CAD的建模技术

1、第3章 CAD的建模技术在传统的机械设计与加工中，技术人员通过二维工程图纸交换信息。使用计算机以后，所有工程信息，如图形、尺寸、符号等，都是以数字开式存取和交换的。计算机图形的生成与手工在图板上绘图不同，必须先建立图形的数学模型和存储数据结构，通过有关运算，才能把图形储存在计算中或显示在计算机屏幕上。正是由于将工程信息数字化，才使得计算机辅助工程的各个环节(设计、分析计算、工艺规划、数控加工、生产管理，即CAD/CAE/CAPP/CAM等)使用同一个产品数据模型，共享信息，从而实现CAD/CAPP/CAM/系统的集成。而且，用计算机除了能绘制二维工程图外，还能生成三维图形(图3-1和图3-2分

2、别是汽车车身三维曲面模型和发动机配气摇臂三维实体模型)、生成真实感图形和动态图形，能够对设计的零部件进行物性(面积、体积、惯性矩、强度、刚度、振动等)计算，能够进行颜色和纹理仿真以及切削与装配过程的模拟。从而可缩短产品开发周期，提高产品的设计和制造质量。图 3-1 汽车车身三维曲面模型图 3-2 发动机配气摇臂三维实体模型人类现实世界是一个由众多类型三维几何形状构成的集合体，因此，在CAD/CAM系统中，三维几何造型技术引起了人们的极大关注。70年代初期开始研究用计算机直接描述三维物体的有效方法。近10余年来，美、英、德、瑞士等国都以大学为基地，研制了体素拼合系统和曲面造型系统，其中有些已经成

3、为商业性系统，并在生产中得到推广和应用，如机械类产品零部件的设计与制造系统；自动装配零件和排除故障的专家系统；建筑工程设计和施工系统；机构干涉校验系统等。就整体而言，三维图形处理数学方法和造型技术的发展历史还比较短，在理论问题和实现方法上还有待研究。本章从工程角度出，主要介绍三维线框造型、曲面造型，实体造型等的原理与计算机表达，并简要介绍新发展起来的特征造型的基本概念。3.1 线框造型线框造型是CAD/CAM技术发展过程中早应用的三维模型，这种模型表示的是物体的棱边。线框模型由物体上的点、直线和曲线组成，这种模型系统的开发始于60年代初期，当时，主要是为自动化设计绘图。初期的线框仅仅二维的，点

4、、直线 、圆弧和某些二次曲线是线本模型的基本元素，用户需要逐线地构造模型。一些更高级的系统，其中最早的是麦道公司的CADD系统，允许用户对模型提出问题，造型系统用基本的几何性质回答。这些线框模型并不是解析地表示实体，用户有责任模型解释褓一的性质，同时把实体的性质赋于模型，后来在地维线框模型的基础上发展了三维线框模型，构造在维线框模型，构造三维线框模型的知一步是引入三维结构，但仍限于二维同样的点、直线和曲线，但模型有了深度，可以做三维的平移、旋转、且能产生出立体感。这就减少了用户在某些解释方面的责任，但体积和其它物性自动计算分析方而后功能仍然没有。线框模型在算机内部是以边表和点表表达和存储的，实

5、际物体是边表和点表相应的三维映象，计算机可以自动实现视图变换和空间尺寸协调。如图3-3所示的立方体线框图采用8个顶点和12条边来表达。线框模型具数据结要简单，对硬件要求不高易于掌握等特点。这种模型曾广泛应用一工厂或车间布局，管道敷设、运动机构的模拟干涉检查。但线框模型存在着严重的缺陷，比如所五月示的图形含义不确切，如图3-4所示带孔立方体的孔是盲孔还是通孔含义就不清楚，不能进行物体几何特生(休积、面积、重量、惯性矩等)计算，不便于消除隐藏线，不能满足表特性的组合和存储多坐标数据控加工刀具轨迹的生成等方面的要求。3.2自由曲线自由曲线的生成成与参数方程所谓自由曲线通常指不能用曲线、圆弧和二次圆锥

6、曲线描述的任意形状的曲线，自由曲线常的形方法有：逼近和插值等方法。随着计算机技术的发展，自由曲线在机器人轨迹规划、航空航天、汽车、船舶、模具等流线型表面设计方面得到了广泛的应用，特别是非均匀有理B样条(NURBS)。不仅能把规则物体和自由形状物体用统一的数据学模型表达，而且能用样条精确地表示而不只是逼近规则形状的物体，从而为CAD/CAPP/CAM建立统一的几何模型提供了基础。曲线可以用隐函数、显然数据可参数方程表示。曲线用隐函数表示不 ，作图不方便；显函数表示虽然简直观，但存在多值性和斜无穷大等问题。因此，隐函数、显函只适合表达简单、规则的曲线。复杂的曲线如自由曲线一般表示成参数曲线。空间参

7、数曲线可以看作是一个重点在0人间的轨迹，可以用位置矢量r(t)连续不断各瞬间位置描述，如图3-5所示。曲线的参数方程一般可写为：r(t)=(x(t),y(t),z(t)的表达形式。工程中常见的直线、圆弧、螺旋线等规则曲线也可用上述参数形式表达。本节讨论自由曲线的参数表达方法，并主要介绍Ferguson 曲线、Bezier 曲线、B样条曲线和NURBS曲线等表达方法。曲线Ferguson曲线也叫 Hermite插直曲线。因为 Hermite插值系数多项式为 k次 (k?1)时，Hermite插值多项式为 (2k+1)次。显然， Hermite插值多项式的最低为3次(或4阶)。设三次代数多项式(3

8、-1)则三次Ferguson曲线上任意一点的坐标可表示为：(3-2) 求M矩阵的过程如下：已知某段曲线的起点和终点为Q 和Q ，且Q 和Q 两点处曲线的切矢量Q 和Q ，即将曲线P(t)表示为P(t)=Q (t),Q (t),Q '(t),Q '(t),如图3-6所示。将 t=0 和t=1分别代入(3-2)式得：P(0)=0 0 0 1M=QP(1)=1 1 1 1M=Q 由(3-2)式对t求导数得：(3-3)将t=0和 t=1分别代入(3-3)式得：P(0)=0 0 1 0M=Q0P(1)=3 2 1 0M=Q1 上述几个式子可以合写成：0 0 0 1 Q01 1 1 1 Q

9、00 0 1 0Q03 2 1 0Q0M=由此可得：代入(3-2)式得Ferguson 曲线方程如下：（3-4）记为P(t)=H00(t)Q0+H01(t)Q1+H11(t)Q1式中，T、Mc、Q分别叫参数矩阵、代数矩阵和几何矩阵。另外，Ferguson 曲线方程又可以写成：(3-6)式中H00(t)、H01(t)、H10(t)和H11(t)叫调配函数(或权函数)。上面是生成一段简单曲线的过程。如果要经过许多点构造一条由多段三次 Ferguson 曲线拼接而成的复杂曲线，只需保证后一段曲线的起点与前一段曲线的终点重合并且在重合点处的切矢量相同。 Ferguson曲线在早期的曲面设计中得到了应用

10、。但它有许多缺点：一是设计条件与曲线如末两点的切矢大小和方向有关，设计时不易控制；二是如果定义高次 Ferguson曲线，需要用到曲线始末两点的高阶导数。为此人们在Ferguson数学模型上作了一些改进，得到另外形式的曲线。 Bezier曲线就是其中一种。曲线1. Bezier曲线方程 在上述 Ferguson曲线表达式推导过程中，在切矢量Q0和Q1上的适当位置（由系数P确定）取两点Q0e和Q1e，即用Q0e代表Q0,用Q1e代表Q1，如图3-7所示，可以导出三次Bezier曲线方程。令：Q0e = Q0 + Q0/p 或 Q0 = p(Q0e - Q0)Q1e = Q1 + Q1/p 或 Q

11、1 = -p(Q1e Q1)点Q0 、Q0e 、Q1、Q1e不一定在曲线上但它都对曲线形状有影响，是控制曲线形状的制顶点，多边形Q0Q0eQ1eQ1叫控制多边形或特征多边形。将上面两式代入（3-4）式得：（3-7）整理后得：上式与（3-4）、（3-6）式的结构相似，共中权函数为（3-8）用Q0，Q1，Q2，Q3，分别表示Q0，Q0e，Q1e，Q1，则有为了保证曲线的几种不变性（权性、非负性），应有下列关系成立：当P取不同的值量，取矢量Q0、Q1长度不同（即控制点Q0e,Q1e位置不同）曲线形状也不同，分如下几种情况讨论：（1）当P0时，曲线退化为直线段。（2）当P=03时，P越大，曲线越带近控

12、制多边形；（3）当P>3时，曲线不再保凸，即曲线不再位于控制多边形围成的凸包内，可能出现尖点或闭环（自相交），曲线特性变差；所以，当取P=3时，曲线最贴近控制多边形而不出现尖点和闭环。将P=3代入（3-8）式得权函数为：所以仿（3-5）式，记为：P(t)=TMBQ由四个控制点定义一条三次Bezier曲线，如图3-8民示。伯恩期坦（Bernstein）定义了一种函数为基本曲线的次数，I为基函数的序的号。所以，对n次Bezier曲线，可以写成如下通式：由上述通式很容易导出一、二次及高级Bezier曲线方程。2. Bernstain基函数的性质 由排列组合和导数运算有关规律可以推导出Berns

13、tain基函数如下性质： 3. Bezier曲线的主要性质 由Bezier曲线方程和Bernstain基函数的性质可以得出Bezier曲线的一些性质：(1)端点的特性1）位置：曲线首尾端点分别经过折线多边形的首末点，即2)切矢： 由Bi,n(t)函数的导数性质，可以推出所以，起点切矢(2) 对称性：由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的走向Q0Q1Q2Q3颠倒后，曲线形状不变，但走向相反；(3)凸包性：如果平面控制多边形是凸的(4)保凸必：如果平台控制多边形是凸的（即多边形的任意两个顶点的连线都在多边形内或其边界上），(7)则Bezier曲线也是凸的；(5)几何不变性：曲线的形状不随

14、坐标系的变化而变化；(6)变差减少性：对平面Bezier曲线而言，面平内任意一直线与Bezier曲线的交点个数不多于直线与控制多边形的交点个数。这说明曲线比控制多边的波动小（更光顺）。4. Bezier曲线的拼接 复杂Bezier曲线是通过多段简单Bezier曲线拼接而成的。两段曲线首末相连时，根据在连接点处的连续性条件不同，常分为几种几何连续（GC）情况：（1） GC0:零阶几何连续。第一段曲线末点与第二段曲线起点重合。设两段曲线的起点和末点分别 对Bezier曲线而方，如果后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点重合，那么两段曲线是GC0连续的。 (2) GC1：一个阶几何连续

15、。同时满足 对Bezier曲线而言，如果后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最的一个控制点重合，并且后一段曲线的控制多边形的第一条边与前一段线曲的控制多边形的最后一条边在一条直线上，那么两段是GC1连续的。(3)GC2：二阶几何连续。当且曲线的主法矢 与 (曲线的主法矢与曲率详见有关微分几何教材)时，曲线是二阶几何连续。5. Bezier曲线的修改 以四次Bezier曲线为例，如图3-9所示。图中修改Q2点，修改前的曲线方程为：修改量Q2-Q2*-Q2，修改后曲线方程为：p*(t)=Q0B0,4(t)+Q1B1,4(t)+(Q2+Q2)B2,4(t)+Q3B3,4(t)+Q4B4,4(t)=

16、p(t)+Q2·B2,4(t)因为t(0,1),Q2·B2,4(t)0。所以修改一个控制点后，贡线上任意点都要迭加分量Q2·B2,4(t)，在整个参数区域内，P(t)曲线都会发生变化，所以曲线局部可操作性不好，修改曲线不方便。6. Bezier曲线控制顶点的反算 曲线控制顶点的反算是指由曲线的一系列点（称之为型值点）反求出定义该曲线的一系列控制顶点的过程。由实物模型测量数据后，产品的计算机描述数据（如由汽车油泥模型测量数据求车身外形的计算机数据）就是曲线的反算过程。如果给定(n+1)个型值点P0,P1,P2,Pn,要求一点系列控制点，由这些控制点定义的一条Bezi

17、er曲线通过已知的型值点，这与平常给定控制点求型值点的过程恰好相反。为了确定特征多边形的顶点Qi，可以取参数它们分别与型值点Pi(i=0,1,2n)对应。于是，根据Bezier的方程和性质，可列出如下方程组：上述方程组有Q0,Q1,Q2，Qn (n+1)个未知数，有n+1个方程，故可以得出唯一组解（Q0,Q1,Q2Qn）。应注意的是，参数t的取法不一样，得到的控制点列也不一样，由于这些点都逼近Bezier曲线，但逼近的精度有所不同，即反求的解不唯一。Bezier曲线在自由曲线/由面设计上得到广泛的应用。但也存大一些不足。主要是存在着以下几个问题：（1） 很复杂的Bezier曲线不分段时，如果控

18、制多边的顶点数为（N+1），也就一义了曲线的次数为N，一般控制多边的顶点数较多，因而曲线的次数很高，数学计算很复杂；采用分段Bezier曲线时，如果地注拼接达到GC2连续，连续条件的计算相当繁琐。(2) 权函数在开区间（0，1）内均不为零，因此所定义的曲线在开区间的任何一点均要受所有顶点的影响，即改变其中任一个顶点的位置对整个曲线都有影响。因而，不便对曲线进行局部修改。（3） 为曲线的次数N较大即控制多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱，即逼近曲线的程度减弱。为了克服上述问题，人们提出了B样条函数替代Bernstein基底函数，从而出现了B样条曲线。样条曲线B样条曲线保持了Bezier的直

19、观性、凸包性等优点外，还具有便于局部修改主便、对特征多边形逼得更近、多项式次数低、分段曲线拼拉条件简单等特点。1.B样条曲线的数学模型 令样条曲线基函数为：（3-10）式中，I是函数的序号，n是样条的次数，j表示一个基函数是由哪几项加起来的。（1）二阶一次B样条曲线将n=1代入（3-10）式得X0,1(t)=1-t,X1,1(t)=t两个控制点定义一段B样条曲线，如果给一系列控制点，则第I段B样条曲线方程是为：显然，此时曲线是直线段，就是特征多边形的边。移动控制顶点Qi,只影响QiQi-1, QiQi+1二段如图3-10所示。图3-10 一次B样条曲线（2）三阶二次B样条曲线将n=2代入上（3

20、-10）式得第i段曲线方程为可发现，PI段二次B样条曲线由Qi-1，QI，Qi+1三个控制定义，Pi+1段曲线由QI，Qi+1，Qi+1三个控制点定义（即往后顺移一个控制点）。曲线切矢的基函数为：曲线端点切矢为：基函数的二阶导数为：所以曲线端点的二阶导数为：图3-11所示为Q0，Q1，Q2，Q3，四个控制点构成的二次B-spline曲线。图3-11 二次B样条曲线（3）四阶三次B样条曲线 将n=3人入（3-10）式得2.三次B样条曲线几何性质（1）端点特性1）位置： 将t=0代入（3-11）式，2）得2三次B 样条曲线几何性质（1） 端点特性1） 位置：将t=0代入（3-11）式，得（3-12

21、）式中，QR1=(Qi-1-Qi)+(Qi+1-Qi)，即为图3-12中所示的平行四边形的对角线。将t=1代入（3-11）式，得（3-13）式中，QR2=(Qi-Qi+1)+(Qi+2-Qi+1)式（3-12）、（3-13）描述了三次B样条曲线的型值点与控制点之间的关系，从这两个式子可以看出，第I段三次B样条曲线只与Qi-1QiQi+1Qi+2四个控制点有关，如图3-12所示。曲线始点位于Qi-1QiQi+1的中线QiM1R 1/3Q处或平行四边形Qi-1QiQi+1QR1对角线的1/6处。曲线终点位于QiQi+1Qi+2的中线Qi+M2的1/3处或平行四边形QiQi+1Qi+2QR2对角线Q

22、R2的1/6处。2）一阶切矢：将（3-11）式对t求导，得即曲线在端点处的切矢量分别平行于三角形Qi-1QiQi+1和QiQi+1Qi+2的底边，约等于三角形底边长的一半。6）二阶切7）矢：将（3-11）式对t求二阶导数，8）得到由于第Pi段曲线由（Qi-1,Qi,Qi+1,Qi+2）定义，第Pi+1段曲线由（Qi,Qi+1,Qi+2,Qi+3）定义（即往由顺移一个控制点），所以后一个平行四边形正好是下一段曲线的前一个增行四边形，即 所以三次B样条曲线自动满足GC2连续条件。对三次B样条，N个控制点得到（N-2）个型值点或（N-3）段曲线。（2） 局部特性 每四个控制点定义一段三次B样条曲线，

23、如图3-13所示，对某一个控制点而言（如Q4），改变Q4，只对图中四条实线情况表示的四段B样条曲线有影响，一般地，K次B样条基函数只在（K+1）个曲线区间非零，其余区域为零，即改变一个控制点，只对（K+1）条段B样条曲线有影响。这体现了B样条曲线的局部可修改性质。（3） 几种特殊情况讨论1） 四点共线 当Qi-1,Qi,Qi+1,Qi+2四个顶点位于同2） 一直线上时，3） 上文所提到的平行四边形都蜕化为一直线，4） P(t)也为一直线。因此可以在两段曲线之间夹一段直线。5） 三重顶点 通过三重顶点，6） 可以构成尖点7） 四重顶点 曲线退化为一点。 3. 三次B样条曲线的反算 三次B样条曲线

24、的型值点的个数比控制点的个数少两个，如果已知(n+1)个型值点Pi(I=0,1,n)，如何反算出（n+3）个控制点Qi(j=-1,0,n+1)？这就是三次B样条曲线的反算问题。显然，需补充2个几何条件，才能求解。由前面（3-12）、（3-13）式得知，型值点与控制点存在着下列关系：补充条件的方法有如下两种：（1）对开曲线： 设其两端点曲率为0，可以设计成二重顶点，即Q-1=Q0,Qn+1=Qn或 6Q-1-6Q0=06Qn+1-6Qn=0将（n+3）个方程写成矩阵的形式：对上述三对角矩阵，利用追赶法求解。（2）对闭曲线：曲线首尾封闭不是简单封闭，控制点必须沿环向重叠一部分。即取Q-1=Qn,Q

25、n+1=Q0,则得到可以用迭代法求争上述方程组。非均匀有理B样条（NURBS）曲线近年来，随着CAGD的发展，NURBS技术有了较快的发展和较广泛的应用，其主要原因在于：1）对标准的解析曲线（如圆锥曲线等）和自由曲线提供了统一的数学描述，便于工程数据库的管理和应用； 2） 保留了B样条曲线的节点插入、修改、分割以及修改控制点等强有力的技术，而且还具有修改权因子来方便地修改曲线形状的能力； 3）具有几何变换不变性； 4）非有理B样条曲线、有理及大量有理Bezier曲线等均为NURBS曲线的表示特例。因此NURBS曲线具有更强的表达功能。NURBS曲线的定义如下：给定n+1个控制点Pi(I=0,n

26、)及其权因子Wi(I=0,n)，则K阶（K-1）次NURBS曲线的表达式为：上式中Pi也称之为特征多边形顶点位置矢量。Ni,k(u)是K阶B样条基函数，按照递推方式可定义为：上式中ti为节点值，T=to,t1,tn+k,tn+k+1构成了K阶B样条基函数的节点矢量，节点值必须是非减序列，即ti+1tI。当节点沿参数轴是均匀分布时，即ti+1-tI=常数，则B样条基函数为均匀B样条基函数。在实际工程应用中，通常取t0=t1=tK-1=0tn+1=tn+2=tn+k+1=1即取节点矢量T使U0，1且两端按K重节点取值，这样曲线起点和终点就是控制多边形的起点和终点，且起、终点的切矢相切于控制多边形的

27、第一条边和最后一条边。例如用NURBS曲线表达圆时，共特征多边形顶点Pi(I=0,8)按图3-14所示的矩形分布，每个控制点的权值为其节点矢量T=t0t1t2t10t11=0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4尽管NURBS表达有许多优点，但由于其表达式较前述几种自由曲线的表达更为复杂，因此其计算量较大，影响软件的运行速度，耗费的存贮量较大。而且当权因子为零和负值时容易引起计算的不稳定，导致曲线发生畸变，因此在使用NURBS时应有适当的限制以保证算法的稳定性。3.3 曲面造型概述曲面造型又叫表面造型。表面模型是通过在线框模型的基础上添加了面的信息，利用表面模型，就可以对物体作剖面、消隐

28、、获得NC加工所需的表面信息等。对一些复杂的物体表面，如汽车车身、飞机机身、模具型面告示呈流线型瞬息万变由曲面。与自由曲线的定义相似，所谓自由曲面是指不能用基本立体要素（棱柱、棱锥、球、一般回转体、有界平面等）描述的呈自然形状的曲面，必须根据空间自由曲线和自由曲面的理论进行计算。传统的自由曲面设计一般采用放样（Lofting）方法，即对曲面取不同的裁面，得到平面裁交线，用水平线(Water Line)、钻直线(Station Line)组成的矩形网格对裁面线上的点进行定位。由于这种方法中网络线不可能无限度的密，对放样曲线上的点的确定，有时由人的经验而定，存在较大的误差，且不适合计算机表达，故引

29、入了参数曲面的概念。仿照参数曲线的定义，参数曲面可看成是一条变曲线按某参数运动形成的轨迹，即参数曲面可表示为，这里两个u、是描述曲面的参数，故这种曲面叫双参数曲面，一般表示为规则曲面的参数表达也具有这种双参数形式。参数曲面的切矢、切平面、法矢是参数曲面加工和检测中需用到的重要特征，知道曲面参数方程后，可以求出曲面的u向切矢和向切矢分别为：因此，曲面的切平面方程为：曲面的法矢为：切平面方程也可写成： 与Ferguson曲线、Bezier曲线和B样条曲线对应，工程常用的自由曲面有Coons曲面、Bezier曲面和B样条曲面。自由曲线的表达结构可以理解为谳配函数对控制点进行一次调配，是单参数函数。自

30、由曲面的构造形式与自由曲线的构造策略相似，它可以看成是自由曲线的“单参数”、“一次调配”和“双参数”、“二次调配”的拓展，即先通过参数u将点调配成曲线，然后通过参数将曲线调配成曲面。因此，参数曲面方程可以写成：（3-14）上式中，m是关于参数u的调配函数的次数，n是关于参数的调配函数的次数，m×n称为曲面的次数，Xi(u)和Xj()分别是关于参数u和参数的调与函数（两者的结构相同），Qij是给定的已知几何条件。如果式(3-14)Xi(u)、Xj()和Qij取与Ferguson曲线相似的基函数和几何条件时，式（3-14）即为Coons曲面方程；如果式（3-14）即为Bezier曲面方程

31、；如果式（3-14）Xi(u)、Xi()和Qij取与B样条曲线相似的基函数和几何条件进，式（3-14）即为B样条曲面方程。下面分别介绍3×3次Coons曲面、Bezier曲面和B样条曲面。 Coons曲面由前面分析，已知三次Ferguson曲线的基函数为X=u3,u2,u,1×MC，代入（3-14）式，得到双三次Coons曲面的方程：（3-15）这里，几何矩阵Qij是一个4×4的矩阵，它16它个元素中，四个是曲面的四个角点Q00、Q01、Q10、Q11，如图3-15所示；四个是曲面四个角点处u向切矢（一个偏导）Qu00、Qu01、Qu10、Qu 11；四个是曲面四

32、个角点点向切矢（一阶偏导）Q00、Q01、Q10、Q 11；四个是曲面四个角点处的扭矢（二阶偏导）Qu00、Qu01、Qu10、Qu 11。同Ferguson曲线一样，设计Coons曲面时，需要用到切矢，而且不要用到扭矢，这不直观，而且难于控制，因此Coons曲面的应用受到限制。 Beizer曲面由前面分析，已知三次Beizer曲线的基函数为X=u3,u2,u,1×MB代入（3-14）式得双三次Bezier曲面方程：（3-16）Qij,i,j=0,1,2,3,是由空间16间个控制点组在的几何矩阵，即空间控制网格，如图3-16所示。控制网格（图中实线）的四个角点与曲面（图中虚线）的四个

33、角点重合，其余控制点都不在曲面上。 B样条曲面由前面分析，已知三次B样条曲线的基函数X=u3,u2,u,1×MS，代入（3-14）式得双三次B样条曲面方程：（3-17）几何矩阵Qiji,j=0,1,2,3，是空间间16间个控制点，这些控制点逼近B样条曲面，但都不经过B样条曲面，如图3-17所示。 NURBS曲面 与NURBS曲线的定义类似，给定一张（m+1）×(n+1)的网格控制点Pij(I=0,m,j=0,n)以及各网格控制点的权值Wij（I=0,m,j=0,n）则其确定NURBS曲面的表达式为：式中 Ni,k (u)为NURBS曲面U参数方向B样条基函数 Nj,l ()

34、为NURBS曲面V参数方向B样条基函数 K,l为B样基函数的阶数，其基函数的一义与NURBS曲线中完全相同。 Ni,k（u）的节点矢量为：x1x2xP Nj,I（）的节点矢量为：y1y2yq注意下面几个条件必须满足：Xi+1xi,yj+1yjP=m+k+1,q=n+1+1由于NURBS曲面的定义方法完全类似于NURBS曲线，故计算方法也完全相似。不仅如此，NURBS曲线的许多重要的特性也与NURBS曲面相同，故不再重复。 曲面的反算、拼接和互化 1. 反算 自由曲面在计算机内部存储的是控制点，但在实际工程中，往往先经测绘得到曲面的型值点，然后再由型值点反算出控制点。由于曲面是由空间点经过两次调

35、配得到的，因而曲面的控制点的反算需要“两次反算过程”，第一次反算过程为：将一个参数方向（如u方向）上的型值点依次按曲线反算方法反算出一系列点；第二次反算过程为：沿另一个参数方向（如方向），将第一次反算得到的点次再按曲线反算方法反算出另一系列点，第二次反虎得到的点即为曲面的控制点。2. 拼接 以双三次自由曲面为例，相邻两片曲面光滑拼接的条件为：(1) 对Coons曲面：两张双三次Coons曲面片共边界且在相邻两角点处的坐标、u向切矢、向切矢、按矢分别相等；(2) 地Bezier曲面：两张双三次Bezier曲面片在相领边界处的相领的控制网格共边且在同一平面上；(3) 对B样条曲面：由于每（4

36、15;4）即16个几何条件定义一片双三次曲面，如果定义B样条曲面制造何矩阵Q有M行N列（M4，N4），则可以定义（M-3）×（N-3）个曲面片。与三次B样条曲线的连续性相似，只要（4×4）的子矩阵在Q矩阵中是依次向右或依次向下移动的，就能自动保证相邻的曲面片或上下相领的曲面片二阶连续。显然，B样条曲面的连续性条件十分简单，这是B样条曲面得到广泛应用的原因之一。3. 互化 双三次Coons曲面、双三次Bezier曲面、双三次B样条曲面之间可以相互转化。根据（3-15）、式（3-16）和式（3-17），这三种曲面的方程可以分别表示成：（3-18）（3-19）（3-20）上述三个

37、方程参数矩阵U=u3,u2,u,1和V=3,2,1都是相同的只是代数矩阵与几何矩阵不同，但如果它们表示同一张曲面，显然有（3-21）（3-21）式描述的就是三种曲面之间的互化关系。例如，由于（3-21）式可以得到下列两个关系式：（3-22）（3-23）（3-22）式描述的是将Coons曲面转化成Bezier曲面表示。反这，（3-23）式描述的是将Bezier曲面转化成Coons曲面表示。其余曲面间的互化关系类推。3.4 实体造型早在60年代初，就提出了实体造型的概念，但由于当时理论研究和实践都不够成熟，实体造型技术发展缓慢。70年代初出现了简单的具有一定实用性的基于实体造型CAD/CAM系统，

38、实体造型在理论研究方面也相应取得了进展，如1973年，英国剑桥大学的布雷德(I.C. Baird)曾提出采用六种体素作为构造机械零件的积木块的方法，但仍然不能满足实体造型技术发展的需要。在实践中人们认识到，实体造型只用几何信息一示是不充分的还需要表示形体之间相互关系、拓朴信息。到70年代后期，实体造型技术在理论、算法和应用方面逐渐成熟。进入80年代后，国内外不断推出实用的实体造型，在实体模型CAD、实体机械零件设计、物性计算、三维形体的有限元分析、运动学分析、建筑物设计、空间布置、计算机辅助NC程序的生成和检验、部件装配、机器人、电影制片技术中的动画、电影特技镜头、景物模拟、医疗工程中的立体断

39、面检查等方面得到广泛的应用。实体造型是以立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等多种基本体素为单元元素，通过集合运算（拼合或布尔运算），生成所需要的几何形体。这些形体具有完整的几何信息，是真实而唯一的三维物体。所以，实体造型包括两部分内容：即体素定义和描述，以及体素之间的布尔运算（并、交、差）。布尔运算是构造复杂实体的有效工具。目前常用的实体造型方法主要有：边界表示法、构造实体几何法和扫描法。 布尔运算 1. 布尔运算的基本概念 如果一个实体是由两个或两个以上较简单的体素（Primitive）经过集合运算得到的那么这个实体的表示就是布尔模型(Boolean Model)。这种集合运算叫布尔运算，可

40、以简单理解为布尔运算是在一物体上增加或减少一部分。如果A、B为两个实体，C=A<OP>B,这里<OP>代表任一正则化布尔算子，那么C就是布尔模型。A、B、C三者必须有相同的空间维数。为了简明起见，假定所有布尔运算都是正则化的，从而省略“正则的”一词。符号<OP>代表正则算子（布尔算子），它可以是（并）、（交）和-（差）等。布尔模型的一个重要特点是：布尔模型是一个过程模型（Procedural Model）研究图3-18，假定从A、B、C三个实体的顶点坐标得知它们的大小、位置和方位，D的布尔模型是D=（AB）-C。定义D的布尔语句没有定量地说明新产生的实体，仅

41、仅规定体素的结合方式。也未说明新体素的顶点坐标，或有关新棱边和面的任何信息，可能知道的就是关于A、B、C三个体素的几何和拓扑信息，以及新实体D的构造方法。因此，布尔模型是过程模型，也可称作非求值模型。如果希望知道更多关于新实体的信息，则必须对布尔模型进行求值计算，例如，计算交线和交点、拓扑关系分类、分析运算得到的新元素的连通性，以确定该模型的拓扑特点，从而决定新的棱边和新的顶点。体素的结构表示就是将布尔算子直接变换成二叉树结构表示，图3-19是上述模型的二叉树。其中，叶结点上是体素，每个内部结点及根结点上是布尔算子。体素是如何构造的呢？在许多系统中，体素作为图模型存储。同时，这些体素模型的二叉

42、树上的叶结点是可以缩放和定位的单元形体和参数化形体。体素也可以是有向曲面或半空间的布尔组合。有向曲面是指那种由其面上任何一点的法向决定体素内部和外部的曲面。一个无界面将笛卡尔空间划分为两个无界区，每个无界区被称作半空间。一组特一的半空间通过布尔交可以形成一个三维实体。日本北海道大学开发TIPS造型系统就是通过布尔组合，由半空间定义的有向面来构造整个模型，每一个有向面均由f(x,y,z)=0形式的方程给出。在有向面上其函数值为零，在实体内部函数值为正。这样，就可以把一个复杂的实体这义为有向面交的并集。其它系统，如著名GMSolid系统、PADL系统（Rochester大学研制）和ROMULUS系

43、统（Evans and Sutherland公司研制）都是用有界体素运算，在二叉树任一个结点上，两个有效实体相组合产生第三个有效实体。在这些系统中，即使相当复杂的布尔模型也能很快产生，布尔模型有非常简单、紧凑的数据结构。2. 布尔运算的基本步骤 设A和B是两个分别用边界表示B-rep法（见）描述的多面体，布尔运算C=A<OP>B的运算过程一般分为下面几个步骤逐渐完成。（1） 确定布尔运算两物体之间的关系 物体边界表示B-rep结构中的面、边、点之间的基本分类关系分别是“点在面上”、“点在边上”、“两点重合”、“边在面上”、“两边共线”、“两个多边形共面”等六种关系。先用数值计算确定

44、“点在面上”的关系，共余五种磁系可以根据“点在面上”关系推导出来。当这些关系发生冲突时，就用揄的方法解决冲突。 (2) 进行边、体分类 对A物体上的每一条边，确一对 B物体的分类关系（A在B物体内、外、上面、相交等）；同样对B物体上的每一条边，确定对 A物体的分类关系。（3） 计算多边形的交线对于A物体上的多边形PA和B物体上的多边形PB，计算它们的交线。在布尔模型的边界求值计算方面，求交计算是关键一环。（4） 构造新物体C表面上的边 对于A物体上和B物体上的每一个多边形PA、PB，根据布尔运算的算子收集多边形PA的边与另一多面体表面多边形PB的交线以生成新物体C表面的边，如果多边形PA上有边

45、被收集到新物体C的表面，则 PA所在的平面半成为新物体C表面上的一个平面，多边形PA的一部分或全部则成为新物体C的一个或多个多边形。如果定义了两个物体A和B的完整边界，那么物体C的完整边界就是A和B边界各部分的总和。（5） 构造多边形的面 对新物体C上的每一个面，将其边排序构成多边形面环。（6） 合法性检查 检查体C的B-rep表示的合法性。 边界表示法边界表示B-rep (Boundary-representations)是以物体边界为基础，定义和描述几何形体的方法。这种方法能给出物体完整、显式的边界描述。其原理是：每个物全都由有限个面构成，每个面（平面或曲面）由有限条边围成的有限个封闭域定

46、义。或者说，物体的边界是有限个单元面的并集，而每一个单元面也必须是有界的用边界法描述实体，必须满足一定条件。一个理想、有效表面的条件是：封闭、有向、不自交、有限和相连接，并能区分实体边界内、边界外和边界上的点。图3-20所示的物体由平行六面体和圆柱构成，根据边界表示法原理，可以用一系列点和边有序地将其边界划分成许多单元面，其数学计算并不困难。例如，该实体的平行六面体可以方便地分成6个单元平面，各个单元面由有向、有序的边组成，每条边则由两个点定义。圆柱体底和顶面自然也是一个单元面，而圆柱面的分割则有我种方法，图中划分为前后两上圆柱面，每个圆柱面则有向、有序的直线和圆弧构成，而圆弧线则由三个点定义

47、圆的方法描述。不管是平行六面体还是圆柱体，都不能只用一个单元面表示整个物体。特别是用边界表示法描述曲面实体将需要更多条件，例如一个Bezier曲面则需由其特扌多边形顶点网格定义，该曲面上的曲线用特征多边形顶点定义。图3-20所示实体的数结构可用体表、面表、环表、边表、顶点表五个层次的表描述（见图3-21）。体表描述的是几何体包含的基本体素名称以及它们之间的相互位置和拼合关系；面表描述是的是几何体包含的各个面、面的数学方程，每个面有且只有一个外环，如果面内有孔，则还有内环；环表描述的是环由哪些边组成的；边表中有直边、二次曲线边、三次样条曲线边，以及各种面相贯后产生的高次曲线边；顶点表述的是边的端

48、点或曲线型值点。点不允许弧立地存在于几何的内部或外部，只能存在于几何体的边界上。边界表示法强调物体的外表细节，建立了有效的数据结构，把面、顶点的信息分层记录，并建立了层与层之间的关系。分层记录的信息包括相互独立双相互联系的两部分：一组是几何信息，一组为拓扑信息。几何信息是指欧氏空间中的位置和大小，包括点的坐标，曲线和曲面的数学方程等；拓扑信息是指几何体顶点、边、面的数目、类型以及相互间的连通关系。根据这些明确的记录信息，可以知道内何体表面的范围及其邻接情况。为了有效地表示几何体的拓扑关系，斯坦福大学鲍姆加特（B. G. Baumgart）于70年代创造性地提出了翼边结构的方法，即以边为核心，每

49、条边有上下两个顶点，左右两上领面（左邻面与右邻面）以及与两个顶点相连的另外四条边（见图3-22），这些边分别在两个领面的边已知的边出发，有规律地查询这个几何体的所有面、边和顶点。边界表法法，允许绝大多数有关几何体结构的运算直接用面、边、点定义的数据实现。这有利于生成和绘制线框图、投影图、有限元网格的划分和几何特性计算，容易与二维绘图软件衔接。实全的边界是实体与周围环境的主要界面。它的外观决定于表面性质：形状、颜色纹理，即使是透明体，边界表面也影响光的反射。实体的边界面也是指它与其它实体相接触的地方，如制造加工过程就是刀具轨迹的包络面切除零件毛坯的过程。因此，实体的边；界达模型在实际工程得到了广

50、泛的应用。 构造料体几何构造实体几何CSG (Constructive Solid Geometry)是一种造型方法的专用术语。这种方法把复杂的实体这义为较简单实体（体素）的组合。使用布尔算子实现这种组合。CSG的基本概念是由Rochester大学生产自动化研究组Voelcker和Requicha等人首先提出的这些概念包括：正则布尔运算、体素、边界定值计算和元素的分类等。在构造实体几何法中，物体形状的定义是以集合论为基础的。一是集合本身的定义，其次是集合之间运算。所以，构造实体几何法建立在两级模式的基础之上。第一级是以半空间为基础定义有界体系。例如，球体是一个半空间，圆柱体是两个半空间，立方体

51、则是产个半空间（因其存在域是六个半空间的交集）。第二给是将这些体素施以交、并、差运算，生成一个二叉树结构，树的叶结点是体素或变换参数，中间节结点是集合运算符号，树根是生成的几何实体。CSG可看成物体的单元分解的结果。在模型被分解为单元以后，通过拼合运算（并集）能使其结合为一体。其中，组件只能在匹配的面上进行拼接。CSG可以使用所有正则布尔运算：并集，交集、差集，从而既可以增加体素，又可以移去体素。在图3-23中，四个叶节点代表体系1、2和平移量X，两个内部节点表示（1-2）和2X的运算结果，树根表示最终得到物体。值得注意的是：最初和中间的物体都是有效的有界实体，此外交换并不限于刚性运动，各种放

52、大和相似变换在理论上都是可能的仅受布尔运算功能的限制。如果造型系统中基本体素是由系统定义的有效的有界实体，且拼合运算是正则运算，那么拼合运算得到最终实体模型也是有效和有界的如果系统允许用户自己定义体素，则必须证明该体素的有效性。现有造型系统的共同目标是为用户提供一套形式简洁、数目有限的基本体素，这些体素的尺寸、形状、位置、方向由用户输入较少的参数值来确定。例如，大多数系统提供长方形体素，用户可输入长、宽、高和原始位置参数，系统可以检查这些参数的正确性和有效性。另一些常用体素是圆柱体、球体、圆锥体和圆环体。体素的定义方法分为两类：定义有界体素和无界体素。无界体素用空间域定义，这时体素是在有限个半

53、空间内集合组成。例如一个圆柱体可以表示为三个半空间的交集。有界体素用B-rep表示或用与之相似的数据结构表示。这样的表示可以清楚地表示出组合成体素的面、边、点等。形体的边界可通过边界定值计算的方法描述，边界定值决定哪些组成面应被裁去，哪些棱边或顶点被生成或被删除，边界元素重叠或位置一致时，边界定值就把它们合拼成一个简单元素。这样，就能用一个前后一致、无冗余的数据结构描述一个实体边界。两个相连实体的相交处产生新的交线，通过边界定值能找出这些交线，并对新实体实际棱边的交线（新的交线在棱边与表面的交点处终止）进行分类定义、然后对各顶点重新分类。新实体各表面是由被连接的实体相交面产生的（只能对其进行修

54、改，但不能产生机关报面，除非进行增加操作），可以生成新的棱边及顶点，也能删除某些类型的元素。用构造实体几何法描述复杂实体是十分简洁的，而且生成速度很快，从实体表示法到边界表示法的转换则需要进行大量计算（包括整体性计算、图形显示模型计算和其他应用内容）。CSG表示法与机械装配的方式类似。对机械产品来说，先设计制造零件，然后将零件装配成产生品。用CSG表示构造几何形体时，则是先定义体素，然后通过布尔运算将体素拼合成的所需要的几何体。因此，一个几何体可视为拼合过程中的半成品，其特点是信息简单，处理方便，无冗余的几何信息，并详细记录了构成几何体的原始特征和全部定义参数，必须时还可以附加几何体和体素物各

55、种属性。CSG表示的几何体具有唯一性和明确性，但一个几何体CSG表示和描述方式却不是唯一的即可以用几种不同CSG树表示。CSG表示法对于自动加工生产有着潜在的意义。 CSG与B-rep混合造型方法B-rep法在图形处理上有明显的优点，因为这种方法与工程图的表示相近，根据B-rep数据可迅速转换为线框模型，尤其在曲面造型领域，便于计算机处理、交互设计与修改。此外，B-rep多面体系统在生成浓淡图时也有特点。例如在用像素操作法和填充法进行浓淡处理时，在显示速度和质量方面也有明显的优点。用B-rep描述平面和自由曲面（B样条、Beizer、Coons曲面）都是可行。而CSG表示法在几何形体定义方面具

56、有精确、严格的优点。其基本定义单位是体不比和面，但不具备面、环、边、点的拓扑关系。因此，其数据结构比较简单。CSG表示法定义的是严格的数学模型的方程式，其数据结构包含在判别函数议程组中。显然，CSG表示法模型误差很小。在模式识别方面，CSG法也有自己的长处。CSG模型是由各个体素构成，而体素正是零件基本形体的表示，因此，从其中很容易抽象出零件的宏观形体和具体形体。例如，若半机器人的工作环境用CSG方法定义，则整个机器人的工作过程可用CSG模型进行动态仿真。从CAD/CAPP/CAM的集成和发展角度来看，单纯的几何模型已不能满足要求，而需要将几何模型发展成为产品模型，即将设计制造信息加到几何模型

57、上。这样，产品模型信息量将大大增加。由于CSG表示法末建立完整的边界信息，因此，既不可能向线框模型转换，也不能用来直接显示工程图。同样，对CSG模型不能作局部修改，因为其可修改改的最小单元是体素。CSG和B-rep表示法各有所长，许多系统采用两者综合的表示方法进行实体造型。现在许多CAD/CAM系统均已采用CSG模型系统为外部模型，而用B-rep模型作为系统的内部数据。为了发挥CSG和B-rep的长处，同时保留CSG和B-rep模型的数据是十分必要CSG加上B-rep一起可以作为整个几何数据模型。这样，当面临一个复杂的问题时，各应用程序可并行进行，时间和空间效率都可以提高。同时，CSG信息和B-rep信息可以互补充，确保几何模型信息的完整与精确。 扫描表示法扫描表示法(Sweep Representation)是建立在沿某一轨迹移动一个点、一条曲线或一个曲面的想法之上的由这个过程所产生的那些点的轨迹定义一维、二维或三维的形体。用扫描法构造实体易于理解、易于执行，同时也为开发新方法提供了一个富于创造性的领域。许多造型系统使用扫描法的结果表明，它对构造等裁面机械零件是行之有效的，它也能用于检查机械零件之间可能存