经典力学课件：第6章振动

1、力力 学学第六章第六章 振动振动n 机械振动机械振动物体（系统）在平衡位置附近作往复运动物体（系统）在平衡位置附近作往复运动其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动. .n 振动振动对于平衡系统的某种周期性的偏离对于平衡系统的某种周期性的偏离n 狭义定义狭义定义某种具有时间周期性的运动称为振动某种具有时间周期性的运动称为振动例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等中原子的振动等. .u 周期和非周期振动周期和非周期振动u 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .简谐运动简谐运动复杂振动

2、复杂振动合成合成分解分解u 谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体. .6.1 简谐振动1.1. 简谐振动的几个例子简谐振动的几个例子例例6.1 6.1 弹簧振子的运动弹簧振子的运动受力受力fkx 势能势能212U xkx()即有即有22d xmfkxdt 0kxxm令令km 则则0 xx 解得解得0cos()xAt0sin()vxAt 20cos()axAt A A、 是待定常数，由初始条件而定是待定常数，由初始条件而定初始条件初始条件0000|,|ttxxvv 221000020vvAxtgx 可得可得例例6.1 6.1 弹簧振子的弹簧振子的运动（续）运动（续）例例6.1 6.1

3、弹簧振子的弹簧振子的运动（续）运动（续）n是是圆频率（或角频率）圆频率（或角频率）n0 0称为称为固有圆频率（本征圆频率）固有圆频率（本征圆频率），它仅与弹簧本身性它仅与弹簧本身性质有关。质有关。nA为为振幅振幅，0为为初相位初相位，由初始条件决定。，由初始条件决定。0km n弹簧振子的振动图示弹簧振子的振动图示n弹簧振子的振动图示弹簧振子的振动图示Fkxmx 222d xxdt 2km 令令sin()dxvAtdt 222cos()d xaAtdt 积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定cos()xAt 例例6.2 6.2 单摆单摆2sinMmglml 对对O O点，仅有重力矩

4、点，仅有重力矩单摆运动并非严格意义的简谐运动sin0gl 整理得到整理得到将将sin展开展开357111sin3!5!7! 若若很小，可取一级近似很小，可取一级近似 sin0cos()t0gl 可解得可解得则方程变为则方程变为例例6.2 6.2 单摆（续）单摆（续）n其中，其中， 它与单摆系统本身的属性有关，与运动状态无关。它与单摆系统本身的属性有关，与运动状态无关。0gl 例例6.2 6.2 单摆（续）单摆（续）nA为振幅，为振幅，0 为初相位，由初始条件决定。为初相位，由初始条件决定。例例6.3 6.3 复摆复摆sinccMmgrmgr 对对O O点，仅有重力矩点，仅有重力矩00cMIIm

5、gr 00cgImr 00cImr g 即即2200cccIm kkrm rm rr令令例例6.3 6.3 复摆（续）复摆（续）方程为方程为00 则有则有00gr 又令又令00gr 可解得可解得00cos()At r r0 0 称为等值摆长称为等值摆长2.2. 简谐振动表达式简谐振动表达式n当物体的和外力（力矩）正比于当物体的和外力（力矩）正比于变量变量x x的的负值负值，F Fx x，则有则有简谐振动方程的形式简谐振动方程的形式20 xx 0( )cos()x tAtn简谐振动的运动数学表达式为简谐振动的运动数学表达式为 振幅振幅A AA A表示振动的强弱，由初始条件确定；表示振动的强弱，由

6、初始条件确定；n简谐振动表达式简谐振动表达式m axA x 周期周期 T T和圆（角）频率和圆（角）频率 圆频率圆频率，单位是弧度，单位是弧度/ /秒秒固有圆频率固有圆频率0 0（也称本征圆频率也称本征圆频率），仅与力学系统属性有），仅与力学系统属性有关，与运动状态无关关，与运动状态无关p简谐振动的几个特征参量简谐振动的几个特征参量n简谐振动表达式简谐振动表达式 周期周期 T T 和频率和频率 圆频率圆频率。单位是弧度单位是弧度/秒秒固有圆频率固有圆频率0 0。仅与力学系统属性有关，与运动状态无关仅与力学系统属性有关，与运动状态无关频率频率 / 2，单位：单位： 次次/ 秒（秒（Hz）周期周期

7、 T1/ = 2/ , 单位秒单位秒 相位相位 tt + + 0 00 为初相位，又初始条件确定。为初相位，又初始条件确定。n简谐振动表达式简谐振动表达式cos()xAt p振幅振幅m axA xp周期、频率周期、频率2 mTk注意：弹簧振子周期注意：弹簧振子周期2T 周期周期12 T 频率频率2 2 T 圆频率圆频率cos ()AtT 周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关统本身的物理性质有关I.I. 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;0( , )tx v II.II.相位在相位在0202内变化，质点无相同的运动状态；相差内变化，质点无相同的运动状态；相差 2N

8、2N（N N为整数）为整数） 质点运动状态全同（周期性）质点运动状态全同（周期性）; ; 相位相位0t III.III.初相位初相位 描述质点初始时刻的运动状态；描述质点初始时刻的运动状态； 0(0)t IV.IV.0 0 取值范围：取值范围：- 或或 0 0 2 2 相位相位 tt + + 0 0tx图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooT TT Tcos()xAt 0 图像中图像中2T sin()cos()2 vAtAt 22 cos()cos()aAtAt n简谐振动的位移，速度和加速度的相位关系简谐振动的位移，速度和加速度的相位关系22002vAx 000tanvx

9、 nA A 和和 0 0 的确定的确定00cosxA 00sinvA 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定和初相由初始条件决定. .0sin()vAt 0cos()xAt 初始条件初始条件000,txxvv3.3. 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法 (1)(1) x t x t 曲线图示法曲线图示法 简谐振动可以用三角函数表示，也可用图简谐振动可以用三角函数表示，也可用图6.16.1的曲线图表示，的曲线图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。图上已将振幅、周期和初相标出。 图图6.1 6.1 简谐振动的简谐振动的x-tx

10、-t曲线表示法曲线表示法 3.3. 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法 (2) (2) 振幅矢量法振幅矢量法 简谐振动还可以用旋转振幅简谐振动还可以用旋转振幅矢量（也称相矢量）表示。矢量（也称相矢量）表示。 自原点画一条长等于振幅的自原点画一条长等于振幅的矢量矢量A A，t=0 t=0 时，矢量时，矢量A A与与 x x 轴的夹角等于振动的初位相轴的夹角等于振动的初位相，令，令A A 以角速度（就是振动以角速度（就是振动角频率）逆时针方向旋转，角频率）逆时针方向旋转，则矢量在则矢量在x x轴上的投影就是振轴上的投影就是振动的位移（如图动的位移（如图6.26.2）。）。图图6.2 6.2 振幅

11、矢量法振幅矢量法3.3. 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法 (3) (3) 复数法复数法 利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示 0( )itxAe i txA e 或或 其中：其中： 是复数，称复振幅，它已包含了初是复数，称复振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意义的是表达式的实部。位相。但要注意，有意义的是表达式的实部。0iAA e 4.4. 弹簧谐振子的能量弹簧谐振子的能量2222011sin ()22kEmxmAtn动能动能n势能势能222011cos ()22pEkxkAtn机械能机械能2221122kPEEEmAkA 2

12、22201cos ()2pkEmAtm简谐振动简谐振动的机械能是守恒的机械能是守恒的的n机械能为常量，但机械能为常量，但E Ek k、E EP P随时间作周期变化；随时间作周期变化；nE Ek k、E EP P在运动过程中相互转化在运动过程中相互转化4.4. 谐振子的能量（续）谐振子的能量（续）0,0,kPxEEE在最大位移处，在最大位移处，在平衡位置在平衡位置0,0,pkxEEEEkEPEt00/23/224.4. 谐振子的能量（续）谐振子的能量（续）n振幅决定机械能振幅决定机械能222， kEAEA012TkkEEE dtT n在一个周期内的平均值在一个周期内的平均值或或2222EEAkm

13、 222EEAkm 4.4. 谐振子的能量（续）谐振子的能量（续）012TPpEEE dtT n振幅的有效值振幅的有效值A Aeffeff12effEAAk定义定义则则222effkPEkEEA 或或2e ffEk A4.4. 谐振子的能量（续）谐振子的能量（续）6.2 振动的合成与分解n 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。可以看成若干个简谐振动的合成。 1.1. 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成2.2. 方向相同，频率不同的两个简谐振

14、动的合成方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 3.3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）4.4. 方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形5.5. 振动的分解、谐波分析（振动的分解、谐波分析（FourierFourier分析）分析） 6.2 振动的合成与分解1.1. 同方向，同频率的两个振动的合成同方向，同频率的两个振动的合成111222cos()cos()xAtxAt设两振动设两振动12112211221122cos()cos()(coscos)cos(sinsi

15、n)sinxxxAtAtAAtAAt合振动合振动11221122coscoscossinsinsinAAAAAA 令令合振动合振动cos()xAt 11221122sinsincoscosAAtgAA 初相位初相位1.1. 同方向，同频率的两个振动的合成（续）同方向，同频率的两个振动的合成（续）合振幅合振幅221112122cos)（AAAA A 两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论

16、xxtoo21AAA2)cos()(12tAAxT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx)cos(212212221AAAAA 讨论讨论3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论11Axou 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tA

17、x)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2 2） 2kN1 1）2 k),2, 1,0(k 个矢量依次相接构个矢量依次相接构成一个成一个闭合闭合的多边形的多边形 . .N讨论讨论2.2. 同方向，不同频率的两个振动的合成同方向，不同频率的两个振动的合成11112222cos()cos()xAtxAt设两振动设两振动1212122coscos22xxxA

18、tt合振动合振动为简单计算，又不失一般性，为简单计算，又不失一般性，121120AAA令令n讨论讨论 若若2 21 1，2222coscos2xAtAAt 若若2 2 1 1， 2 2 1 1 2coscoscos2xAttAt 2cos2AAt 这是随时间缓慢变化的周期变量n讨论讨论p差拍差拍：由于频率相近的简谐振由于频率相近的简谐振动合成而产生的振幅作缓慢周动合成而产生的振幅作缓慢周期性变化的现象称为，简称期性变化的现象称为，简称拍拍。p拍的周期拍的周期 T T拍拍，频率，频率v v拍拍由由 2Acos(21)t/2 变化的周期变化的周期满足满足 21 T拍拍 / 2即得即得 T拍拍 =

19、2/ 21 v拍拍 21 / 2= v2v1 差拍差拍u 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112讨论讨论 , , 的情况的情况 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 合振动合振动2212T121TtAA2

20、2cos2121122)(211max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）3.3. 相互垂直同频率简谐振动的合成相互垂直同频率简谐振动的合成1122cos()cos()xAtyAt设两振动设两振动22221212212122cos()sin ()xyxyA AAA解得运动轨迹解得运动轨迹（椭圆方程）（椭圆方程）椭圆的形状由 决定21(-) u 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxy

21、AyAx 质点运动轨迹质点运动轨迹1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （椭圆方程）（椭圆方程） 讨论讨论yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差4.4. 相互垂直，不同频率简谐振动合成相互垂直，不同频率简谐振动合成n若频率成简单的整数比，合成运动将沿一条稳定的若频率成

22、简单的整数比，合成运动将沿一条稳定的闭合曲线进行，曲线的形状由分振幅、初相、初相闭合曲线进行，曲线的形状由分振幅、初相、初相差 和 频 率 比 决 定 。 这 种 曲 线 称 为差 和 频 率 比 决 定 。 这 种 曲 线 称 为 利 莎 如利 莎 如（LissajousLissajous）图形。图形。u 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图5.5. 振动的分解与频谱分析振动的分解与频谱分析（1 1）周期运动的分解

23、）周期运动的分解 n任一周期为任一周期为T T的运动可分解为一系列频率为的运动可分解为一系列频率为2/ T 2/ T 的整数倍的简谐振动。的整数倍的简谐振动。（1 1）周期运动的分解）周期运动的分解011( )cossin2nnnnaftantbnt 式中：式中： 2/ T2/ T 称为基频，称为基频， n nn n 称为谐频。称为谐频。设周期运动设周期运动 , , 则则( )()f tf tT01( )cos2nnnAftAnt （）或或以上是在时域空间描述 f (t)02An常数项常数项为直流分量；为直流分量；nN N1 1的项的项为基频成分为基频成分; ;11c o s ()At 22c

24、 o s( 2)At 为二次谐频成分；为二次谐频成分；nN N2 2的项的项nN N项项c o s()nnAnt 为为n n次谐频成分；次谐频成分；（1 1）周期运动的分解（续）周期运动的分解（续）n当当f(t)f(t)确定，必有唯一的一确定，必有唯一的一组组a an n，b bn n，a a0 0或或A A0 0，A An n与之对应与之对应222( )22( ) cos( ) sintantTttTtTnnttnnnnnnaft dtTaftntdtbftntdtTTbAaba ， ， （1 1）周期运动的分解（续）周期运动的分解（续）n一组一组a an n，b bn n，a a0 0 或

25、或 A A0 0，A An n 是是f (t) f (t) 的频谱。的频谱。na an n，b bn n，a a0 0 是是f(t)f(t)在频域空间的描述。在频域空间的描述。n周期信号的频谱是离散的。周期信号的频谱是离散的。（2 2）非周期运动的分解）非周期运动的分解n非周期振动，可视为非周期振动，可视为TT，或，或00。此时，用傅立叶积。此时，用傅立叶积分（变换）进行分解。分（变换）进行分解。00( )() cos() sinftatdbtd 0( )() cos()f tAtd 或或22()()()(), tan()bAaba 11()( )cos,()( )sinaf ttdtbf t

26、tdt 式中式中 非周期信号的频谱是连续的（3 3）频谱分析）频谱分析n频谱信号的各阶谐频与振幅的对应关系频谱信号的各阶谐频与振幅的对应关系n将信号的各阶谐频和振幅进行分析就是频谱分析将信号的各阶谐频和振幅进行分析就是频谱分析例例6.4 6.4 电视机产生的锯齿波可描述为电视机产生的锯齿波可描述为 f(t)=ht/T , 0tT其其n阶谐波的振幅阶谐波的振幅An和频率和频率n为为An=h/n，A0=hn=n=2n/Tn01234567n0234567Anhh/h/2h/3h/4h/5h/6h/7tT2T3T4T5T例例6.5 6.5 对单个矩形脉冲进行频谱分析对单个矩形脉冲进行频谱分析n脉冲函

27、数为脉冲函数为02( )2202tf thtt n频谱函数为频谱函数为sin2()2uFih n自由振动自由振动没有外界能量补充的振动没有外界能量补充的振动n阻尼振动阻尼振动振动系统在准弹性回复力和阻力的作用下振动系统在准弹性回复力和阻力的作用下, , 振幅随振幅随时间衰减的振动时间衰减的振动n阻尼方式阻尼方式摩擦阻尼摩擦阻尼 、辐射阻尼、辐射阻尼6.3 阻尼振动 受迫振动 共振1.1. 阻尼振动阻尼振动1.1. 阻尼振动阻尼振动阻尼振动的微分方程阻尼振动的微分方程( (以弹簧振子为例）以弹簧振子为例）fx 设设0k m 其中其中2m称为阻尼因数称为阻尼因数即即220220d xdxxdtdt

28、则则22d xFkxxmdt 其解为其解为1212ttxA eA e 1.1. 阻尼振动阻尼振动22102220 n讨论讨论 0 0 过阻尼振动过阻尼振动(12( )ttx tAeA e ）220 其中其中 A A1 1 ，A A2 2 可由初始条件决定，此时没有振动现象。可由初始条件决定，此时没有振动现象。12()itittxA eA ee 取实部取实部22221020ii ， 0 0 欠阻尼振动欠阻尼振动1.1. 阻尼振动阻尼振动2220 0cos()txA et 220000vxAx 1000vxtgx 式中：式中： 1 1 时，所有的曲线都有一个峰，这就是共振峰。时，所有的曲线都有一个

29、峰，这就是共振峰。 品质因数品质因数 Q Q 越大，曲线的峰越明显。共振峰处越大，曲线的峰越明显。共振峰处0p 6.4 二自由度振动体系与简正模n一个复杂的系统可视为由多个弹簧振子耦合在一一个复杂的系统可视为由多个弹簧振子耦合在一起的系统，各振子有不同的固有频率，整个系统起的系统，各振子有不同的固有频率，整个系统将怎样运动？将怎样运动？n系统可能以统一的频率振动，统一的频率由什么系统可能以统一的频率振动，统一的频率由什么决定？决定？1.1. 问题的提出问题的提出2.2. 简谐振动的复数表示简谐振动的复数表示0000()( )cos()( )itiititiftAtftA eA eeA eAA

30、e 简谐振动的复数形式简谐振动的复数形式若若f f (t)(t)表示位移，则速度和加速度为表示位移，则速度和加速度为222()itdfviA eifdtdfdfaiiiffdtdt 3.3. 举例举例例例6.7 6.7 图为线形三原子分子图为线形三原子分子A A2 2B B的模型。假定相邻原的模型。假定相邻原子间的结合力是弹性力，它们正比于原子间距，求分子间的结合力是弹性力，它们正比于原子间距，求分子可能的纵向运动形式和相应的振动角频率。子可能的纵向运动形式和相应的振动角频率。【解解】从左到右设三个原子的坐标依次为从左到右设三个原子的坐标依次为x x1 1、x x2 2、x x3 3，则它们的

31、运动方程为则它们的运动方程为21122222123223322();()();()ABCdxmkxxdtdxmkxxkxxdtdxmkxxdt 设解具有复数形式：设解具有复数形式：(1,2,3)i tjjxAej 代入上列方程，并消去公共因子代入上列方程，并消去公共因子e ei i t t，可得，可得212321232123()002()00()0AABBBAAkkAAAmmkkkAAAmmmkkAAAmm 该齐次方程组可解的条件是该齐次方程组可解的条件是2220200AABBBAAkkmmkkkmmmkkmm 222222() ()2()0ABAABkkkkmmmm m 即即22220ABAABkkmmmmm () 因式分解，得因式分解，得由此得到由此得到2的三个根：的三个根：222122ABAABkkmmmm m () ，将三个将三个2的根代回联立方程组，得原子振幅的比例关系的根代回联立方程组，得原子振幅的比例关系1322132313202BAAAAAAmmAAAA ,(/) ：n零频零频3 3代表分子刚性平动；代表分子刚性平动；n1 1代表中央原子代表中央原子2 2不动，两侧原子不动，两侧原子1 1和和3 3相对运动；相对运动；n2 2代表两侧原子代表两侧原子1 1和和3 3相对静止，它们整体与原子相对静止，它们整体与原子2 2作相对运作相对运动动以上实