考研数学辅导讲义

1、高等数学部分第一讲 函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设为一个数列，为常数，若对任意，总存在，当时，有成立，则称为数列的极限，记或。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（4）左右极限：，分别称为函数在处的左右极限，存在都存在且相等。问题：（1）若对任意的，总存在，当时，有，数列是否以常数为极限？（2）若数列有一个子列以常数为极限，数列是否以常数为极限？（3）若数列

2、的奇子列与偶子列都存在极限，数列是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设，且存在，则；的充分必要条件是。（4）当时常见的等价无穷小：1）；2）；3）。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设都是无穷小，且，是否一定有？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定

3、不是无穷小？举例说明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：2、极限的存在性定理与重要极限定理1 单调有界的数列必有极限。定理2 夹逼定理（数列及函数）：重要极限：（1）； （2）； （3）。3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：（1）若有界，是

4、否一定存在？（2）若，当时，是否一定有？举例说明。（3）若存在，及是否存在？若及存在，是否一定有存在？（4）若，且，是否一定有？举例说明。二、连续与间断（一）基本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。问题：（1）设都在处间断，则是否一定在处间断？（2）若函数在一点

5、连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。例题部分一、填空题1、。2、设，则。3、。4、设，则。5、设，则。6、。7、。8、。9、设在点处连续，则。二、解答题1、判别函数的奇偶性，并求其反函数。2、求下列极限：（1）。 （2）。（3）。 （4）。（5）。 （6）。（7）。 （8）。（9）； （10）。（11）； （12）。3、证明数列极限存在，并求其极限。4、设，证明数列收敛，并求。5、设为常数，。且，证明：。6、求极限。7、设，且，证明：存在，使得。第二讲 导数与微分一、导数的基本概念设在的邻域内有定义，若存在，则称函数在点可导，极限称为函数在处的导数，记为。注解：（1）若存在，称此极限

6、为函数在处的右导数，记为，若存在，称此极限为函数在处的左导数，记为，函数在处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）导数的等价定义，。注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。问题：（1）设存在，问是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。（2）设存在，问是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。（3）设存在，是否存在？说明理由。（4）设存在，是否存在？说明理由。（5）设在处可导，问是否在处连续？（6）在处可导，是否有在的邻域内连续？（7）是否存在只有一个可导点的函数？二、求导工具（一）求导基本公式1、（常数函数导数公式）；2、，特殊情形（幂函数导数公式

7、）；3、，特殊情形（指数函数导数公式）；4、，特殊情形（对数函数导数公式）；5、（三角函数导数公式）：1）； 2）； 3）；4）； 5）； 6）；7）； 8）； 9）。6、（反三角函数导数公式）：1）； 2）；3）； 4）。7、补充公式：1）； 2）；3）。（二）求导法则1、四则求导法则（1）；（2），；（3）；（4）。2、复合函数求导法则设皆可导，则可导，且。3、反函数的导数设与互为可导的反函数，且，则。注解：（1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系；（2）二阶导数之间没有这种关系。三、可微与微分1、可微的定义2、连续、可导与可微的关系3、一阶微分形式的不变性4、求导类型（1）显函数的导数

8、；（2）参数方程的导数；（3）隐函数的导数；（4）变积分限的函数的导数；（5）分段函数的导数；（6）高阶导数。例题部分1、设存在，（1）求； （2）。2、设在处连续，且，求。3、设对任意的，有，且，证明处处可导。4、设与在坐标原点处相切，求。5、设在处可导，且，求。6、求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）设，求； （4），求；（5）设，求； （6）设，求；（7）设，求。7、（1）设，讨论函数在处的连续性和可导性。（2）设在处可导，求常数。（3）设，其中，且在处可导，求。8、（1）设，求； （2）设，求；（3）设，求； （4）设，求。（5）设，求及。第三讲 一元函数微分学的应用一、 中值定理

9、1、（罗尔定理）设，在内可导，。则存在，使得。2、（拉格朗日定理）设，在内可导。则存在，使得。3、（柯西定理）设设，在内可导，。则存在，使得。4、（泰勒定理）设在的邻域内有直到阶导数。则有，其中称为余项，称为拉格朗日型余项，其中介于与之间；称为皮亚诺型余项。注解：1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件。2、柯西中值定理中用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。3、常用的马克劳林公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、设在的邻域内有阶连续导数，则二、函数的单调性与极值1、函数的单调性（1）定义：（2）函数单调性判别法：2、函数的极值（1）函数极值的定义：

10、（2）必要条件（函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点，反之不对）。（3）函数极值的判别：1）第一充分条件：2）第二充分条件：三、函数的最值1、设，求在上的最大值和最小值。2、实际问题最优解。3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。注解：闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。四、函数的凹凸性与拐点1、曲线的凹凸及拐点的定义：2、曲线凹凸性的判别方法：五、渐近线1、铅直渐近线：若，称为曲线的一条铅直渐近线；2、水平渐近线：若，称为曲线的一条水平渐近线；3、斜渐近线：设为一条直线（其中），若，称直线为曲线的一条斜渐近线。若，则直线为曲线的一条斜渐近线。六、函数图象的描绘的步骤1、求

11、函数的定义域；2、求函数的一阶导数和二阶导数，并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点；3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点；4、求函数的铅直、水平及斜渐近线；5、描图。七、弧微分、曲率与曲率半径1、弧微分（1）设曲线，则；（2）设曲线，则；（3）设曲线，则。2、曲率及曲率半径（1）曲率：；（2）曲率半径：。例题部分一、选择题1、设在的邻域内连续，且，则在处 （ ）不可导； 可导且； 取极大值； 取极小值。2、函数的零点个数是 （ ）个； 个； 个； 个数与有关。3、设函数满足，且，则 （ ）是的极大值； 是的极小值；是的拐点； 非极值，非拐点。二、解答题1

12、、设，在内可导，且，证明：存在，使得。2、设，在内可导（），且，证明：存在，使得。3、设，在内可导，证明：存在，使得。4、设。证明：存在，使得。5、设在上连续，在内二阶可导，连接两点的直线与曲线交于点，证明：存在，使得。6、证明下列不等式：（1）设。证明：当时，。（2）证明：。（3）设，证明：。7、（1）研究方程的实根个数。（2）讨论方程根的个数。第四讲 不定积分一、原函数与不定积分1、设为两个函数，若对任意的有，则称为的原函数。注解：（1）连续函数一定存在原函数，反之不对；（2）有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数，如 ，。（3）若一个函数存在原函数，则

13、一定存在无穷多个原函数，且任意两个原函数之间相差常数。2、不定积分一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分，记为。注解：（1），；（2）一个可导的奇函数，其导函数及原函数皆为偶函数；（3）一个可导的偶函数，其导函数一定为奇函数，但其原函数不一定为奇函数。（4）周期函数的导数一定为周期函数，但其原函数不一定为周期函数。二、不定积分的性质1、；2、。三、不定积分基本公式1、；2、，；3、，；4、（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。5、（1）， ；（2）， ；（3）；（4）；（5）；（6）。四、积分法1、换元积分法（1）第一类换元积分法。（2）

14、第二类换元积分法。2、分部积分法。3、特殊函数的积分（1）有理函数的积分：（2）三角有理函数的积分：（3）无理函数的积分：例题部分1、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。2、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）。3、求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）。第五讲 定积分一、 定积分的概念1、定积分的定义：设函数在区间上有界。（1）作，其中；（2）任取，作积分和；（3）令，若存在，则称函数在区间上可积，其极限称为函数在上的定积分，记为，即。注解：（1），反之不对。（2）定积分与区间划分无关。（3）区间上有界的函数不一定可积（举反例）（4

15、）连续函数一定可积，反之不对。（5）若一个函数只有有限个第一类间断点，则一定可积。（6）若函数在区间上可积，则。（7）设函数是可积的，则有，。二、定积分的性质设函数和可积，则有1、。2、（其中为常数）。3、。4、。5、设函数在区间上可积且，则。推论1 设在区间上，则。推论2 设函数在区间上可积，则。6、设函数在区间上满足，则有。7（积分中值定理）设函数在区间上连续，则存在，使得。8（1）设函数在上连续，且，则。（2）设函数在上连续，且不恒为零，则。（3）设在上连续，且不恒等于，则有。9、（积分第一中值定理）设函数和在上连续，且，则存在，使得。证明：因为在上连续，所以在上一定可取到最大和最小值，

16、分别设为和，则。因为，所以，两边在上积分，得。情形一：，根据补充性质1得，则对一切的，原等式都成立。情形二：，由，得，再由闭区间上连续函数的介值定理，存在，使得，于是有。10、（柯西不等式）设和在区间上可积，则。三、积分学基本理论定理1 设函数在上连续，令，则。定理2（积分基本公式）设函数在上连续，且为的一个原函数，则。注解：（1）连续函数一定存在原函数，且其原函数具有可导性。（2）变积分限的求导可作如下推广：1）。2）。3）若积分限是含有的函数，而被积表达式中除积分变量外还含有，在求关于的导数时，一般要先处理被积表达式中的。如： 四、积分法1、换元积分法设函数在上连续，令可导，且，则 。2、

17、分部积分法设在上连续可导，则。五、重要公式或结论1、三角函数在特定区间上的积分性质（1）特例：，。（2），特例：，（3）。（4）。2、周期函数的积分性质设是以为周期的周期函数，则有（1），其中为任意实数。（2）。3、对称区间上函数的积分性质设在区间上连续，则（1）。（2）若，则。（3），则。六、广义积分1、积分区间有限被积函数无界的广义积分（1）设在上连续，则。（2）设在上连续，则。（3）设在上连续，则。2、积分区间无限的广义积分（1）设在上连续，则。（2）设在上连续，则。（3）设在上连续，则。七、定积分的应用（一）几何应用1、平面图形的面积（1）设，则。（2）设，则。（3）设，则。（4）设曲

18、线，则绕轴旋转一周所得旋转体表面积为。2、空间几何体的体积（1）曲线分别绕轴和轴旋转所得旋转体的体积分别为，。（2）设一个几何体位于平面与之间，对任意的，平面所得的截口面积为，则几何体的体积为。3、平面曲线的长度（1）设曲线，则。（2）设曲线，则。（3）设曲线，则。（二）物理应用1、引力（质点与线段之间或者线段与线段之间）、压力。2、变力沿直线运动所做的功。例题部分一、求下列极限：1、；2、；3、；4、；5、设可微，且，又，求。二、求下列定积分：1、；2、；3、设，求；4、求；5、求；6、（其中为任意常数）。三、证明下列等式：1、（1）；（2）；2、设是以正数为周期的连续函数，证明：；3、；4

19、、设在上可微，且，证明：存在，使得。5、设在上二阶连续可导，且，证明：存在，使得。四、证明下列不等式：1、设在区间上连续，证明：。2、设在区间上连续可导，且，证明：。3、设在区间上连续且单调增加，证明：。4、设在区间上连续可导，证明：。5、对任意的有，证明：。第六讲 多元函数微分学一、 基本概念1、多元函数的极限设的定义域为，为平面上一点，如果对任意的，存在，当时，有，则称为函数当时的极限，记为。2、多元函数的连续设函数在点的邻域内有定义，如果有，则称函数在点处连续。3、偏导数设函数在点的邻域内有定义，称为函数在点处关于的偏增量；为函数在点处关于的偏增量；为函数在点处的全增量。若存在，称函数在

20、点处关于变量可偏导，极限称为函数在点处关于的偏导数，记为，或者。若存在，称函数在点处关于变量可偏导，极限称为函数在点处关于的偏导数，记为，或者。4、可微与全微分设函数在点的邻域内有定义，其中是两个常数，则称函数在点处可微，称为函数在点处的全微分，记为。若函数是可微函数时，其全微分为。5、方向导数设函数在点的邻域内有定义，从引一条射线，设，令。若存在，称此极限为函数在点处沿射线的方向导数，记为。6、梯度设函数为可微函数，则称为函数的梯度，记为。7、高阶导数二阶以二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。注解：1、若在点可微，则，。2、多元函数在一点处的连续、可偏导与可微之间的关系（1）函数在点可微，则函数

21、在点处既连续又可偏导。（2）函数在点有连续的偏导数，则函数在点处可微，反之不对。3、设在点可微，则（其中为射线与轴正向的夹角）。4、设在点可微，则（其中为射线与轴、轴、轴正向的夹角）。5、梯度的方向是函数在一点处方向导数最大的方向，梯度的模为方向导数的最大值。因为（其中为与的夹角），所以当时，此时取最大值。6、若函数的二阶混合偏导数与都连续时，但反之不对。二、偏导数的求法1、显函数求偏导数的方法。2、复合函数求偏导数的方法。（1）设关于有连续的偏导数，关于有连续的偏导数，则。（2）设关于有连续的偏导数，关于有连续的偏导数，则。3、隐函数求偏导数（1）设，则。（2）设，则。4、隐函数组求偏导数（

22、1）设，则，其中。（2）设，则，其中。三、多元函数微分学的应用1、空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线，对应曲线上的点为，则过点的曲线的切向量为，切线方程为，法平面方程为。（2）设空间曲线，则过点的曲线的切向量为，切线与法平面方程略。2、空间曲面的切平面与法线设曲面，点，则在点处且平面的法向量为，切平面方程为，法线方程为。四、极值问题1、无条件极值：设，求目标函数的极值称为无条件极值，步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）由，求出函数的驻点；（3）利用判别定理判别所求的驻点是否是函数的极值点，如为函数的驻点，令，则1）当时，为函数的极值点。当时为极小点，当时为极大点；2）当时，不是函数的极

23、值点；3）当时，无法确定是否是函数的极值点（有更进一步的讨论）。2、条件极值及Lagrange乘数法例题部分1、设，讨论在处的可偏导性。2、设，讨论在点的连续性和可偏导性。3、设，讨论在处的连续性、可偏导性、可微分性、一阶偏导数的连续性。4、求下列函数的偏导数：（1）设，求；（2）设，且有二阶连续的偏导数，求；（3）设确定两个一元函数，且有一阶连续的偏导数，求。（4）设，且是由确定的的函数，其中具有一阶连续的偏导数，求。5、求函数的极值。6、求椭球的内接长方体的体积。第七讲 重积分一、重积分的概念1、二重积分（1）实际例子（2）定义2、三重积分（1）实际例子（2）定义二、重积分的性质1、二重积

24、分的性质2、三重积分的性质三、重积分的计算方法1、二重积分的计算方法（1）直角坐标法（化二重积分为累次积分）（2）坐标变换法（3）特殊计算法（如奇偶性等）2、三重积分的计算方法（1）直角坐标法（2）柱面坐标变换法（3）球面坐标变换法（4）特殊计算法四、重积分的应用1、几何应用2、物理应用例题部分一、改变下列积分的次序：1、；2、；二、计算下列二重积分：1、，其中由与围成。2、，其中由与围成。3、，其中。4、，其中由围成。5、，其中由围成。第八讲 微分方程一、微分方程的基本概念1、微分方程的定义：2、微分方程的解、特解及通解：3、微分方程的阶数：二、一阶微分方程及其解法1、可分离变量的微分方程（

25、1）定义：（2）解法：2、齐次微分方程（1）定义：（2）解法：3、一阶线性微分方程（1）一阶齐次线性微分方程及解法：（2）一阶非齐线性微分方程及解法：4、贝努利方程（1）定义：（2）解法：5、全微分方程（1）定义：（2）解法：三、高阶微分方程（一）可降阶的高阶微分方程1、；2、；3、。（二）高阶线性微分方程1、高阶线性微分方程的定义：称 （）为阶齐次线性微分方程；称 （）为阶非齐线性微分方程。2、高阶线性微分方程解的基本理论（1）设为（）的一组解，则也为（）的一个解，其中为任意常数；（2）设为（）的一个解，为（）的一个解，则为（）的一个解；（3）设为（）的两个解，则为（）的一个解；（4）设，且

26、分别为与的两个解，则为（）的一个解；（5）设为（）的线性无关解，则（）的通解为，其中为任意常数；（6）设为（）的线性无关解，为（）的一个特解，则（）的通解为，其中为任意常数。注解：设为（）的个线性无关解，则（）的通解为，其中为任意常数，且。3、二阶（及高阶）常系数齐次线性微分方程称 （）（其中为常数）为二阶常系数齐次线性微分方程，称 为其特征方程。（1）若，特征方程有两个不等实根，则（）的通解为（其中为任意常数）；（2）若，特征方程有两个相等实根，则（）的通解为（其中为任意常数）；（3）若，特征方程有两个虚根，则（）的通解为（其中为任意常数）。4、二阶常系数非齐线性微分方程（1）：（2）：（三

27、）欧拉方程（1）定义：（2）解法：例题部分一、求下列一阶微分方程的通解：1、；2、；3、；4、；5、；二、求下列微分方程的解：1、求方程满足初始条件的特解；2、求微分方程的通解。三、求下列方程的解：1、求微分方程的通解；2、。线性代数部分第一讲 行列式一、基本概念1、逆序设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。2、逆序数设是的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。3、对换对排列中任意两个数的位置进行对调，称为对该排列的一次对换，对换改变排列的奇偶性。4、行列式由个数组成的下列记号，称为阶行列式，规定。5、余子式与代

28、数余子式把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式以下几种行列式为常用的特殊行列式，其计算非常方便，应用也非常广泛：1、对角行列式形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元素之积。2、上（下）三角行列式称及为上三角行列式和下三角行列式，它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式形如称为阶范得蒙行列式，且。4、广义对角行列式形如（其中为方阵）称为广义对角行列式，且。5、设分别为和阶矩阵，则，。三、行列式的性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行

29、列式相等，即。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即，其中为任意常数。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式

30、的应用克莱姆法则对方程组（）及（）其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。令，其中称为系数行列式，我们有定理1只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。定理2有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。基本题型1、用两种方法计算行列式（答案：）2计算行列式：（1）； （2），其中是方程的三个根。3、设是阶矩阵，是阶矩阵，且，求。4、设，求（1）；（2）。5、设为4维列向量,且，求。6、计算，其中。第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算（一）基本概念1、矩阵：2、同型矩阵及矩阵相等：（二）特殊矩阵1、对称矩阵与反对称矩阵：2、转置矩阵

31、：3、可逆矩阵：4、正交矩阵：5、伴随矩阵设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。6、非奇异矩阵设为一个阶矩阵，若，则称矩阵为非奇异矩阵。（三）矩阵的四则运算及性质1、矩阵的四则运算（1）矩阵加减法：（2）矩阵乘法：1）数与矩阵的乘法： 2）矩阵与矩阵的乘法：2、矩阵四则运算的性质（1）交换律：。（2）结合律：1）。 2）。（3）分配律：1）。 2）。3）。 4）。（4）。（四）矩阵转置性质1、。2、（其中为常数）。3、。4、。（五）逆

32、矩阵的性质1、。2、（其中为非零常数）。3、，更进一步。4、。5、设可逆，则。6、设都是可逆矩阵，则。（六）矩阵对应的行列式的性质1、设为同阶方阵，则。 2、。3、。 4、。 5、设矩阵可逆，则。二、逆矩阵的存在性与求法（一）矩阵可逆的充要条件定理：设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。（二）逆矩阵的求法1、伴随矩阵法：若，则。2、初等变换法的思想体系及逆阵求法：。三、初等变换、初等矩阵、矩阵等价（一）矩阵的初等变换1、对调矩阵的两行；2、矩阵的某行乘以非零常数倍；3、矩阵某行的倍数加到另一行。以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换，若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。（二）初等矩阵及性质以下三种矩阵称为初等矩阵1、。性质：1）相当于把矩阵的第行与第行对调，相当于把矩阵的第列与列对调；2）； 3）。2、。性质：1）相当于把矩阵的第行乘以非零常数，相当于把矩阵的第列乘以非零常数；2）；3）。3、。性质：1）相当于把矩阵得第行的倍