高职专升本第二章导数及其应用习题及答案

1、应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1 ,若f (x)在X0处可导，则以下结论错误的是( D )。A f (x)在xo处有极限；B f (x)在xo处连续;C f(x)在xo处可微;D f(x“ = lim f (x)必成立。- x xi.2.若f (x)在xo处可导，则(B )是错误的。(02-03 电大试题)A函数f(x)在点xo处有定义;B lim f (x) = A，但 A = f (xo)；J%C函数f(x)在xo处连续;D函数f (x)在xo处可微。3 . f (x)在xo处不连续，则f (x)在*0处(A )A必不可导；B有时可导；C必无定义；D必无极限。4 .函数f(x)

2、=|2x|在x=o处的导数( D )。A等于o ;B等于2 ;C等于-2 ;D不存在。5 .函数f(x)=|sinx|在点x=o处的导数( D )。A等于-1 ;B等于o ;C等于1 ;D不存在。6 . y =ln | x|,则 y= ( B )。A -工； B 1 ；|x|x1|x|7.曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是(C )。A y=2xC y=xD y=-x8. f(x)=xcosx,则 f(x)=(D )。(02-03 电大试题)B cosx-xsinxD -2sinx-xcosxA cosx+xsinxC 2sinx+xcosx9 .函数中在1 , e上满足Lagran

3、ge定理条件的函数是( B )。A y=ln(lnx) ; B y=lnx ; C y= ; D y=ln(2-x)ln x10 .若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点E ,使(A )。A f(q = f (b) - f ；b f(q = o；b -aC f(b)= f(a) + f代)(b+a)； D f化)=f(b) - f(a) 211 . f(x0) =0,则 X0 是函数 f(x)的(D )。(02-03 电大试题)A.极大值点；B.最大值点；C.极小值点；D.驻点。12 . xo是连续函数f (x)在(a,b)内的极小值点，则(

4、C )。A 必有 f(xo) =0;B f(x0)必不存在;C f(x0)=0或 f(x。)不存在；13 . y=arctane x,贝U dy= ( C )。D x e (a,b)时，必有 f(x)之 f(x0)。12271 eexdx1 e2x D dxD 2 2x 1 e214 .设 f(x)=x+cosx ,贝U f(x)= ( C )。A 1-sinxB 1+sinx 2; C 1-sinx 2 2x ； D (1-sinx 2)2x。15 .设 f (t)=3L ,则 f (t)= ( B )。t2 -11一；2tt2 122 ，(t -1)3t2 -122(t -1)t2 1t2

5、 -1x aa - x16 . lima (a0)的值是(D )。 1x -aA 0 ; B 1 ; C 8；D aa( ln a T)。17 .若xi与x2分别是函数f (x)在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则(D )必成立。A f(x1) f (x2)；B f(Xi) = f(Xz) =0 ;C 对做 C(a,b) , f(x)Mf(x1)，f(x)之 f(xz); D (xj、f(x2)可能为 0,也可能不存在。18 若 lim f(x) - f (x0) = -1 ，则 f(x。)一一定是 f(x)的(D )。x M (x -x。) .若函数 y =ln V3 ,则 y = 0

6、_A最大值；B极小值；C最小值；D极大值。1 .填空题：1 .已知 f (x) =lnx ,贝U 1m gCx-也一nx = 1。 x 30xx3 .曲线y=x 3+4在/(0,4)处的切线平行于 x轴。4 .抛物线y=x 2在/-(1/2,1/4)处的切线的倾斜角是 45。5 .已知 f(x)=x sinx ,则 f(0) = 2。6 .方程exy =xy所确定的隐函数的导数dy= 乂。dx x7 .若函数f (x)在x=o处可微，则ijm f (x) = f(0)。8 . d ln(sin x)= cotxdx。9 . dln(cosx)= tanxdx。x x x10 . d(sin e

7、 ) = e cose dx。11 .半径为x的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了 x,应用微分方法求出 S S半) 。In x12 .m一x 二 o。一一213 .函数y=arctan(x +1)的递增区间是(0, +0)。14 .函数y=ln(2x 4+8)的递减区间是(一00,0)。15 .函数y=sinx-x 在其定义域内的单调性是单调减少。16 .极值存在的必要条件：如果 f(x)在点x0处取得极值且在点xO处可导，则f(x)=0。17 .若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内f(x)0,则函数的最小值为 f(b)。18 .设函数y = f(x)二阶可导，若 函)=0、

8、f(x0) 0,则f (x0)是f3的_&太。19 .已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则产量q=50时，该产品的平均成本为3.620 .微分近似计算函数值公式f (x + x)电f(x)十f(x)x。三、解答题：11，1 ,求函数y =产+广的导致。1 x 1 - x八 一.112_,解：因为y=七+七所以1x 1 - , x 1 - x2(-1)2y = -2 =2。(1 -x) (1 -x)In x2 .求函数y =的导数。sin x解：y=(In x)sin x -In x(sin x)1sin x -ln xcosx .,xsin x - xln xcosx一 2si

9、n x.2sin x.2xsin x解:ytan- 22 x11sec =22xx2 sin - cos221sin x3 .求函数y=x ex cosx的导数。解：y =ex cosx +xex cosx _xex sin x = ex（cosx + xcosx _ xsin x） o24 .求方程y=x =2sin xcosxcos2x-2sin xsin 2x = 2sin x(cosxcos2x -sin xsin x2x) = 2sin xcos3x。 x .求函数y=lntan的导致。2在点（3,9）处的切线方程。22解：曲线y=x在点（3,9）处的切线的斜率为 y=x在点（3,9

10、）处的导数因为ylxg = 2x|x = 6,所以切线的方程为y -9 =6(x -3)即 6x -y -9 =025.求函数y=sin xcos2x的导致。2.2解：y= 2sin x(sin x)cos2x+sin x(-sin 2x) 2，一一 1，一7 .求函数y =n的导致。cos x H V-n4 .nsin x解:y = (cos x) = -ncos x(cosx) =n-cos x8 .利用对数求导法求函数 y = （cosx）s1nx的导数。解：两边取自然对数，得ln y = sin x ln cosx两边对x求导，得y-sin x=cosxln cosx sin xyco

11、sxy = y(cosxln cosx -sin xtan x) = (cosx)s1nx(cosxln cosx - sin xtan x)。9 .利用对数求导法求函数y = (sin x)1nx的导数。解：两边取自然对数，得ln y = In xln sin x两边对x求导，得cosxx sin xy 1,.,一 =-1n sin x 1ny xIn sin x In xcot x = (sin x)1n x i 11n sin x In xcot x i x10 .求方程xy = yx所确定的隐函数的导数 曳。 dx解：两边取自然对数，得yln x = xln y两边对x求导，得,1,

12、yyln x y = In y x dyodx整理，得 dy = y(x1ny-y) dx x(y In x - x)11 .求方程arctan = 1n xx+y2所确定的隐函数的导数 x解：两边对x求导，得1/2匕x ,1yx -y1x2 y22x 2yy2,x2 y2整理,x-y12 .求方程xey = yex所确定的隐函数的导数虫。dx解：两边对x求导，得y . y . x , x e xe y = ye yey_x整理，得曳:e _ye x y dx e -xe13 .己知函数丫=*3、，求丫(。解：因为 y= ex + xex =ex(x+1),y = ex(x +1) +ex =

13、ex(x +2), y = ex(x +2) +ex =ex(x +3),所以， y(n) = ex(x n)14 .已知 y(n/)=-x-,求ln x(n)y 。解:1 ln x x x 2 ln xIn x -12In x2八八1一 ln x -(ln x -1)2In x -、,(n) xx 2 -1nxy =；-4二ln xx ln x15 .求函数y =arcsin 和e 2, +如两个子区间。列表1由表可知：当x = e 2时，函数有极小值x-1、0, e 2 )1 e-1、e 2,十妙I)2lnx+1-0+f(x)-0+f(x)极小值1-2e11-2 = - x- 2e2424

14、 .求函数y=2x -x的极值点和极值。解：令 y= 4x -4x3 =4x(1 - x2) =4x(1 - x)(1 +x) = 0 ,解得 x = 0和 x = 1。驻点 x = 0和 x = 1把函数的定义域(-,+叫分成(-, 1), (1,0), (0,1)和(1,+笛)四个子区间。列表x(-00, -1)-1(-1,0)0(0,1)1(1, 十 七)1 +x-0+x-0+1 -x+0-f(x)+0-0+0-f(x)极大值1极小值0极大值1由表可知：当x=0时，函数有极小值 y = 0；当x = 1时，函数有极大值 y=1。25 .求函数f (x) = x-ln(1+x)的单调区间与

15、极值解：f (x) = x Tn(1 x) x (-1，二)1.一f (x) =1 由 f (x)=0 ,知x=01 xx(-1,0)0(0,0)y0+y0二f(x)的单调下降区间为(-1,0),上升区间为(0,y)f(x)的极小值f(0)=026若f(x)是可导的奇函数，试证 f(x)是偶函数。证：因f(x)是可导的奇函数，知f(_x) = _f(x),求导，有_ f (_x) = _ f(x),所以f ( x) = f (x),即f (x)是偶函数。H227 .验证Lagrange 中值te理对函数 y =ax +bx +c (a 0)所求得的点 三恒在正中间。2解：函数y =ax +bx

16、+c(a=0)在任意一个区间m,n上连续，在(m,n)内可导，因此在(m,n)内至少存在一点 E使f ( ) _ f (n) - f (m)n - m由已知条件：22f (n) - f (m)=(an bn c) (am bm c)二(n m)a(n m) bf (n) - f (m)二 a(n m) bn - mf( ) =2a b于是即28.求曲线解：2a b=a(m n) b.二圣2y=6x24x2十x4的凹凸区间和拐点y = 6x - 24x2 x4 x Ry = 6 - 48x 4x322.y =-48+12x =12(x -4)由 y =0知乂 =工2x(-00, -2)-2(-2

17、,2)2(2尸)y+0-0+yU-92n-68U所以曲线f(x )的凹区间(-2)(2,+“)所以曲线f(x )的凸区间(2,2) 拐点(2,29) -68).x .、29.求曲线y=xe 的凹凸区间和拐点解：y： =e* -xey = -e- -e- xe-所以 y = e”(x2)由于 y“ = 0x = 2x(-叫2)2(2,z)FF y-0+yn2eU所以曲线f (x )的凹区间(2,十无)所以曲线f(x )的凸区间(-,2) 拐点(2,2eN)30 .求曲线y =x4 -4x3 +2x -5的凹凸区间和拐点解： y =4x3 -12x2 12y =12x2-24x由 y* =12x(

18、x 2 )=0知：x1 =0 x2 =2x(-0,0)0(0,2)2收)y+0-0+yu-5n-17U所以曲线f(x )的凹区间(叼0)收)所以曲线f(x )的凸区间(0,2)拐点(0,5)(2-17)31 .求函数y = - x3 - x2 +4x在区间-1 , 2上的最值。 32解 y = x2 - 5x 4 = (x - 1)(x -4)令y = 0,求得区间-1, 2上的驻点x = 1。4111211一 ，一.因为f(-1)=-41, f=二f(2)=2 ,所以函数的最大值为f(1)=,最小值为 66364132.设有一根长为L的铁丝，现将其分为两段，分别构造成圆形和正方形。若记圆形的

19、面积为S1,正方形Si 二的面积为S2 ,求证：当S1 + S2最小时， =一。S24证： 设圆的半径为x,正方形的边长为y 0由已知2nx+4y = L 所以丫 =匕_*。因此42222f (x) = S1 S2 = x y - xf (x) =2ji +ji一 L42 二 Lx W16,(0xL)令f (x) =0得唯一驻点这时，S2y233.某窗户的形状为半圆置于矩形之上, 试所能通过的光线是充足的。若此窗框的周长为一定值L,试确定半圆的半径r和矩形的高h,解：设半圆的半径为 r,矩形的高为L -二r 2r 2h, L -二r -2r.h =h,则由题意，得12二一二r(L2一耽一2r)r=Lr -1二r22-2r2令 s = L nr - 4r = 0/曰L仔r