Minitab区间估计和假设检验

1、区间估计和假设检验 利用样本的信息对总体的特征进行统计推断。通常包括两方面：一类是进行估计，包括参数估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等； 另一类是进行检验。主要介绍利用Minitab对正态总体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对观测数据的正态性进行检验，最后介绍一些常用的非参数检验方法 Minitab 假设检验是从样本特征出发去判断关于总体分布的某种“看法”是否成立。 一般步骤为 :（1）根据问题提出一个原假设H0和备择假设H1（2）构造一个统计量T，其抽样分布不依赖任何参数（3）计算概率值 （4）判断：若 ，则拒绝原假设H0，否则接受H1。p)| ),.,(021HxxxTTPp

2、n超过统计量Minitab 单正态总体的参数的假设检验条件 10: HH 检验统计量 拒绝 H0 00: ),.,(21nxxxUUPp 00: |),.,(|21nxxxUUPp 2已知 00: nXU0 ),.,(21nxxxUUPp 00: ),.,(211nnxxxttPp 00: |),.,(|211nnxxxttPp 2未知 00: nsXt0 ),.,(211nnxxxttPp Minitab 单正态总体的参数的假设检验条件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 022022: ),.,(21212nnxxxPp 022022: 221212221212),.,(),.,(

3、nnnnxxxPpxxxPp或 未知 022022: 0222) 1(sn ),.,(21212nnxxxPp Minitab 两正态总体的参数的假设检验条 件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 2121: ),.,;,.,(2111nnyyxxUUPp 2121: |),.,;,.,(| |2111nnyyxxUUPp 12 22 已 知 2121: 222112nnYXU ),.,;,.,(2111nnyyxxUUPp Minitab 两正态总体的参数的假设检验条件 10:HH 检验统计量 拒绝H0 2121: ),.,;,.,(2121112nnnnyyxxttPp 2121:

4、 |),.,;,.,(| |2121112nnnnyyxxttPp 1222 未知但 相等 2121: 2111nnSYXtw ),.,;,.,(2121112nnnnyyxxttPp Minitab其中2) 1() 1(212221nnsnsnSyxw，) 1() 1()(222212122212nnsnnsnsnslyxyx 两正态总体的参数的假设检验条 件 10:HH 检 验 统 计 量 拒 绝H0 2121: ),.,;,.,(2111*nnlyyxxttPp 2121: |),.,;,.,(| |2111*nnlyyxxttPp 1222 未知且 不 相 等 2121: 2212*n

5、snsYXtyx ),.,;,.,(2111*nnlyyxxttPp Minitab 两正态总体的参数的假设检验条件 10: HH 检验统计量 拒绝 H0 22122212: ),.,;,.,(2121111, 1nnnnyyxxFFPp 22122212: 2111, 1),.,;,.,(2121nnnnyyxxFFPp或 2111, 1),.,;,.,(2121nnnnyyxxFFPp 1 2 未知 22122212: yxssF22 ),.,;,.,(2121111, 1nnnnyyxxFFPp MinitabnuX/2nuX/22nstXn/)(21nstXn/)(2122)()(22

6、12nniiX)1 ()(2212nniiX)()1(2122nsn)1 ()1(2122nsn 待估参数置信下限置信上限备注单个子样已知未知已知未知Minitab 参数的置信区间 212221122)(nnuXY2221122)(nnuXY2212,212121222122/ ) 2()() 1()()(21nnnnnnsnsntXYyxnn212121222122/ ) 2()() 1()()(21nnnnnnsnsntXYyxnn2212,2212)(21, 12221 nnyxFss)1 (21, 12221 nnyxFss2212, 待估参数置信下限置信上限 备注两个子样 已知 未知

7、 未知Minitab- 显著性水平 : 犯第一种错误的最大概率 - P-Value : 观察值大于计算值的概率 - 拒绝域 : 驳回原假设的区域 - 两侧检验 : 拒绝域存在于两端的检验- 单侧检验 : 拒绝域存在于分布一端时的检验 MinitabMinitab Minitab 的假设检验的假设检验知道标准偏差时的总体平均数估计和检验 检验总体均值是否与已知的相等Variables : 选定要分析的 列变量Confidence interval :指定计算置信度Test mean : 检验对象值(检验时指定)Alternative : 设定备择假设Sigma : 输入标准偏差p 值比显著性水平

8、小时驳回原假设mu : 原假设, mu not : 对立（备择）假设结果解释结果解释 : p值比留意水准小 故驳回归属假设, 即母平均不等于5。Test mean 指定的情况Minitab1-Sample Z1-Sample ZEXH_STAT.MTWOne-Sample Z: ValuesTest of mu = 5 vs mu not = 5The assumed sigma = 0.2Variable N Mean StDev SE MeanValues 9 4.7889 0.2472 0.0667Variable 95.0% CI Z PValues ( 4.6582, 4.9196)

9、 -3.17 0.002结果解释结果解释 : 置信区间为最小 4.6582, 最大4.9196(置信度为 95%时) 图像对 Test 与 Confidence interval 的输出 Test Minitab1-Sample Z1-Sample Z 营养学家选择随机的 13 瓶食用油样本，以确定饱和脂肪的平均百分比是否不同于宣传的 15%。以前的研究表明，总体标准差为 2.6% 数据： 食用油.MTW Minitab不知标准偏差时总体均值的估计和检验Variables : 指定要分析的 列变量 Confidence interval : 指定计算置信区间的置信度Test mean :指定检

10、验时对象值 Alternative : 设定对立假设StDev : 标准偏差SE Mean : 平均误差CI : 信赖区间mu : 原假设, mu not : 对立假设P值比显著性水平小时驳回Ho，即p值指脱离的概率。结果解释结果解释 : p值小于5%， 故驳回原假设, 即平均不等于5Test mean 指定的情况指定的情况Minitab1-Sample t1-Sample tEXH_STAT.MTW 对随机选择的 15 个美国高收入家庭的能量消费进行了度量，以确定平均消费是否不同于发布值 $1080。 数据： 能源.MTW Minitab不知标准偏差时两个总体平均差的估计和检验Samples

11、 in one column(stack形态) : 在1列中比较两个 样本Sample in different columns(unstack形态) - First :选择第一个 Col - Second : 选择第二个 Col Alternative : 设定对立假设Confidence level :设定置信度Assume equal variance :假设两个样本的总体方差一致结果解释结果解释 : p值大于 5% ， 故选择原假设， 即两个总体平均在95% 置信区间无差异Minitab2-Sample t2-Sample tTwo-Sample T-Test and CI: BTU.

12、In, DamperTwo-sample T for BTU.InDamper N Mean StDev SE Mean1 40 9.91 3.02 0.482 50 10.14 2.77 0.39Difference = mu (1) - mu (2)Estimate for difference: -0.23595% CI for difference: (-1.464, 0.993)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0.38 P-Value = 0.704 DF = 80Furnace.mtw 一个健康管理机构具有两个医院以前

13、的患者的满意度样本，并想知道是否对一个医院的评价高于另一个医院。该信息将用于查阅患者并为医院改进提供建议。这两个样本的方差非常接近，因此将对该检验使用合并标准差。 数据： 医院满意度.MTW Minitab非独立的两个总体的平均差的估计和检验（两个相关的样本是否来自具有相同均值的总体，即配对T检验）。 First sampleFirst sample : 选择第一个 data Col Second sampleSecond sample : 选择第二个 data Col - 1 Col 与 2 Col 的资料数应相同Confidence levelConfidence level : 输入置信

14、度Test meanTest mean : 输入对应差的检验平均值AlternativeAlternative : 设定对立假设结果解释结果解释 : : p值小于显著水平 5%， 故驳回原 假设,即两个总体平均值间有差异EXH_STAT.MTWMinitabPaired tPaired t 一位生理学家想确定某种类型的赛跑计划是否对稳定心率有影响。对随机选择的 15 个人测量了心率。然后对其实施该赛跑计划，并在一年后再次测量心率。因此，对每个人前后进行的两次测量构成一个观测值对。 数据： 赛跑.MTW Minitab非正非正态总态总体或近似正体或近似正态总态总体体参数参数假假设检验设检验 单单

15、比率比率检验检验：似然比检验（基于二项分布）、正态近似检验 双双比率比率检验检验：Fisher检验（基于超几何分布）、正态近似检验（合并参数或不合并参数检验统计量） 单单PoissonPoisson率率检验检验：似然比检验（基于Poisson分布）、正态近似检验 双双PoissonPoisson率率检验检验：基于二项分布的检验、正态近似检验（合并参数或不合并参数）Minitab总体（失败）比例的估计和检验Samples in columns :只限两种文字或者数字Summarized data - Number of trials : 全体试验次数 - Number of successes

16、: 成功(失败)次数Confidence level : 置信度Test proportion : 检定失败率Alternative :设定对立假设结果解释结果解释: :p值比显著水平 5%小， 故驳回原假设Minitab1-Proportion(1-Proportion(单样本总体比例的估计和检验单样本总体比例的估计和检验) )可选用正态近似分布检验 直接邮件公司想确定邮寄的广告是否使响应率与国家平均值 6.5% 不同。随机选择 1000 个家庭的样本，来接收此新产品的广告。在抽样的 1000 个家庭中，87 个家庭采购了该产品。研究人员决定使用基于正态分布的检验和区间。 Minitab两个

17、总体比例差异的估计和检验Summarized data - Number of trials : 全体试验次数 - Number of successes : 成功(失败)次数Confidence level : 置信度Test proportion : 检验失败比例Alternative : 设定对立假设结果解释结果解释: :p值比显著水平5%大，故选 择原假设，即两个总体失败比例无差异Minitab2-Proportion(2-Proportion(两个样本总体比例的估计检验两个样本总体比例的估计检验) )可选用合并参数检验 大学的财政援助办公室对其大学生进行调查，确定男生还是女生更可能获

18、得暑假职业。在抽样的 802 名男生中，725 人在暑假被雇佣，而抽样的 712 名女生中有 573 人被雇佣。Minitab单样本单样本 Poisson Poisson 率率 Poisson 过程描述某一事件在给定时间、面积、量或其他观测值空间内的出现次数。 例如，汽车制造商取 50 辆车作为样本，并对每个车盖上的擦痕进行计数；客户服务中心每天接听的电话数；10 米长导线的缺陷数 单样本 Poisson 率过程将计算置信区间，并对单样本 Poisson 模型中的出现率进行假设检验。Minitab单样本单样本PoissonPoisson率检验率检验 在过去的 30 天内，城市公共运输公司计算了

19、客户投诉数目。该公司想确定每日投诉率的置信区间。 数据： 故障.MTW Minitab双样本双样本 Poisson Poisson 率率 双样本 Poisson 率过程执行假设检验，并计算两个 Poisson 模型的出现率之间差值的置信区间。Minitab双样本双样本PoissonPoisson率率 您是邮政服务的分析员，您要对两个邮局分支机构进行比较，以确定哪个机构的客户每日到访率更高。您对 40 个工作日内 (9:00 a.m.5:00 p.m.) 进入每个分支机构的客户数进行计数，并使用双样本 Poisson 率函数比较每个分支机构的客户到访数。 数据： 邮局.MTW Minitab单方

20、差单方差 “单方差”命令分析来自总体的单个样本，并为该总体的标准差和方差计算置信区间。它还以可选的假设检验为特征，来确定未知的总体标准差或方差是否等于用户指定的值。例如，此检验在确定方差是否不同于行业标准时很有用。 方法：卡方方法仅适用于正态分布。 Bonett 方法适用于任何连续分布。 Minitab 木材厂的经理要分析锯木机的性能。设计了一台锯木机，以生产刚好为 100 cm 长的梁。经理决定要分析这些长度的方差，以便更好地了解该设备的精度。经理取 50 个梁作为样本，以厘米为单位测量其长度，并使用单方差检验分析此单个总体的方差。 数据： 锯木机.MTW Minitab双方差置信区间和检验

21、双方差置信区间和检验 双方差置信区间和检验过程用于根据两个独立的随机样本中的数据对两个总体比率之间的标准差和方差的相等性进行推断。 Minitab 计算两个总体方差和标准差之间比率的假设检验和置信区间；如果比率为 1，则表明两个总体相等。 包括方差分析在内的许多统计过程都假定不同总体具有相同的方差 。使用双方差可以确定相等方差的假设是否有效。MinitabMinitab2Variances(2Variances(两个总体方差的同一性检验两个总体方差的同一性检验) )EXH_STAT.MTW两个总体的方差的同一性（之比）检验234595% Confidence Intervals for Sig

22、masMat-BMat-A6789101112131415Boxplots of Raw DataF-TestTest Statistic: 0.947P-Value : 0.937Levenes TestTest Statistic: 0.011P-Value : 0.917Factor LevelsMat-AMat-BTest for Equal Variances在做方差的同一性检验之前 ， 有必要先做正态性数据检验。随正态分布时F-Test 结果, 不随正态分布时看Levenes Test 结果再解释 结果解释结果解释: :p值比显著水平 5%大, 故不能 判断两个总体的方差不同。 （

23、 相同 ） 最近的研究对在两种道路上驾驶的司机进行了比较。每位司机在两种道路的其中一种上驾驶：一级公路 (1) 和土路 (2)。作为对驾驶性能的测量，测试人员记录了每位司机在每种道路上所作的控制校正次数。您要测试司机的表现在两种道路情况下是否均匀变化。 数据： 公路.MTW （在样本数据文件夹中）Minitab相关系数相关系数 Pearson 相关系数度量两个连续 变量线性相关 的程度。 假设您有糖果的样本，并且要了解生产设施的温度是否与巧克力涂层的厚度变化有关。或者，您可能有一个高尔夫球的样本，并且要确定其直径差别是否与弹性差别有关。 执行或解释相关分析时，需要记住以下几点： 相关系数只度量

24、线性关系。即使相关系数为 0，也会存在有意义的非线性关系。 但根据相关性，不适合推断出以下结论：一个变量的变化会引起另一个变量的变化。只有正确控制的实验才能确定关系是否存在因果性。 相关系数对极值非常敏感。数据集中与其他值截然不同的单个值会极大地改变该系数值。Minitab 铝铸件工厂需要评估含氢量与铝合金铸件的多孔性之间的关系。他们收集铸件的随机样本，并测量每个铸件的以下属性： 氢含量 多孔性 强度 数据： 铝.MTW Minitab协方差协方差 与相关系数 相似，协方差是对两个连续 变量之间的线性关系 的度量。但不同于关系系数的是，表示协方差的单位随分析的数据而有所不同。因此，很难使用协方

25、差统计量来评估线性关系的强度。如果这是您的目标，则应改用相关系数。 协方差用在某些统计计算中，并且在确定线性关系的方向时很有用： 如果两个变量都倾向于同时增加或减小，则系数为正。 如果一个变量在另一个变量减小时倾向于增加，则系数为负。Minitab 在协方差的对角元素上可以找到两个变量之间的协方差矩阵。对角元素是各变量的方差 。 要注意协方差不隐含因果关系，这一点很重要。只有正确控制的实验才能确定关系是否存在因果性。Minitab 铝铸件工厂需要评估含氢量与铝合金铸件的多孔性之间的关系。他们收集铸件的随机样本，并测量每个铸件的以下属性： 氢含量 多孔性 强度 数据： 铝.MTW Minitab

26、正态性检验正态性检验 目前，正态性检验的方法很多，这里主要介绍常用的分布拟合优度检验，W检验和偏度峰度检验，Q-Q图检验等方法。 Minitab 提供三种可供选择的正态性检验： Anderson-Darling - 此检验具有极好的功效 ，并且在分布的高值和低值中检测对正态性的偏离时特别有效。 Ryan-Joiner（与 Shapiro-Wilk 类似） - 此检验具有极好的功效。它基于样本数据与期望从正态分布中获得数据之间的相关 。 Kolmogorov-Smirnov - 这是常见的正态性检验，但功效比其他两种检验要低。 每个检验的结果都带有正态概率图，这有助于确定数据是否服从正态分布。M

27、initabKolmogorov-Smimov 统计量 MinitabAnderson-Darling统计量)()(1)()()(122xdFxFxFxFxFnAnAnderson-Darling统计量：MinitabCramer-von Mises统计量：)()()(22xdFxFxFnWnCramer-von Mises统计量：Minitab Q-Q图检验法图检验法Minitab偏峰检验法 正态性检验 Minitab 营养学家选择随机的 13 瓶食用油样本，以确定饱和脂肪的平均百分比是否不同于宣传的 15%。以前的研究表明，总体标准差为 2.6%。 使用单样本 Z 检验似乎很合适，但正态性

28、假设需要进行验证。营养学家选择 a 水平 0.10 进行检验。 数据： 脂肪.MTW （在样本数据文件夹中）MinitabPoisson Poisson 的拟合优度检验的拟合优度检验 使用 Poisson 的拟合优度检验来检验数据是否服从 Poisson 分布。 该检验确定观测值与数据服从 Poisson 分布时的期望值之间的接近程度。 所用的是卡方检验统计量Minitab 质量工程师想确定每台电视机的缺陷是否服从 Poisson 分布。工程师随机选择了 300 台电视机，并记录了每台电视机的缺陷数。 数据： 电视机.MTW （在样本数据文件夹中）Minitab Minitab 通过列表列出计算卡方值所需的信息：