行列式计算的若干种方法讲解

1、中南民族大学毕业论文（设计）学院:数学与统计学学院专业: 统计学 年级:2008题目:行列式计算的若干方法学生姓名:曹金金 学号:08067005指导教师姓名:汪宝彬 职称:讲师2012年4月30日中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究 成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.作者签名：年 月 日摘要 1关键词 1Abstract 1Key words 11引言 22.1 排列 22.2 行列式白定义 22.2.1 二阶、

2、三阶行列式 22.2.2 n阶行列式的定义 32.2.3 几种特殊的行列式的定义 32.3 行列式的基本性质 53几种常见的行列式的计算方法 63.1 利用行列式定义直接计算 63.2 利用行列式的性质计算 63.3 三角化法 73.4 降阶法 83.5 利用范德蒙德行列式求解 103.6 数学归纳法 113.7 拆项法 123.8 析因子法 133.9 加边法（升阶法） 133.10 递推公式法 143.11 超范德蒙行列式法 153.12 利用分块计算行列式 164结论 16致谢 17参考文献 17行列式计算的若干方法摘要：在线性彳t数中，行列式的求解是非常重要的.本文首先介绍行列式的定义

3、与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列关键词：行列式；性质；计算方法Some Methods of Determinant CalculationAbstract： Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paperwe first introduce the definition and properties of determinant. Then several methodsof the calculation are given b

4、y some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1引言行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不如 此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组，二次 型有广泛应用，其中行列式的计算是个重要问题.利

5、用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题，如运用行列式分解因式，证明等式与不等式，以及在几何方面的应用，从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性线性代数在各门学科中占据着重要地位，在大多数的理工科专业都开设这个课程，是所有理工科的基础学科，而行列式在线性代数里是最为基础且最重要的一章.行列式是研究线性代数的有力手段和重要工具，主要应用在线性方程组、二次型、矩阵的计算求解中，例如求解线性方程组、 求矩阵的秩、判断向量线性相关、求矩阵的特征值等.许多实际和理论问题归结为行列式计算.因此, 行列式尤为重要，跟其他理工学科相辅相成，然而行列式的计算往往是

6、极为复杂的，求解行列式 的算法要比解线性方程组的算法要少得多，所以在实际运用中，我们要掌握各种计算行列式的方 法，寻求最优算法来计算行列式，从而解决各种实际问题行列式计算的基本思想：对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：利用行列式的性质进行行列式的初等变换，将其划为上（或下）三角形行列式，进而得到结果.利用行列式按行（列）展开定理进行降阶和递推.在典型的计算 过程中一般两种方法同时应用，先利用性质化出尽可能多的零元素，然后再利用行（列）展开定理降 阶，化为低阶行列式进行计算.本文将介绍行列式的定义以及性质，通过介绍行列式计算的基本方法一

7、一利用行列式定义直接计算、利用行列式的性质计算、三角形化法、降阶法、利用特殊行列式、数学归纳法、拆项法、析因子法、加边法、递推法、超范德蒙行列式法等.再应用实例计算行列式，理论和应用相结合，较全面的介绍行列式的几种计算方法.2行列式的定义及性质182.1 排列J定义1由n个不同自然数1，2，n组成的一个有序数组称作为n级排列，n级排列的总数为n （n -1） （n -2）川 2 1 =n!定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它 们就为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列

8、2.2 行列式的定义2.2.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如下:a11a21a22= 422 a12 a21(2-1)alla12a13a21a22a23 = alia22a33 + a12a23a31 + a13a21a32a31a32a33(2-2) a13a22a31 a12a21a33 -a11a23a32分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式.行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标.如a32表示该元素位于第 3行、第2歹U.从上面的二级行列式和三级行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一些乘积的代数 和，而且每一项乘积都是

9、由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素组成，并且所有的展开式 恰好是由所有这种可能的乘积组成.每一项乘积所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的(当排列的逆序数为偶排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数 为奇排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号)2.2.2 n阶行列式的定义a11a 21IIIa n 1a12a 22HIa n 2III HI IIIIIIa 1 na 2 nHIa nn一. (一1) .(P1P2“'Pn)a1p1a 2p2 Hlanpn n !(2-3)27其中n!表示对所有n阶排列p1 p2pn的种数进行相加，共有Pn=n

10、!项2.2.3 几种特殊的行列式的定义在行列式计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，再进行计算，因此熟悉和 掌握这些特殊行列式及其计算公式对提高计算行列式的技巧和效率是非常重要的.(1)上(下)三角行列式等于它主对角线元素的乘积.a11a12a1na11a22a2na21a 22* *= a11a22 ann；mmannan1an2a11=a11al2ann.ann(2-4)(2)对角行列式等于它的主对角线元素的乘积,a22= a11a22ann.ann(2-5)(3)副对角线下(上)边的元素全为。的行列式aiia2ia12a22ain= (1)(''aina2,n

11、/ani；(2-6)aniaina2,nla2nn n J 2-1aina2, n J HI ani.(2-7)ani an2IIIann(4) n阶范德蒙德行列式(n之2 )111aia2a32ai-a2-2a3-n 1n 1n 1aia2a3an2 an二: ai _ aji <j ：i: <n(2-8)n a n称为范德蒙德(Vandermonde)行列式，其中 口表示连乘.范德蒙德行列式的特点： 第一行全 为i;第二行的各个数各不相同； 后一行与前一行对应列的比值等于第二行对应列的元素；范德蒙德行列式为零的充要条件是ai,a2lll，an这n个数中至少有两个相同.(5)箭形

12、行列式设 a。=0, j =2,3，n ,则ai2ai3aina22000a330-9-00annaiia12a13ainai Zajiai jj 2 ajja22a33an .(2-9)若存在某个或某些对角元akk =0(k >2 )可k行进行降阶处理，箭形行列式有以下几个形式:这几个形式的都可类似方法化为三角行列式进行计算 .(6)分块上(下)三角行列式等于它的主对角线上各方阵的行列式的乘积分块上三角行列式，又称 为上块(准)三角行列式：AiA12AkA22A2k=Al| A22 一 ' Akk .(2-I0)Akkk其中对角块det Ai为n阶行列式，且 £ ni

13、=n, n为行列式的阶，特别地，当 k = 2,i 1n2 = n -1时成立:分块下三角行列式,aiiai20a22aa0an2aina2naanna22a=aii,an2a2nann又称为下块（准）三角行列式:AiAI2-AIi A221I Ak(2-II)AkiAk2（7 ） 分块对行列式等于主对角线上各方阵的行列式的乘积AiA22=Ai A221|Akk .(2-I2)Akk2.3行列式的基本性质(2-I3)性质I行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记彳DT , D| = DT性质2任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k,

14、等于用数k乘此行列式推论 两行（或两列）元素对应相同或者有一行（或列）全为零的行列式，其值为零性质4行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零性质5行变换't +"s与列变换ct +'cs行列式的值不变.性质6下列行列式成立aiiai2Main1 iJalini hiaiiai2IIIainaiia12HIainIMIII1n1n.1n11J I 1,III III III IHM III HI M%i +%ias2+as2 III %2 +asnJ 1 1+nn.nJ | 1J 1L 1 JJ fa 11 L Jasias2IIIas2asias2IIIas

15、nIIIIH 1*1 IHI 1 1J 1 IJ 11anian2IIIannanian2川annanian2山ann(2-I4)3几种常见的行列式的计算方法3.1利用行列式定义直接计算例1计算行列式0川0100m200Dn 尸：一n -1m0000川00n解：Dn中不为零的项用一般形式表示为a1na2nN Ilian±ann 二n!.该项列标排列的逆序数t (n1 n 21n)等于(n -1)(n -2),故2(n _1 n J 2 )Dn =(1) 2 n !.(3-1)(3-2)3.2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式Dn = aj的元素满足aj - -aji ,i, j

16、 =1,2,|l,n,则称Dn|为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零证明：由aj = aji知a. a.,即(3-3)aii =0,i =1,2, |l|,n故行列式Dn可表示为Dn0&2a3-&20a23I一 a13一 a230 IIHIHIIII-ain- a2n- a3n I由行列式的性质 A =|A'ain a2 n a3n IH0(3-4)0一a12一&3IHal n0a12a13IIIain为0a23IHa2 n a120a23IIIa2n013a230IH一 a3n=(-1)n一 a13a230IIIa3nIIIIIIIHIIIHIinUIH

17、IIHIIIaina2na3nIH0一 a1n-a2n一 a3 nIII0DnDn,因而得Dn=一 Dn= (-1)n Dn当n为奇数时，得3.3三角化法2运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的n n_J行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线上的情形， 行列式的值等于（-1广7一与次对角线上所有元素的乘积例3计算行列式Dalll a alll aa III x解：把每行均加至第一行,提出公因式x+（n1）a ,再把第一行的-a倍分别加到第二行至第n行,D =x+(n1)a1 W 1 alll a x| aalll=x (n -1)ax -ax-ax

18、-aIIIIII=x (n -1)a(x -a)n_1例4计算n阶行列式Dnn -1IHIHn 2n -1解：利用性质7对行列式做变换,依次将第i行乘（-1刚到第i+1行（i = n 1,n 2,，1%再将第2,3，n列全加到第1列.得IIIIIIDn =IIIIIIIIIIII按a11履开,再将n -1阶行列式的第Dn式，得-n1IIIIIIIIIIIIIII1行乘（_1 »口到其余各行后，将第1,2,，n2列全加到第n 1列,Ill 1 -n-nn山 -1-n,根据副对角线下三角为零的行列n _2-n -1 = -1233.4 降阶法就是把一个阶行列式化简为个阶行列式，然后以此类

19、推，直到把阶行列式化为若干个式来计算.特别需要注意的是，按行或列展开时一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，这 样才能有效减少运算量.（1） 一般降阶法2阶行列n阶行列式D等于它的任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和，即D =£ ajAij,i =1,2,HI,n 或|D =£ aj Aj, j = 1,2用|, n .(3-5)行列式按一行（列）展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降级法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素 尽可能多的变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列

20、式可利用拉普拉斯定理降阶计算.此法中由于n级行列式D的第i行构成的k级子式C：个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量.例5计算n阶行列式Dnxy0HI000xyHI00+h-I+f1r000xyy00HI0x分析：该行列式的元素分布规律来看,可以用直接递推降阶法，找出Dn,再依次递推出其他项，最终可求出Dn .解：根据行列式展开定理，将DnIHIHDn按第一行展开，则IIIIIIIIIIIIIHIH?0IIIIIIIIIIII将后面的行列式按第一列展开，则Dnnn=x yy -1IIIIIIn 1-1 yIIIIII(2)递推降阶法设n阶行列式 D = aj n坨，欲求其值，由于交换行列式

21、的两行(列)，行列式只改变符号,故a11 #0,现在令Nila22HIa2nlL . .a31111aln ), M =:+,N 二a32= +*IIIa3nqqJani -§2IIIann 一A = all , B - ( a|2a13递推降阶法可分为直接递推和间接递推.直接递推关键是找出一个关于Dn_1的代数式来表示Dn ,依次从D|t |D21T D31T |t , Dn,逐级递推便可以求出Dn的值.间接递推即借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于Dn和Dn的方程组，从而消去 Dn,就可以解得Dn .a +xaaIIIaa一yx0III000一yxIII00*4r*4

22、r000III一yx例6计算n阶行列式Dn解：将Dn按第n列展开可得-y x1中Dn =x Dn/十a(1)/-y xc_I_ n 1=x Dn J +ay 一，x一y整理得,Dn =x Dn+ayn,； Dn=x Dn/ +ayn/;"|D2 =x D1 +ay1.将这 n1 个式 子两边分别同乘以1, x,x2，xn/后，再相加得 Dn| = xn口| + ayn+ ay© x+“| + ayxn/而D1 = a + x 则Dn , n nA, n _2n _2 , nkn=x+a(x +x y+|l + xy + y )这道例题也可以直接用一般的降阶法直接展开，一般降

23、阶法和递推降阶法之间是没有很明确 的界定，往往在计算行列式中，是两种方法融汇结合的如果一个行列式的元素分布上比较有规律，则可以设法找出n阶行列式|Dn与低级行列式的关系依次类推，将行列式按行 (列)展开，达到降阶的目的，最后将低阶行列式计算即可3.5利用范德蒙德行列式求解412例7计算行列式1x11x12 x11x2 1x2x2IIIIIIIII1xn 1x2 xxnxnn 1 n _2x1x1n 1 n -2x2x2IIIn 1 n -2xn xn解：把第1行的1倍加到第2行,把新的第2行的一1倍加到第3行，以此类推直到把新的第 n一 1行的一1倍加到第n行,便得范德蒙行列式X2x1IIII

24、IIIIIxn2xn二:(xi -xj)1 ：j U _nn工x2IIIn 1 xn例8计算n+1阶行列式DI =nana2nan +an也na2IIIan.%2a1n-b2 III dbin a2-b22 Hl a2b； IH III HIan 1 bn 1 川 an 1bn 1b： bn III bn中解：从第i行提取公因子nai (i=1,2,，n+1)就可以得到转置 n+1阶范德蒙行列式HIb1bHIn -1b 1b1na 12a 1n 1a 1na 1b 2b 2HIn -1b 2b 2na 22a 2n 1a 2 一na 2HIIHtilMlIMb n .1b n .11 k jn

25、 -1 b n+b nn .1a n -12a n -1! 1 In-1a n -1na n -1j%求解得d =nnai3.6数学归纳法14般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律,得到一般性结论，然后再利用数学归纳法证明结论的正确性.行列式Dn的特点是主对角线上元素含有三角函数，并且几近相同，沿主对角线两侧的元素全是1.例9计算Dn nOtpa + PIIIIIIIIIot分析：a-2不D2Dn所以考虑用数学归纳法证明原行列式的值等于猜想值 证明：当n=1时命题成立.假设n E k -1时命题成立.当n=k时，将Dk按第一列展开Dk+ BaPIII00a + PaPHI001a +

26、 PIH001a + PHI00a-r1-卜-OtP卜+-100IIIa + PaP00HI0( + POtp00IH1ct + P00HI1a +a=(a +P-o(P D= (ot + P )-aPk 1- k 1 k 1- k .1Of - - P - Ct -Pa -P,证明猜想值成立.当n = k时命题成立，对 /n w N有：Dn253.7拆项法就是利用行列式的性质,将行列式拆成若干个较容易计算的行列式，再分别计算xmmIHmm-mxmIHmm-m-mxIHmm*R1.*,4*4-m-m-mIH-mx的特点是主对角线的元素全部是例10行列式Dnx,上三角与卜三角的元素分别是x-m-

27、mm m | H m1m III mm m m+x-m-mmx-mm m xIIIHIHImmmmmmm 1HIm -,I1:4*+*000III0 x-mm一 m一 mIII-mmxmmIHm1-mxmIHm1m)|Dn+m-m-mxIIIm1-m-m-mIH4一 m1x + m2 m2 m(112 m0m和-m，二者互为相反数.此类行列式常用拆分法来计算Dn=(x(x - m ) D nIIIIHIH(x - m ) D n1Dn "az")n (x -m)n根据行列式的性质，行列式的行列互换时行列式的值不变，得Dn =(x +m) Dn-m(x - m)nJ(3-6)

28、(3-7)由式子(3-6), (3-7)消去 Dn i，得Dn1nn= 2(x m) (xe3.8析因子法410所谓析因子法，就是当行列式Dl=0时，求得方程的根，从而将行列式转化为其因子和积这样会大大减少计算量.该方法适用于主对角线上含X多项式的题型例11计算行列式1112-xD =2323解：由行列式的定义知D为x的4次多项式.当乂 = ±1时，1、2行相同，有D =0,二x=±1是D的根.当x = =2时，1、2行相同，有D =0,二x = =2是D的根.故D有四个一次因式，x+1,x1,x+2,x2.设 D =a(x 1)(x -1)(x 2)(x -2)令x=0则

29、d =1122123322113359=-12，即 a 1 (1) 2 (2) =72.a 3.: D = -3(x+1)(x1)(x+2)(x2)243.9加边法（升阶法）m行m列）得到一个新的加边升阶法是将所要计算的 n阶行列式适当地添加一行一列（或n+1（ n + m）阶行列式较易计n+1 （或n+m）阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的 算，加边法的一般做法是：a11a21*+an1IIIIHIIIann100+*0IIIanIIIa1nIHa2nIIIanna1 an a21 ran1a11a21*+an1IIIIIIIH10IH0a1nb1a11IHa1na2n=b2a21IH

30、a2n*i*iiannbnan1IHann(3-8)二1例12计算行列式解：D1 + a 111 - aD 二1111111 b11111 一 b1 a 1111 -a 1111 b1111111101 + a111011 -a110111 + b10111 1b1111 -b11111-1a000-10-a00-100b0-1000-ba2b3.10递推公式法310特殊情况取 a = a2 = |M = an =1 或bi =b2 = | =bn递推公式法就是先将行列式表示两个（或几个）低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出 的值该方法适用于行（列）

31、中0较多的或主对角线解：Dn =9 Dn4-40HI=9Dn_1-20D»5上、下方元素相同的题型.94例13计算行列式Dn|=0+*050HI095490工工95III04950 III III495 IH +' ，fq 4FHI HI HI 4该二阶齐次线性递归式的特征方程为 x2=9x20,其根为4、5,既有Dn -5 Dnl|=4(|Dnl|-5 6 N )，于是有Dn-5Dn.二42(DnN 5 Dn q)= | =4 " 二(D2-5 Di ) =4n?(61-45) =4"同理有 Dn|_4Dn,=52( Dn/ _ 4 D0)=11 |=5

32、n 立(D2 _4Di) = 5n/(61_36) = 5n 所以，Dn 5 Dn=4n , Dn -4 Dn=5n .联立两式的Dn=5n+4n盘3.11超范德蒙行列式法39超范德蒙行列式法就是考察n+ 1阶范德蒙行列式f (x),利用行列式Dn与f (x)某元素余子式的关系计算行列式的方法.该方法适用于Dn具有范德蒙行列式形式的题型例14计算行列式(超范德蒙德行列式11III1X1X2IIIXn) Dn2X12X2III2 xn!inNX1n _X22川n_2 XnnX1nX2IIIn xn解：考察n+1阶范德蒙德行列式11III1X1x2IIIXnX12xfIIIX2f(x) = ，.+

33、1.一1X2X=(X -x1)(xX2)IH(X - Xn) |1 (Xi - Xj).1£j与由n 1 n 1 n 1X1 X2 Xnn nnX1X2III Xn显然Dn就是行列式f(x)中元素的余子式Mn,n书.即Dn =Mn,n书=一 An,n «( An,n +为代数余子式)又由f(x)的表达式(及根与系数的表达式)知，f(x)中Xn”的系数为-(X1+X>HH +xn) KI (XiXj).1<jq-in即An,n+ =(X1+X2+川+Xn)口(XiXj).Dn,nd=(X1+X2+| +Xn)口(为一Xj).1 <j 1 in1<jiJ

34、iin3.12利用分块计算行列式11分块矩阵是行列式计算中的一个重要方法，这个计算方法就是通过分块矩阵的行（列）的初 等变换将它化成准三角行列式，从而可以将它化成较低阶行列式的乘积，再根据分块矩阵的公式 进行计算求出彳T列式的值.例15计算5阶行列式D5a2a3a4a5b2b3b4b5C2000d2000e2000bi=c1d18d1 d2Ge2解：先对行列式中的行列转换得D5=(-1 Ma a2bi b2C1 C2：000：000-a a3a4a5:b3b4bs：000，一、，、，rd1由公式（2-10）式，得D5 =e1d2%a3 b3 0ada5b4b5 =0 .004结论行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类型特点，恰当 运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解选择行列式