高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案

1、用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（）求首项与通项；（）设，证明：.解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2 再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (

2、anan1)×(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( ) < 二先放缩再求和1放缩后成等比数列

3、，再求和例2等比数列中，前n项的和为，且成等差数列设，数列前项的和为，证明：解：，公比 （利用等比数列前n项和的模拟公式猜想） 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（）证明：.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列 即（II）证法一：，得即，得即是等差数列 （III）证明：2放缩后为“差比”数列，再求和例3已知数列满足：，求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即所以数列为递增数列，所以，即，累加得：令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得3放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为,且.

4、(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 所以， ， 所以（2）因为，所以，所以；练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.() 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解：() （利用函数值域夹逼性）；（II）；（），2.（04全国）已知数列的前项和满足：， （1）写出数列的前三项，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：（n>1）化简得：,故数列是以为首

5、项, 公比为的等比数列.故 数列的通项公式为：.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.（07武汉市模拟）定义数列如下：求证：（1）对于恒有成立； （2）当，有成立； （3）分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由得： 以上各

6、式两边分别相乘得： ，又 （3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（）求首项与通项；（）设，证明：.二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和例2等比数列中，前n项的和为，且成等差数列设，数列前项的和为，证明：真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（）证明：.2放缩后为“差比”数列，再求和例3已知数列满足：，求证：3放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.() 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.2