浙大附中高三数学理科周末试卷

1、浙大附中高三数学(理科)周末试卷 2015.10.31班级 学号一、选择题：1. 已知集合 A = x x + 3 > 0，则C A =（R）A (-¥,-3)2. 向量a = (-A (- 5,5)B (-¥,-3C (-3,+¥)D-3,+¥)r1,3) ， b = (2,-1) ，则 a - 2b 等于（）B (5,-5)C (- 3,1)D (1,-1)3. 若 x0 是方程式 lg x + x = 2 的解，则 x0 属于区间（）A（0，1）B（1，2）.C（2，3）D（3，4）4. “ a > b ”是“ log 2 a >

2、 log 2 b ”的（）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件= 2，a = 1 ，则 a a + a a +L+ a a5. 已知a 是等比数列， a=n n+1n251 223432C（1- 4-n ）32D（1- 2-n ）A16（1- 4-n ）B16（1- 2-n ）336. 设x表示不大于 x 的最大整数, A-x = -x Cx+yx+y则对任意实数 x, y, 有B2x = 2xDx-yx-y（）< p ) 的最小正周期为p ，若其图象向右平移 p 个单7. 函数 f (x) = sin(wx + j) (w > 0, j23位后关于 y

3、 轴对称，则 y =f (x) 对应的式可为（）ppA y = sin(2x -)6B y = cos(2x +)6p7pC y = cos(2x -)3D y = sin( 2x +)6R 上的偶函数, 且在区间0, +¥) 单调递增. 若实数 a 满足8. 已知函数 f (x) 是定义在f (log2 a) + f (log1 a) £ 2 f (1) , 则 a 的取值范围是（2）æ 0, 1 ùé 1ùA. 1, 2C. ê 2 ,2úD. (0, 2B.ç2 úèû

4、ëû9. 已知不等式-2xyax2+2y2,若对任意 x1,2及 y-1,3不等式恒成立,则实数 a 的范围是()A 0 £ a £ 12C a ³ 12D a ³ - 152B a ³ 01x10. 已知函数 f (x) =-1 ，若关于 x 的方程 f 2 (x) + bf (x) + c = 0 恰有 6个不同的实数解，则b, c 的取值情况不可能的是（A -1 < b < 0, c = 0C1+ b + c < 0, c > 0）B1+ b + c > 0, c > 0D1+ b

5、+ c = 0, 0 < c < 1二、填空题：（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）11.设等比数列a 的公比 q =，前 n 项和为 S ，则 S4 =1nn2a412 若某空间几何体的三视图，则该几何体的体积是 x ³ 0ìï.已知 z = x - 2 y ，其中 x, y 满足不等式组x £ y，í13ïx + y £ 2î则 z 的最小值为。£ 0f (x - 2), x > 014.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (，则 f (3) =。î

6、15. 设0 £ a £ p ，不等式8x2 - (8sin a )x + cos 2a ³ 0 对 x Î R 恒成立，则a 的取值范围为。16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为(3, a) ，a Î R ，点 P 满足OP = lOA ，l Î R ， | OA | × | OP |= 72，则线段OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为17.对于正整数 n ，若 n = pq ( p ³ q, p, q Î N * ) ,当 p - q 最小时，则称 pq 为n 的“最佳qp： f

7、 (9) = 1 ； f (12) = 1 ；3分解”，规定 f (n) =。关于 f (n) 有下列四个1171；若 f (n) = 1，则 n = k 2 , k Î N * ；若 f (n) = 1 ，f (17) =； f (2014) =2014n则 n 为质数。其中正确的序号是三、解答题：（本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）rr18. （本小题 14 分）已知向量 a = (cos) ， b = (cos) ，f (x) = a · b ，（1）求 f (x) 的最小正周期；（2）当 x Î ép ,

8、3p ù 时，求 f (x) 的最小值rêë 4úû4以及取得最小值时 x 的值。8b219.（本小题 14 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且cos 2C = 1 -.a 211(1)求的值；tanA tan C8(2)若 tan B，求 tan A 及 tanC 的值15ì1 a+ n, n为奇数= ï3320已知数列a 中， a = 1, an）求证：数列a- 是等比í，（nn+112n2ïa- 3n, n为偶数î n数列；（）设 Sn 是数列an 的前 n 项

9、和，求满足 Sn > 0 的所有正整数 n 21（本小题 15 分）设数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 = 2 ， a2 = 8 ，= 5Sn (n ³ 2) ， Tn 是数列log2 an 的前n 项和.+Sn +14Sn -1（1）求数列an 的通项公式；（2）求Tn ；（3）求满足 1 -ö æ1 -1 ö ×× æ1 -öæ11> 1010 的最大正整数 n 的值.ç÷ ç÷ç÷TTT2013è2 &#

10、248; è3 øèn ø22. （本小题 15 分）定义函数 y =f (x), x Î D ( D 为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为函数的 y = f (x), x Î D 的模.若模存在最大值，则此最大值称之为函数 y = f (x), x Î D的长距；若模存在最小值，则此最小值称之为函数 y = f (x), x Î D 的短距.(1)分别函数1f1 (x) = x 与 f2 (+ 5 是否存在长距与短距，若存在，请求出;(2)对于任意 x Î1,2 是否存在实数a ，使得函数 f (在，

11、请求出a 的取值范围；不存在，则说明理由？- a的短距不小于 2，若存浙大附中高三数学(理科)周末试卷 2015.10.31一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11.15；12. 1；13. -4 ；14. 4 ；p5p,p ；15. 0,616. 24；17. 6三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. f (x) = (cos- sin)2 分p= cos x - sin22= cos 2+)46 分2p（1） T = p8 分2（2） x Î

12、ép , 3p ù 时， 2xpé3p , 7p ù+Î ê4ë10 分êë 4úûúû444当2x + p = p 即 x = 3p 时，12 分48取到 f (x) 的最小值-214 分119.（本小题满分 14 分） (0, 38b24b2220. 解(1)cos 2C1，sin C.22aa2bC 为三角形内角，sin C0，sin C a . abbsin Bsin Asin B，asin A2sin Bsin Asin C.ABC，sin Bsin(AC

13、)sin Acos Ccos Asin C.2sin Acos C2cos Asin Csin Asin C.题号12345678910BABBCDCCCB 11 sin A·sin C0，1tan Atan C2. 11 (2)1tan Atan C2， 2tan C tan A.tan C2ABC，tan Btan(AC) tan Atan C 1tan Atan Ctan2C.22tan Ctan C2tan2C 8 2整理得 tan C8tan C1601522tan Ctan C2，tan C4，tan A4.20.（）证明：- 31 a+ (2n +1) - 31 (a-

14、 6n) + (2n +1) - 31 a- 1a12(n+1)2n+12n2n2323232=，33333a2n - 2a2n - 2a2n - 2a2n - 23311所以数列a2n - 2 是以 a2 - 2 = - 6 为首项， 3 为公比的等比数列。（）由（）得a- 3 = - 1 × ( )1n-1 = - 1 ×( )n ，则a= - 1 × ( )n + 3 ；112n2n26323232由 a= 1 a= 3a- 3(2n -1) = - 1 × (1)n-1 - 6n + 15 ，+ (2n -1) ，得 a2n-12n-12n2n3

15、232得： a+ a= - 1 ×(1)n-1 + (1)n - 6n + 9 = -12( )n - 6n + 9 ，32n-12n233= (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + ××× + (a2n-1 + a2n )S2n= -21 + ( )( )3 +×××+ ( ) - 6(1+ 2 + 3 +×××+ n) + 9n1112 +n33331 1- ( ) 31nn(n +1)23= -2 ×- 6 ×+ 9n131-11= ( ) -1- 3n +

16、 6n = ( ) - 3(n -1) + 2n2n233显然，当 n Î N * 时，S 单调递减，2n当n = 1 时， S = 7 > 0 ， n = 2 时 S = - 8 < 0 ，则当 n ³ 2 时， S< 0 ；242n39S= S - a= 3 × (1)n - 5 - 3n2 + 6n ，2n-12n2n232同理可得仅当 n = 1 时， S2n-1 > 0 ，综上，可得满足条件Sn > 0 的 n 的值为 1 和 2.21. 解：（1）当 n ³ 2 时， Sn +1 +=4Sn -15Sn ，- S

17、n = 4 (Sn= 4an .Sn -1 ) .- Sn +11 分 an +12 分 a1 = 2 ， a2 = 8 ， a2 = 4a1 .数列an 是以 a13 分= 2 为首项，公比为4 的等比数列.4n -122n -1 . an = 2 ×=4 分（2）由（1）得：log2 an = log222n -1= 2n - 1，5 分= log2 a1 + log2 a2 += 1 + 3 + (2n - 1)+ log2 an Tn6 分n (1 + 2n - 1)2=7 分=n2.8 分æö æ1 -1 ö ×× æ1 -ö11（3） 1 -çè÷ ç÷ç÷TTT2 ø è3 øèn ø= æ1 -1 ö æ1 -1 ö ×× æ1 -1 öç÷ ç÷ç÷9 分22