第十一章泰勒傅立叶级数

1、第三节 泰勒级数一、 泰勒级数前面我们研究了幂级数的敛散性，知道它在其收敛域上可表示为它的和函数，但在理论研究以及近似计算中，我们往往考虑相反的问题能否把函数表示成幂级数.例如计算，在前面第*章曾介绍过该积分是“求不出”的，但在本节中我们将会知道能表示成幂级数，利用这一结果可以得出，从而能计算出该积分的近似值.假设函数在某一点附近可以表示为幂级数：, (1)那么如何确定它的各项系数.首先在（1）式中令，可得；假设函数在附近存在任意阶导数，反复利用幂级数可逐项求导的性质，得，在上述等式中令，可得，.我们称级数为在点（或关于的，或在点附近的）的泰勒级数.特别的时的泰勒级数比较常用，被称为在点的麦克

2、劳林级数即.二、 函数的泰勒级数展开由上述可知如果函数关于点的幂级数表示存在，则等于它的泰勒级数的和，即.但什么情况下函数关于点的幂级数存在呢？我们有定理如下：定理1：设函数点的某邻域内有任意阶导数，则在此邻域内的泰勒级数收敛于的充要条件是当时的泰勒级数的余项极限为，其中.下面具体介绍函数展开成幂级数的步骤.直接展开法：步骤：1）写出的泰勒级数；2）求出收敛半径； 3）考察在收敛域内.我们利用直接展开法把下面几种基本初等函数展开成麦克劳林级数，其中第3步考察在收敛域内，均可以利用泰勒级数的拉格朗日型余项证得是有的，我们将这一过程略去.关于的泰勒级数的拉格朗日型余项：对函数连续使用次柯西中值定理

3、可以得到其中介于之间，该余项被称为拉格朗日型余项.例1求函数在处的幂级数展开式.解由，得，于是函数在处的泰勒级数为，容易求得该级数收敛半径,于是.从以上图像中我们可以观察到函数随着无限逼近指数函数.例2将函数展开成的幂级数.解，可见的各阶导数按此依次循环，则依次取值为0，1，0，-1，,于是函数的麦克劳林级数为，容易求得该级数收敛半径,于是.例3 将函数展开成麦克劳林级数.解依次取值为,于是函数的麦克劳林级数为，容易求得该级数收敛半径,于是 (4)在端点处，上式是否成立，要看的数值而定.公式（4）称为牛顿二项展开式，特别的，当取正整数时，级数成为的次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.另外，

4、当=-1时，即可得到下面熟悉的等比级数的求和公式. (5)间接展开法：对于一般的函数来说直接展开法计算量大，而且对余项考察也比较困难，因此我们更多利用由已知函数的幂级数通过幂级数的性质以及变量代换等方法来求其幂级数展开式，这种方法称为间接展开法.例4将函数展开成麦克劳林级数.解令，则，由例1可知，所以.例5将函数展开成的幂级数.解令，则，由(5)式可知，所以.例6 将函数展开成的的幂级数.解，由例2可知，对上面的展开式逐项求导得.例7将函数展开成的的幂级数.解，由（5）式所以注意上式右端在点处是收敛的.例8将函数展开成的幂级数.例9函数展开成的幂级数.常用的麦克劳林公式：，.三、泰勒级数的应用

5、举例：（一）、近似计算例1求近似值例2计算，精确到.（二）、求微分方程的幂级数解求解微分方程是非常复杂的，我们能解的只是一些孤立、零碎、极特殊的类型，很多时候我们就利用幂级数解微分方程和进行近似计算，这是很实用的方法，有很好的实用意义和价值.例3 求微分方程的通解.解 设，则，代入原方程得 ，于是各项系数均为0，得 .令，得通解为.（三）、求隐函数的表达式例4 方程在（0，0）附近确定一隐函数，求它在原点附近的表达式.解 设，对原方程两端求一阶导数得，令可得：，对上式继续求导：，将代人上式得，以此类推可得等等所以.三、 求不定式的极限（建议删去）例 四、 证明不等式（建议删去） 例 第四节 傅

6、立叶级数一、傅立叶级数正如我们看到的那样，泰勒级数是在某一点领域内以多项式来逼近某一函数，但这种逼近是逐点逼近，往往是局部的.而现实中有诸多现象常常需要用到周期函数，如心脏跳动、弹簧震动、交流电压、光波、声波等等，这就要求能找到一种整体意义上的逼近.傅立叶级数很好地解决了这一问题.物理中最简单的周期现象是简谐波.（要解释吗）事实证明许多非正弦周期波都可以用一系列简谐波叠加.由正弦、余弦函数叠加而成的无穷级数叫三角级数.假设一个以为周期的函数，有如下三角级数展开， （1）那么如何确定它的各项系数呢？我们假定在上可积,于是对（1）式两端同时从积分有， （2）然后我们在（1）式两端同乘以，再两端同时

7、从积分得（3）在（2）（3）式中注意到：于是可以求得，. 同理在（1）式两端同乘以，再两端同时从积分可求得称以上所确定的系数为函数的傅立叶系数.称系数为的傅立叶系数的三角级数为函数的傅立叶级数.特别的当时，是以为周期的函数，它的傅立叶系数为二、函数的傅立叶级数展开现在还剩下一个问题，就是什么情况下的傅立叶级数收敛于？下面我们给出傅立叶级数收敛的一个充分条件：狄利克雷定理：设函数以为周期，如果它在一个周期上连续或只有有限个第一类的间断点，并且分段单调，那么的傅立叶级数在上处处收敛，并且它的收敛和为例1设是以为周期的周期函数，它在区间上的表达式为（1）求的傅立叶级数，（2）把展开成傅立叶级数.解

8、例2把函数展开成傅立叶级数.解这里函数仅定义在上，并不是周期函数，但我们可以在上定义一个以为周期的函数，它在上的表达式为，这种拓广定义域的方法称为周期延拓.如下图.（电学上称为锯齿波） O的傅立叶系数为：由在上连续性，可得.利用这个展开式，可以导出几个特殊数项级数的和，由初值，可以得出令因为，所以，于是（同学们自己试着得出与的值）.例3 把函数展开成傅立叶级数.（物理学上称为方波）解 .（删去了奇延拓和偶延拓的概念）三、应用实例例 交流电压，经半波整流，削去负压，求它的傅立叶级数。第五节 傅立叶变换一、欧拉公式我们知道，实际上当这里的取为复数也是成立的.即.上式中当为纯虚数的时候，有于是有欧拉

9、公式二、傅立叶级数的复数形式利用欧拉公式可得记即以上所有系数可表示为一个表达式，于是我们可以得到形式上更为简洁的傅立叶级数的复数形式：.三、傅立叶变换若将傅立叶级数这个“离散”的无限次求和，化为连续的无限次求和，这就成为了应用更广泛的傅立叶积分。若在上可以展成傅立叶级数，其中，（1）令，当时，记作，于是（1）式可化为上式右端的和式刚好可以看作对的定积分，是定积分里的无穷小区间，看作数轴上的分点，被积函数就是，所以或.上式称为的傅立叶积分公式.其中令，称是的傅立叶变换.用同样的公式对变换，得到关于的函数，这与的傅立叶积分公式有相似性，于是称是逆傅立叶变换.傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定