高中数学 2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案 新人教A版必修4

1、2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案【学习目标】1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；【重点难点】。平面向量的数量积及其几何意义【学法指导】预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；【知识链接】：1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.1° e×= e = 2°

2、Û× = 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.e× =×e = 3° 当与同向时，×= 当与反向时，× = 特别的×= |2或4° cosq = 5° |×| |三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容【学习过程】创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：数量积的概念SF1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ·cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ·cos（2）定义说明：记法“·”中间的

4、“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ （4）学生讨论，并完成下表：的范围0°<90°=90°0°<180°·的符号例1 ：已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.解： 变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：

5、OB1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较·与×的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质 设和b都是非零向量，则 1、 ·=0 2、当与同向时，·=；当与反向时，·= -， 特别地，·=2或= 3、·×3.数量积的运算律 （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ （2）、明晰：数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）·= 

6、3; （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·例2、（师生共同完成）已知=6，=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：变式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22【学习反思】 【基础达标】1 .已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求·.2. 已知|=6， |=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3).3 .已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.

7、 4.已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.5.已知|=1，|=，(1)若，求·；(2)若、的夹角为°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.6.设m、n是两个单位向量，其夹角为°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.【拓展提升】1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.°2.已知|=2，|=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知、是非零向量，则|=|是(+)与(-)垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量、的夹角为，|=2，|=1，则|+|·