试卷A线性代数

1、试卷序号： 班级：学号：姓名：| |装|订|线|2011 2012学年 第一学期期末考试线性代数试卷（A） 答题时间120分钟题号一二三四五总分阅卷教师得分阅卷教师得 分一、 选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数是（ B ）A B C D2、设有三个矩阵、和，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ）A B C D3、下列选项正确的是（ C ）A若方阵，则必有 B若方阵满足，则C若方阵、满足，则有或D对方阵、，总有成立4、设有的矩阵，则齐次线性方程有非零解的充分必要条件是（ A ）A B C D5、设是三阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则（ B ）A

2、 B C D6、设n阶矩阵A为正交矩阵，则必有（ D）A B C D二、阅卷教师得分 填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1、设4阶行列式，则 EMBED Equation.3 ，其中是的代数余子式。2、设方阵满足，则 EMBED Equation.3 ，其中是单位阵。3、当 EMBED Equation.3 时，向量与的内积为3。4、已知4阶矩阵、相似，且的特征值为，则 EMBED Equation.3 5、设向量、线性相关，则 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 6、矩阵对应的实二次型 阅卷教师得分三、 计算题(本大题共3小题，每小题8分，共2

3、4分)1、计算n阶行列式，其中。解： （2分） （4分） （2分）注：可有多种方法，利用其他方法求解，但结果错误的，根据解答情况酌情给分。2、已知，求解矩阵方程。解：整理方程可得，即（2分），由于 （3分）因此（1分），计算得 （2分）注：也可用伴随矩阵法求逆；写出求解过程但结果错误者，根据解答情况酌情给35分。3、已知矩阵，求的列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。解： （4分）向量组的秩为2 （1分）为一个最大无关组 （1分）， （2分）阅卷教师得分四、证明题(本大题共10分)已知向量组线性无关，且，证明向量组线性无关，其中，为任意实数。证明：设有常数使（1分）

4、，即 （2分）整理得 EMBED Equation.3 （3分）由线性无关得（2分）即无论为何值，都得，故线性无关。（2分）注：多种解法，表述清楚即可得分。阅卷教师得分五、 讨论题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)1、已知非齐次线性方程组，问取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解：对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵 （3分）（1）若使，则须保证，即：当时，方程组有唯一解；（2分）（2）当时，的行阶梯形为，此时，故方程组无解；（2分）（3）当时，的行阶梯形为此时，方程组有无穷多解（2分）。为求解，继续化行最简形，取，为自由未知数，为非自由未知数，则令，从而得方程组的通解为，其中为任意常数。（3分）注：本题有两种解题方法：行列式或初等行变换，若方法正确，但计算过程出现错误，可根据解答情况酌情给分。2、设矩阵，问取何值时，矩阵能相似对角化？此时求可逆阵和对角阵，使。解：特征多项式故的特征值为 （3分）当时，解方程组，由 （2分）得线性无关的特征向量为个，解得（1分）。为使能相似对角化，则需对应的线性无关的特征向量应为个，即，由得当时，能相似对角化（2