误地预测出来。这表明周期信号是强关联的。而白噪声信号，其前后数据毫无关联，使预测无所依据，因而无法预测。我们所研究的平稳随机信号，均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关，说明信号内部是关联的，因此可以进行预测。其次，系统是有惯性的。一个具有有理谱密度函数的信号，可以看作是白噪声激励一个线性系统的输出。由此可以看到，输入

22、是一个无关联的信号，而输出却是一个关联信号，或者说是非白色的信号，表明系统是有惯性的。因此，随机信号之所以能够预测，在于信号存在某些统计上的规律，对随机信号进行预测，也只能利用随机信号的统计规律作为预测的依据，因而不能做到精确预测，使预测误差等于0，但可以从统计意义上做到最优预测。这里我们选择使预测误差的均方值为最小作为最优的标准。考虑到实际获得的信号是带噪声干扰的，这使得预测和滤波紧密相连，成为带滤波的预测，或简单地说，是预测滤波，而把不考虑噪声干扰时的预测或不带滤波的预测称为纯预测。下面首先来看维纳预测的计算。2.4.1 维纳预测的计算在维纳滤波中，期望的输出信号，实际的输出为。在维纳预测

23、中，期望的输出信号，实际的输出。前面已经推导得到维纳滤波的最佳解为 其中，是观测数据的功率谱；是观测数据与期望信号的互功率谱，即互相关函数的傅里叶变换 对应于维纳预测器， 其输出信号和预测误差信号分别为 同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足 其中，表示。观测数据与期望的输出的互相关函数和互谱密度分别为 这样，非因果维纳预测器的最佳解为 因果维纳预测器的最佳解为 维纳预测的最小均方误差为 从上面分析可以看出，维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。下面我们着重讨论无噪声的纯预测问题2.4.2 纯预测假设，式中是噪声，且，期望信号为，此种情况称为纯预测。假定维纳预测器是因果的，仍设与不相

24、关，纯预测情况下的输入信号的功率谱及维纳预测器的最佳解分别为 纯预测器的最小均方误差为 应用复卷积定理 取，可得 将上式代入(2.4.13)式，并考虑到是因果系统，得到 可以看到，随着增加，也增加。这一点也容易理解，当预测的距离越远，预测的效果越差，偏差越大，因而越大。例2.4.1 已知其中， 求：(1) 最小均方误差下的；(2) 。解 首先对进行功率谱分解。因为所以 其次，求出的Z反变换然后，应用Z变换的性质，得到 由，此时可以把纯预测的维纳滤波器看作是一个线性比例放大器（如图2.4.1所示）。那么信号通过纯预测维纳滤波器，可以得到根据的信号模型可以写出的时间序列模型所对应的输入输出方程 即

25、那么可得可以看出上式与（2.4.16）式相同。将信号通过纯预测维纳滤波器，随着时间的递增，可以得到 以上推导结果相当于在时刻，即去掉噪声时的结果。设时，则 此时，从统计意义上讲，当时，白噪声信号对无影响。这一结论还可以推广，对于任何均值为零的，要估计时，只需要考虑的惯性，即可认为，这样估计出来的结果将有最小均方误差。终值定理表明一个信号的功率谱在单位圆上没有极点与信号均值等于0等价，因此对于功率谱在单位圆上没有极点的信号，要估计时，可认为，即仅需要考虑的惯性，这样估计出来的结果将有最小均方误差。2.4.3 一步线性预测的时域解已知，预测，假设噪声，这样的预测称为一步线性预测。设定系统的单位脉冲

26、响应为，根据线性系统的基本理论，输出信号令，则 预测误差 其中， 要使均方误差为最小值，要求同维纳滤波的推导过程一样，可以得到 把(2.4.22)式代入(2.4.24)式，得到 由于预测器的输出是输入信号的线性组合，参见（2.4.21)式, 得到 (2.4.24)式说明误差信号与输入信号满足正交性原理，(2.4.26)式说明预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理。预测误差的最小均方值 将(2.4.25)式和(2.4.27)式联立，得到下面的方程组： 将方程组写成矩阵形式 这就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特点：(1) 除了第一个方程外，其余都是

27、齐次方程；(2) 与维纳-霍夫方程相比，不需要知道观测数据与期望信号的互相关函数。该方程组有个方程，对应地，可以确定和，共计个未知数，因此可用来求解AR模型参数。这就是后面要介绍的AR模型法进行功率谱估计的原理，它再一次揭示了时间序列信号模型、功率谱和自相关函数描述一个随机信号的等价性。下面举例说明，应用Yule-Walker方程，求解模型参数的问题。例2.4.2 已知为AR模型，求AR模型参数。解 求解AR模型参数包括确定AR模型的阶数及系数。首先对做傅里叶反变换，得到的自相关函数，采用试验的方法确定模型阶数。首先取，各相关函数值由上式计算，并代入(2.4.29)式计算上式得到如果取，可计算

28、出，说明AR模型的阶数只能是一阶的。采用谱分解的方法，即对进行谱分解，得到的模型也是一阶的，其时间序列模型和差分方程为2.5 卡尔曼(Kalman)滤波卡尔曼滤波是用状态空间法描述系统的，由状态方程和量测方程所组成。卡尔曼滤波用前一个状态的估计值和最近一个观测数据来估计状态变量的当前值，并以状态变量的估计值的形式给出。卡尔曼滤波具有以下的特点：(1) 算法是递推的，且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的，即

29、卡尔曼滤波适用于非平稳过程。(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。卡尔曼滤波是在克服以往滤波方法的局限性的基础上提出来的，是滤波方法的重大演进。卡尔曼滤波比维纳滤波有以下优点：在卡尔曼滤波中采用物理意义较为直观的时间域语言，而在维纳滤波中则采用物理意义较为间接的频率域语言。卡尔曼滤波仅需要有限时间内的观测数据，而维纳滤波则需要用过去的半无限时间内的全部观测数据。卡尔曼滤波可使用比较简单的递推算法，而维纳滤波则需要求解一个积分方程。卡尔曼滤波可以推广到非平稳随机过程的情况，而维纳滤波只适用于平稳随机过程。卡尔曼滤波所需数据存储量较小，便于用计算机进行实时处理，而维纳滤波的计算

30、复杂，步骤冗长，不便于实时处理。2.5.1 卡尔曼滤波的状态方程和量测方程假设某系统时刻的状态变量为，状态方程和量测方程（也称为输出方程）表示为 其中，表示时间，这里指第步迭代时，相应信号的取值；输入信号是一白噪声，输出信号的观测噪声也是一个白噪声，输入信号到状态变量的支路增益等于1，即；表示状态变量之间的增益矩阵，可以随时间发生变化，用表示第步迭代时，增益矩阵的取值；表示状态变量与输出信号之间的增益矩阵，可以随时间变化， 第步迭代时，取值用表示，其信号模型如图2.5.1所示。将状态方程中时间变量用代替，得到的状态方程和量测方程如下所示： 其中，是状态变量；表示输入信号是白噪声；是观测噪声；是

31、观测数据。为了后面的推导简单起见，假设状态变量的增益矩阵不随时间发生变化，都是均值为零的正态白噪声，方差分别是和，并且初始状态与都不相关，表示相关系数。即其中2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波是采用递推的算法实现的，其基本思想是先不考虑输入信号和观测噪声的影响，得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。 因此, 卡尔曼滤波的关键是计算出加权矩阵的最佳值。当不考虑观测噪声和输入信号时，状态方程和量测方程为 显然，由于不考虑观测噪声的影响，输出信号的估计值与实际值是有误差的，用 表示 为了提高状态估计的质

32、量，用输出信号的估计误差来校正状态变量 其中，为增益矩阵，实质是一加权矩阵。经过校正后的状态变量的估计误差及其均方值分别用和表示，把未经校正的状态变量的估计误差的均方值用表示 卡尔曼滤波要求状态变量的估计误差的均方值为最小，因此卡尔曼滤波的关键就是要得到与的关系式，即通过选择合适的，使取得最小值。首先推导状态变量的估计值和状态变量的估计误差，然后计算的均方值，并通过化简，得到一组卡尔曼滤波的递推公式。将（2.5.4）、(2.5.6)式代入（2.5.8）式 同理，状态变量的估计误差为 由上式可以看出，状态变量的估计误差由三部分组成，可记为 其中 那么，状态变量的估计误差的均方值就由9项组成： 其

33、中， 下面化简的表达式，根据假设的条件，状态变量的增益矩阵不随时间发生变化，起始时刻为，则（2.5.3）式经过迭代，得到令，得到取，得到所以仅依赖于，与不相关，即又据(2.5.8)式和(2.5.4)式，得所以仅依赖于，而与不相关，即把（2.5.15）（2.5.19）式代入(2.5.14)式，中的9项可以分别化简为 书上有误也就是说，仅有其中的三项不为零，化简成 为了进一步化简，推导未经误差校正的状态估计误差的均方值，由下面推导结果可以看出，是一对称矩阵，满足。 将(2.5.32)式代入(2.5.31)式，即把代入， 其中，是正定阵，记 令 将上式代入（2.5.33）式，得 将(2.5.26)式

34、后三项配对 第二项和第三项均与无关，第一项为一半正定阵，因此使最小的应满足 将代入，得到最小均方误差阵 将(2.5.7)、(2.5.22)、(2.5.29)式和(2.5.30)式联立，得到一组卡尔曼递推公式 假设初始条件已知，其中，那么，递推流程见图2.5.2。图2.5.2 卡尔曼滤波递推流程例2.5.1 已知信号与噪声不相关，,求卡尔曼信号模型中的和。 解 由知道，。对进行谱分解，确定的信号模型，从而确定。根据，得出上式与卡尔曼状态方程相比，不同之处在于输入信号的时间不同，因此将改写为再对进行谱分解，得到卡尔曼滤波和维纳滤波都是采用均方误差最小的准则来实现信号滤波的，但维纳滤波是在信号进入了

35、稳态后的分析，卡尔曼滤波是从初始状态采用递推的方法进行滤波。对于平稳随机信号，当过渡过程结束以后，卡尔曼滤波与维纳滤波的结果间存在什么关系呢？下面举一例说明。例2.5.2 已知在时开始观察，用卡尔曼过滤的计算公式求，并与维纳过滤的方法进行比较。解 (1) 由功率谱及量测方程，确定卡尔曼递推算法。首先对进行功率谱分解，由例2.5.1的结果，得到卡尔曼滤波的状态方程为,确定由量测方程,确定，将参数矩阵代入卡尔曼递推公式（2.5.30），得到 (2) 求出卡尔曼滤波的输出。由卡尔曼递推公式，以及，可得到（表示迭代次数），迭代流程为：。由具体迭代结果可以看出，原先的增益矩阵，由于只选择了一个状态变量，

36、变成了加权系数。见表2.5.1。表2.5.1 Kalman滤波迭代结果(3) 求出卡尔曼滤波的稳态解。将(2.5.46)式代入方程(2.5.48)，得到第5个方程 将方程(2.5.47)、(2.5.49)代入方程(2.5.48)，消去，可以得到的递推关系：化简上式，得到要求的是稳态解，因此将都用代替，得到根据，可以确定达到稳态后的卡尔曼滤波的状态方程： (4) 用维纳滤波的方法分析。采用功率谱分解的方法，得到的时间序列信号模型的传输函数：上式说明是一阶AR模型，对做反变换得到 比较（2.5.33）式和（2.5.50）式，可以看出卡尔曼滤波的稳态解与维纳解是相等的。(解毕) 通过上面的例题，可以

37、看出维纳滤波是已知前个观测数据及信号与噪声的相关函数，通过建立模型的方法分析的。卡尔曼滤波要求已知前一个时刻的状态估计值和当前的观测值，由状态方程和量测方程递推得到结果。维纳滤波的解以的形式给出，卡尔曼滤波是以状态变量的估计值给出解的形式。它们都采用均方误差最小的准则, 但卡尔曼滤波有一个过渡过程，其结果与维纳滤波不完全相同，但到达稳态后， 结果相同。2.5.3 应用举例 下面举一个雷达跟踪目标物的例子说明卡尔曼滤波的应用。 雷达跟踪目标的基本原理是通过发射脉冲，根据接收到的脉冲与发射脉冲的时间间隔，来确定目标物的距离和速度。 由于干扰的影响，接收到的脉冲波形变化很大，那么一次的测量结果可能存

38、在很大的误差。为了减小误差，往往采取发射一串脉冲的方法进行测量。 我们知道，空间中的一点需要由径向距离和方位角来确定。 假设雷达跟踪的目标为飞行器，发射的脉冲时间间隔为T，在时间k，径向距离为R+(k)，在时间k+1，距离为R+(k+1)， 两者之间有秒的延时，因此T表示空间一次扫描的时间间隔。 平均距离用R表示，(k)和(k+1)表示对平均值的偏差。 假定偏差是统计随机的，均值为零, 那么可以写出距离方程 式中，表示速度。用u表示加速度，则可以得到加速度方程 假定加速度u(k)是零均值的平稳白噪声，即满足 为了后面叙述方便，定义x(k)表示第k个雷达回波脉冲获得的目标距离，z(k)表示在第k

39、个雷达脉冲进行数据处理之后的目标距离估计，z(k)表示在第k个雷达脉冲进行数据处理之后的目标速度估计。设定状态变量为x(k)，选择的状态变量有4个， 分别表示径向距离、径向速度、方位角和方位角速度，即  根据状态变量的物理含义，得到以下方程： 式中，u1(k)和u2(k)表示在区间T径向速度和方向的变化。 将上式写成矩阵形式 由此得到卡尔曼滤波信号模型的状态方程 再来看量测方程， 距离和方向的估计值为 这里v1(k), v2(k)为观测偏差，将上两式分别写成向量形式和矩阵形式: Z(k)=CX(k)+V(k) 观测噪声V(k)假定为高斯噪声，均值为0，方差为2和2 。 状态方程激励信

40、号的协方差阵为 其中， ,为径向加速度在T时刻的方差； , 为角加速度在T时刻的方差。 量测方程的噪声协方差阵 为了简单起见，假定在各个方向，加速度服从均匀分布， 其概率密度函数 ，并将u的值限制在±M之间， 那么， 加速度的方差 根据误差信号协方差阵P(k)的定义 P(k)=Ee(k)eT(k) 可以计算出，单个信号的均方误差和两个信号的协方差矩阵分别为 根据接收到的相邻两个回波脉冲，可以测量出飞行器的距离z1(1)和z2(2)，方位角z2(1)和z2(2)。根据这四个数据，用(2.5.35)式计算状态变量 因此，k时刻的状态向量 可以写为 取k=2,将上式中的观测信号z1(1),

41、z1(2),z2(1),z2(2)用(2.5.37)式代入，得到状态变量 根据(2.5.35)式, k=2时的状态向量为 计算k=2时刻的协方差阵 式中，因此，误差协方差阵是4×4阶矩阵，假设噪声源u和v是独立的， 则协方差阵为 其中，2.5.4 发散问题及其抑制 从理论上讲，卡尔曼滤波的递推算法可以无限地继续下去。 然而在实际问题中的某些条件下，可能产生发散问题。也就是说， 实际应用中发现估计误差大大地超过了理论误差的预测值， 而且误差不但不减小，反而越来越大，即不收敛。 导致发散的一个原因是舍入误差的影响以及递推算法使得舍入误差积累的影响。计算机存贮单元的长度有限， 使得舍入误差

42、不可避免地存在，它相当于在状态方程和量测方程中又加入了噪声，带来的后果是有可能改变某些矩阵的性质， 引起误差矩阵失去正定性和对称性。如果均方误差阵受到扰动而离开稳定解，只要它没有失去正定性，那么仍可能返回稳定解。 舍入误差引起的发散现象可以采用双精度运算得以改善， 但运算量要增加许多。目前多采用平方根法， 即把递推公式中的均方误差阵P改用其平方根P1/2实现。具体的分析参见文献16。 另一种类型的发散问题是由于待估计过程模型的不精确引起的。人们在设计卡尔曼滤波时，认为分析过程是按某一规律发展的，但实际上是按另一规律演变的。如假定待分析过程的模型是一随机数，而实际过程是一个随机斜面，这样滤波器将连续地试着用错误曲线去拟合观测数据，结果导致发散。 当选择系统模型不准确时，由于新观测值对估计值的修正作用下降，陈旧观测值的修正作用相对上升，是引发滤波发散的一个重要因素。 因此逐渐减小陈旧观测值的权重，相应地增大新观测值的权重，是抑制这类发散的一个可行途径。常用的方法有衰减记忆法、限定记忆法、限定下界法