论有限元方法的基本原理及其在材料科学中的应用

1、论有限元方法的基本原理及其在材料科学中的应用现状 姓名：- 学号：06111- 专业：材料科学与工程材 料 科 学 与 技 术 学 院2015年4月17日摘要：介绍了有限元法 ( FEM :Finite Element Method ) 的基本原理、特点、应用现状等。关键词：有限元法、特点、应用。1.有限元方法的基本原理、基本思路、应用过程、特点1.1有限元方法的基本原理有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。物体被离散为更小的单元后, 通过对各个单元进行分析, 把单元分析结果组合就得到对整个分析对象结构的分析。这种方法适合解决区域比较复杂

2、的微分方程的定解问题。有限元单元能按不同的联结方式进行组合, 且单元本身又可以有不同的形状, 因而可以模型化几何形状复杂的求解区域, 而另一个重要的数值方法有限差分法也有将连续函数离散化的思想, 但在处理复杂边界时仍存在困难, 其在网格划分方面远不及有限元法灵活。有限元法的一个重要特点是利用在每一个单元内的近似函数来分片地表示全求解域上的待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个结点的数值和其插值来表示。这样一来, 在一个问题的有限元分析中, 未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量, 使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一旦求解出这些未

3、知量, 就可以通过插值函数计算出各个单元内的场函数的近似值, 从而得到整个求解域的近似值。在用单元把求解区域离散化方面, 存在一个自由度数量的选取问题, 自由度选得太少, 近似解的误差大, 有时结果根本没有应用价值;自由度取得多, 解的近似程度相应增大, 但会导致求解方程的规模增大,以至于计算机无法胜任, 所以有限元的发展、完善和应用与计算机技术的发展密切相关。近 20 年来, 计算机的运算速度和存储容量以惊人的速度提高, 使得有限元法的求解能力迅速提高, 十几年前, 求解问题的自由度规模大多数在几千个左右, 现在人们已经开始进行几十万自由度以上规模问题的分析研究。1.2有限元方法的基本思路有

4、限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法,他是通过计算机采用分片近似,进而逼近整体的研究思想 求解物理问题。先将物体或求解域离散为有限个互不重仅通过节点 相互连接的子域,原始边界条件也被转化为节点上的边界条件。在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的 变量改写成由各变量或其倒数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权残值法,建立有限元方程,从而将微 分方程转化为一组以变量或其倒数的节点值为未知量的代数方程组。进而借 助矩阵表示和计算机求解代 数方程组得到原问题 的近似解。有限元法的离散对单元没有限制,单元可以为不同形状,且不同单

5、元可以相互连接组合,而且,随着区间离散数目越多,折线越逼近真实函数,计算精度就越高。1.3有限元的应用过程应用于实际问题须经历以下过程：(1) 问题的数学描述。对问题客观规律的数学描述(通常是微分方程及边界条件)是建立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数学模型建立的。常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客观现象的数学描述。(2) 有限元方程的建立。利用变分原理, 通过离散、单元分析、整体分析等过程, 建立数学模型的有限元方程, 它通常是一组易于用数值方法求解的代数方程。(3) 算法研究。 有限元方程的计算量庞大, 须有有效的算法来保证计算效率和精度, 同时考

6、虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波前法, 求解大型特征值问题的分块 Lanczos 法等。(4) 程序开发。 数值计算依赖于计算机, 因此求解算法需用相应的计算程序来实现。(5) 有限元建模。对应于 FEA 系统的前处理(Pre - pro-cessing)。它为数值计算提供所有原始输入数据(节点数据、单元数据和边界条件数据)。 因为模型形式直接决定计算精度和规模, 且建模所需时间约占整个 FEA 的 70%左右, 所以建模质量和效率是 FEA 的关键。图 2 列出了有限元建模中的关键技术。(6) 数值计算。对应于FEA系统的计算(Solving)。它由一系列计算程序组成,

7、计算程序又称求解器(solver)。每个求解器完成特定类型的计算。因此求解器越多, 系统功能越强。(7) 结果处理。对应于FEA系统的后处理(Post - pro-cessing)。它对计算结果进行处理、显示、运算和列表等。若按照(1) (7)过程, 问题得以解决, 则 FEM 应用结束;反之, 则需根据求解结果提出改进方案, 循环执行(5) (7)过程, 直至问题解决或得到最佳设计。对于一个全新的问题, 必须从第一步开始。 而对已知的问题, 可从第(5)步开始, 即直接利用已有的 FEA 系统, 建立有限元模型。在实际应用中, 绝大多数问题都属于第二类问题。1.4有限元方法的特点有限元法经过

8、几十年的发展,已成为一种通用的数值计算方法,其鲜明的特点表现如下:（1）有限元法的基本思想是几何离散和分片插值,思想简单朴素,概念清晰易理解。（2）有限元法计算格式的建立是基于物理概念和纯数学原理均可推得,数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明,数值计算稳定、高效。（3）由于有限元法的单元不限于均匀规则单元,所以,有限元法可以处理任意复杂边界的结构,同时,有限元法可通过选择单元插值函数的阶 次和单元数目来控制计算精度。（4）计算格式规范,用矩阵表达,方便处理,易于计算机程序化。（5）有限元法是一种通用的数值计算方法,应用范围广,适用于用微分方程表示的物理问题的求解。2.有限元方法在材料科

9、学中的应用现状FEM 最早应用于固体力学领域, 但由于其解决问题的有效性和实用性, 很快推广应用于温度场、电磁场、流场、声场等连续介质领域。 目前 FEM 的应用领域主要包括:2.1静力分析包括线性非线性静力分析。 线性静力分析研究线弹性结构的变形和应力, 它是工程结构分析和设计中最基本的方法。非线性结构静力分析主要研究外载作用下引起的非线性响应,其中非线性来源主要是材料非线性、几何非线性和边界条件非线性 3 大类。2.2动力分析主要包括以下分析类型:(1) 模态分析。用于求解多自由度系统的模态参数。下图为计算得到的计算机主板的前三阶振型。(2) 瞬态响应分析。求解在时域内结构承受随时间变化的

10、载荷和速度作用时的动力响应。(3) 简谐响应分析。对简谐激励结构在其平衡位置的振动进行分析。(4) 频谱响应分析和随机振动分析。用于分析结构受已知频率激励时的最大响应。(5) 屈曲和失稳分析。分析考察结构的极限承载能力, 研究结构总体或局部的稳定性, 获得结构失稳形态和失稳路径。(6) 自动接触分析。用于接触边界定义和摩擦分析。2.3失效和破坏分析包括断裂分析(线弹性断裂分析和弹塑性断裂分析)、裂纹萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。下图是对电视机进行的跌落分析。2.4热传导分析包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫对流及温度的耦合分析。下图是一个铸造过程中的热传导分析, 目的是追踪固化过程中铸件和模具的温度分布。2.5声场分析 它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题, 或分析浸在流体中的固体结构的动态特性。2.6流体分析研究流体速度、压强、密度变化规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流体中运动物体所受阻力及其它热力学性质。下图是离心泵叶轮叶片表面相对速度和压力变化曲线。3.结束语有限元方法是20世纪50年代发展起来的一种数值计算方法,随着有限元理论研究的逐步深入和计算机技术的飞速发展,有限元方法得到了广泛