高中数学讲义函数的应用包含答案

1、学员日校：XX中学年 级：高三课时数：4学员姓名：XXX辅导科目：文科数学学科教师：XX学科组长签名组长备注课题函数的应用授课时间：2011年10月07日08: 0010: 002011年 10 月 16 日 08 : 0010: 00备课时间：2011彳尹10月04日教学目标1 .能利用函数的知识解决方程、不等式等简单问题。2 .能建立函数模型解决简单的实际问题。3 .理解数形结合的数学思想、分类讨论的数学思想、转化与化归的数学思想、 换元法、彳寺定系数法、分离参数法等数学思想方法的应用。重点、难点1.厘清题意，找出隐含的函数关系。考点及考试要求1.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性

2、质解决某些简单的实际问 题。教学内容【上节课回顾】函数的最值【知识点讲解】一、应用题的常见题型及对策1 .与函数、方程（组）、不等式（组）有关的题型常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润 等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识 和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。2 .与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列（无穷递增等比数列），利用其公式解决或通过递推归纳 得到结论，再利用数列知识

3、求解。3 .与正、余弦定理及三角变换有关的题型常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。4 .与排列、组合有关的问题运用排列、组合等知识解决。5 .与概率、统计有关的应用问题6 .与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。7 .与直线、圆锥曲线有关的题型常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。这里主要谈一谈第一类问题，也会涉及到其他几类问题。二、考点分析：函数的应用是新课标高考的重点知识，因此在复习时关键是掌握利用函数的知识解决问题的思想 与

4、方法。建立函数模型解决简单的实际问题是新课标高考考查学生应用意识的主要载体，因此要掌握 实际问题的建模方法与步骤才能突破解题的难点。对这部分知识考查的题型很灵活，主、客观题都会 出现对函数应用的考查。利用函数知识解决方程、不等式等问题的数学思想和方法1 .数学思想：数形结合、分类讨论、转化与化归等。2 .数学方法：配方法、换元法、分离参数法等。建立常见的函数模型解决实际问题的步骤常见的函数模型：一 次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型、y x a模型（对勾函数模型）、线性规划模型。 x一般步骤：读题 建模 解模 还原实际问题【经典例题与解题技巧】题

5、型一 一次、二次函数模型【例11某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？分析：每月所赚的钱=报报收入的总价一付给报社的总价。而U入的总数分为三部分：在卖出400份的20天里，收入为0.5x 20;在可卖出 250份的10天里在x份报纸中，有 250份报纸可卖出，收入为0.5 250 10;没有卖掉的（x 250）

6、份报纸可退回报社，报社付出（x 250） 0.08 10的钱。注意写出函数式的定义域。【解】设每天应从报社买x份，易知250 x 400。设每月赚y元，得：y 0.5x 20 0.5 250 10 （x 250） 0.08 10 0.35x 300.3x 1050,x 250,400因为y 0.3x 1050在其定义域上为增函数,所以，当x 400时，每月所获的利润最大，最大值为y max120 1050 1170 （元）。答：每天应从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，每月可赚 1170元。【注】现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹 簧的

7、伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数。【例2】某工厂生产的商品A,若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销 售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商 品A征收附加税率为p%时，每年销售额将减少10P万件。据此，试问：(1)若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求p的范围；(2)若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时 p的值。分析：将税务部门对商品A征收的税金表示出来，注意考虑一些实际情况。【解】(1)设每年征收的税金为y万元，则

8、y 80(80 10p)p%,P 0由题意得：80 10p 0,80(80 10p)p% 96解之得：2 P 6。所以，p的范围是2,6。(2)由题意知：p 0,80 10p 0由 y 80(80 10p)p%8( p 4)2 128,当 p 4时，ymax 128。答：当税率为4%寸，税务部门获得最高税金128万元。【注】在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件80 10p 0。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。【小结】二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的 最优化问题，值得注意的是：一定要注意 自变量的取值范围，根据图象

9、的对称轴与定义域在数轴上 表示的区间之间的位置关系讨论求解.。题型二 指数函数与幕函数模型【例3】例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到 0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到 120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？分析：本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规 律。【解】(1) 1年后该城市人口总数为：y 100 100 1.2%

10、 100 (1 1.2%),2年后该城市人口总数为：y 100 (1 1.2%) 100 (1 1.2%) 1.2% 100 (1 1.2%)2,3年后该城市人口总数为：y 100 (1 1.2%)2 100 (1 1.2%)2 1.2% 100 (1 1.2%)3,x年后该城市人口总数为：y 100 (1 1.2%) x o(2) 10年以后该城市人口总数为：y 100 (1 1.2%)10 112.7 (万)。(3)设x年以后该城市人口将达到120万人，即 100 (1 1.2%)x 120,x log1.012 1.2 15 (年)。(4)设年增长率为x,依题意有：100 (1 x)20

11、 120,即(1 x)20 1.2,由计算器计算得：1 x 1.009,x 0.009 0.9%,即年增长率应控制在0.9%以内。【小结】在实际问题中有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型y=N(1+p7(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幕函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长 率，n为时间)的形式。解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.o题型三分段函数模型【例4】通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课 开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的

12、注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越大)，经过实验分析得知：2_t 24t 100,0 t 10f(t) 240,10 t 20,7t 380,20 t 40(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排， 老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？分析：对于分段函数，分别求出f(t)各段中的最大值，通过比较就可以求出 f(t)的最大值。【解】(1)当

13、 0 t 10 时，f(t)t2 24t 100 (t 12)2 244 是增函数，且 f(10) 240。当 20 t 40 时，f(t) 7t 380 是减函数，且 f (20) 240。所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持 10分钟。(2) f (5) 195, f (25) 205,所以，讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后 5分钟更集中。(3)当0 t 10 时，令f(t)t2 24t 100180,则 t4。当 20 t40 时，令 f(t) 7t380 180,则t 28.57。所以，学生白注意力在180以上所持续的时间28.57 4 24.57 24。所

14、以，经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。【注】：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。【例5】某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （大）组成序数对（t, P）,点（t, P） 在图中的两条线段上，该股票在 30天内（包括第30天）的日交易量Q （万股）与时间t （大）的部分 数据如下面的图表所示：（1）根据题目提供的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与时间t （大）的函数关系式。（2）根据表中的数据确定日交易量 Q （万股）与时间t （大）的一次函数关系式。（3）在

15、（2）的结论下，用y （万元）表示该股日交易额，写出 y关于t的函数关系式，并求出这 30天中第几日的交易额最大？最大值是多少？分析：（1）由图知：P与t的关系式是分段函数，每段都是一次函数图象的一部分。由待定系数法求 出函数解析式。（2）根据表中的数据知：由于 Q与t的关系是一次函数关系，同样可由待定系数法求出。（3）日交易额v= PQ,用分段函数表示，根据二次函数知识求最值。【解】（1）由图象知A （0, 2）, B （20, 6）, C （30, 5）,设AB: P= kt+b,把A, B两点坐标代入P1 一 一.1= kt+b 得：k -,b 2,故当 0 t 20,t N 时，P -

16、t 25 51 一同理可求 BC: Pt 8 ( 20 t 30),t N101t 2,(0 t 20),t NP 51t 8,(20 t 30),t N10(2)设 Q at b (a, b 为常数)，把(4, 36), (10, 30)代入得 a= 1, b = 40故 Q 40 t.(0 t 30), t N1(t 2)(40 t),(0 t 20), t N(3)由(1) (2)得：y 51(t 8)(40 t),(20 t 30), t N101 21 t2 6t 80,(0 t 20), t N5y 1 2iQt2 12t 320,(20 t 30),t N1 c若 0 t 20,

17、当 t = 15 时，ymax 125,若 20 t 30 时，y t2 12t 320,10在区间( 20, 30上递减，故当t=20时，ymax 120故第15日交易额最大，最大值是125万元。【小结】(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各 段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏。题型四对勾函数模型【例6】(2011闸北一模)据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量(亦即该产品

18、的年产量)m万件与年促销费用x万2兀(x 0)满足m 3 .已知2011年生产该产品的前期投入需要 8万兀，每生产1万件该产品 x 1需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(定价不考虑促销成本).(1)若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？(2)试将2011年该产品的年利润y (万元)表示为年促销费用x (万元)的函数，并求2011年的最大利润.【解】（1）由题意，有m 322, .3x 1解得x 1 .所以，则该产品年促销费用最少是 1万元. .4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为1.5 8-m （元），m所以，20

19、11 年的利润 y m 1,5 8 16m (8 16m x)m4 8m x4 8 (3 x2 1) x“16八28 x 纷x 1因为 x 0,6-(x 1) 8,x 1所以 y 耳（x 1） 298 29 21 ,4 分x 1当且仅当6- x 1,即x 3 （万元）时，利润最大为21万元. .1分x 1题型五三角函数模型【例7】已知某海滨浴场的海浪高度 y （米）是时间t（0<t<24,单位小时）的函数，记作y=f（t）,下 表是某日各时的浪高数据t03691215182124y1.51. 00.51.01.4910.5 10.9 91.5经长期观测y=f的曲线可近似地看成函数y

20、=Acosco t+b.（1）根据以上数据，求出函数 y=Acosco t+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内 的上午8: 00至晚上20: 00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.【解】(1)由表中数据，知T=12,=2_ _. T 6由 t =0,y=1.5 得 A+b=1.5.1 1由 t=3y=1.0，得 b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅 A=, . y=cost 12 261(2)由题息知，当y>1时,才可对/中浪者开放.'- -cost 1>1, cos 1>

21、;0. 266 .2kTt t 2k ， 262即有 12k- 3<t<13k+3.由 00t&24,故可令 k=0,1,2，得 0&t<3或 9Vt<15 或 21<t024.在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午 9: 00至下午15: 00.题型六线性规划模型【例8】某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q,该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件, 月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B,组装一件Q产品要6个A、8个B,该厂在 某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个.已知P产品每件利润100

22、0元，Q产品每件2000元，欲使 月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元.【解】设分别生产P、Q产品x件、y件，则有0 x 2500依题意有 4x 6y 1400。贝第 2x 3y 7。设利润 S=1000x+2000y=1000(x+2y)0 y 12002x 8y 12000x 4y 6000要使利润S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2 m+n)+y(3 m+4n)2m n 13m 4n 22 m51 n -52 1有 x+2y= _ (2x+3y)+ (x+4y)55< 2 X 7000+1 X 6000.55当且仅当

23、2X 3y 7000解彳3x 2000时取等号，此时最大利润Smax=1000(x+2y)x 4y 6000 y 1000=4000000=400万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.【小结】有关线性规划的题目，往往可以通过构造不等式来解决，用不等式的方法能够有所简便， 节约做题时间。除非题目要求用线性规划的方法解题，否则我们常常构造不等式解决。失误与防范1 .函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型.2 .要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3 .注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.【课堂练习】

24、二次函数1 .某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每 增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(I)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(n)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(I)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600 3000 12,所以这时租出50了 88辆车.(n)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为:f x 100x 3000 “c. x 15050x 300050整理得:x2f

25、x162x502100012_ x 4050307050 50所以，当x 4050时,f x最大，最大值为307050.即当每辆车白月租金定为 4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 307050元.幕函数、指数函数和对数函数2 .燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为 函数v 510g2 O,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量。10(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少?解：(1)由题意，当燕子静止时，它的速度 v 0,所以，0 51og 2 O , 10解得：O 10

26、个单位。(2)由耗氧量是O 80得:80v 51og2 - 51og2 8 15(m/s)。103 .医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行 实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表 .已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数 超过108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到大)已知：lg2=0.3010.天数t病毒细胞总数N11223448516632764解：

27、（1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为y 2n 1,则由2n1 108,两边取对数得（n 1）lg2 8, n 27.5,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226 2% ,再经过X天后小白鼠体内病毒细胞为226 2% 2x,由题意226 2% 2、W 108,两边取对数得26lg2 lg2 2 xlg2 8,得 x 6.2,故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第 33天注射药物.分段函数4 .某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过 20m/s, 一个由55辆车身长都是10米的同一车型组成的车队匀速通过隧道（这种型号的车能行驶的最高速度是

28、40m/s）。设车队的行进速度为xm/s,根据安全和车流的需要，当0 x 10时，相邻两车之间保持20米的1c 1距离，当10 x 20时，相邻两车之间保持（1x2 1x）m的距离，自第一辆车的车头进入隧道到最63后一辆车的车尾离开隧道所用的时间是 y （s）0(1)将y表示成x的函数。(2)求车队通过隧道所用时间的最小值及此时车队的速度。(£ 1.73)思路分析：(1)根据已知：要分0 x 10和10 x 当0 x 10时，注意此时车队通过隧道的距离是：20两种情形进行讨论。表示成分段函数的形式。2150+10 55 20 (55 1) 3780(m)当10 x 20时车队通过隧道

29、的距离为:1 212150 10 55 ( x x) (55 1)63(2)分段求出最小值进行比较。解：(1)当0 x 10时，车队通过隧道的距离为:2150+10 55 20 (55 1) 3780(m)此时y3780当10x 20时，车队通过隧道的距离为:2150121、， 八10 55 (x-x) (55 1)63此时y2700 9x 183780,(0 x 10) x2700 9x 18,(10 x 20) x(2)当0 x 10时,在x=10时,ymin378010378(s)当10x 20 时，y27009x 18 x2700 9x 18 18 180、3 329.4(s)ymin

30、 329.4m/s当且仅当 27。9x即x 17.3(m /s), x378 329.4,当x 17.3m/s时，车队通过隧道的时间最短。二次函数、对勾函数5 .某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3 )使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该机床；(ii )当

31、盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请 说明你的理由.解：本例兼顾应用性和开放性，是实际工作中经常遇到的问题.(1) y 50x 12x x(X 1) 4 982= 2x2 40x 98.(2)解不等式2x2 40x 98 >0,得 10 5T<x< 10 式1.: x e N,3 <x< 17.故从第3年工厂开始盈利.(3) (i) y 2x 40 98 40 (2x 98)xxx<40 2 2 98 12当且仅当2x 98时，即x=7时，等号成立. x到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12X7+30=11

32、4万元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2 (x-10) 2+102,当 x=10 时，yma尸102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.6. (2011长宁一模)为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某幢建筑物要建造可 使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C x0 x 10 ,若不建隔热层，每年能源3x 5消耗费用为8万元.设f x为隔热层建造费用与20年的能

33、源消耗费用之和.(1)求k的值及f x的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f x达到最小，并求最小值.解：(1)当 x 0时，c 8, k 40, 2分-40.20 40800C(x) , f(x) 6x 6x (0 x 10)。3x 53x 5 3x 5 6分(2) f(x) 2(3x 5) -80 10,3x 5 8分I设 3x 5 t,t 5,35, y 2t 800 10 2d2t 晒 10 70, t- t10 分当且仅当2t 翠，即t 20时等号成立。这时x 5,因此f(x)最小值为70。12 分所以，隔热层修建5cm厚时，总费用f x达到最小，最小值为70万元. 13分三角函

34、数7. (2011黄浦一模)如图4,某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM , 该曲线段为函数y Asin x(A 0,0, x 0,8)的图像，且图像的最高点为S(6,4J3).赛道的后一段为折线段MNP,为保证参赛队员的安全，限定 MNP 120o.图4(1)求实数A和 的值以及M、P两点之间的距离；(2)联结MP,设NPM , y MN NP ,试求出用表示y的解析式；(3)(理科)应如何设计，才能使折线段 MNP最长？(文科)求函数y的最大值.2一 6解：(1)结合题意和图像，可知 4,Asin6 4%3解此方程组，得12 ,于是y 43A

35、4 3sinx(x 0,8).12x 8进一步可得点M的坐标为 广 8y 4 3sin 12所以，MP ,.(816)2 (6 0)2 10(km).在MNP中,MNP 120°, NPM+，MN,故sinNPMP又MP10,因此,20y-sin,320°°一 sin(60 ) (060°).(3)把 y20 sin 20sin(60° .3.3)进一步化为:sin(60°)sin120°200sin(60°) (0°360°).所以，当30°时，ymax20"3噂km).

36、3可以这样设计：联结MP,分别过点M、P在MP的同一侧作与MP成30°角的射线，记两射线的MNP赛道.交点为N,再修建线段NM和NP,就可得到满足要求的最长折线段线性规划8.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.(I )用x, y表示混合食物成本c元； (H)确定x, y, z的值，使成本最低.所以，c 400 7x 5y .4x 6y 3203x y 130'解：(I)由题，c 11x 9 y 4z,又 x y z 1

37、00 ,600x 700y 400z 56000(H)由，及z 100 x y行，800x 400y 500z 63000所以,7x 5y 450.所以，c 400 7x 5y 400 450 850,当且仅当4x 6y 320即x 50时等号成立. 3x y 130 y 20所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为 850元.点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域 x 0 y 0上使得c 400 7x 5y最大的点.不难发现，应在点 M (50, 20)处取得.4x 6y 3203x y 130【课后作业】1. (2

38、011静安一模)右图给出了某种豆类生长枝数 y (枝)与时间t (月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似 刻画最好的是(D)(A)y 2t2;(B)y 10g2匕 (C) y t3；(D) y 2t.10%-20% 的2. (2011静安一模)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约只有 能量能够流动到下一个营养级，在 Hi H2 H3 H4 H5 H6这条生物链中，若能使H6获得10KJ 的能量，则需要Hi提供的最少的足够的能量是（C ）（A） 104KJ;（B） 105KJ ;（C） 106KJ;（D） 107KJ.3. （2010松江二模）汽车的最

39、佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用二年均成本费+年均维修费）.设某种汽车的购车的总费用为 50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计 为6000元；前x年的总维修费y满足y ax2 bx ,已知第一年的维修费为1000元，前二年总维修费 为3000元.则这种汽车的最佳使用年限为 . 104. （2011奉贤二模）用2平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度 忽略不计，底面半径长为x,圆锥母线的长为y（1）、建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（6分）（2）、圆锥的母线与底面所成的角大小为 一，求所制作的圆锥形容器容积多少立

40、方米（精确到0. 01m3）3（6分）O4.解：（1）x2xy 22 x22 x2x y x , 0 x 1x(2)依题意，作圆锥的高SOSAO是母线与底面所成的线面角,设圆锥高hx cos3 y12'2xV 3x2h:j333x 0.99m311分答：所制作的圆锥形容器容积0.99立方米12分5. (2011闵行二模)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60,整治后前四个月的污染度如下表;月数1234污染度6031130污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x) 20 |x 4|(x 1), g(

41、x) 20(x 4)2(x 1), h(x) 30110g?x 2|(x 1),其中 x 表示月数， 3f(x)、g(x)、h(x)分别表示污染度.(1)问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由;60?(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过（3分）5.解：（1） Qf（2） 40,g（2） 26.7,h（2） 30f(3) 20,g(3) 6.7, h(3) 12.5(6 分)由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理.(7分)(2)因h(x) 30110g2x 2|在x 4上是增函数，又因为h(16) 60(12分)故整治后有16个月的污染度不超过60.

42、(14分)6. (2010嘉定一模)如图，学校现有一块三角形空地， A 600 , AB 2, AC 3 (单位：m),现要在此空地上种 植花草，为了美观，用一根条形石料 DE将空地隔成面积相等的两部分(D在AB上，E在AC上).(1)设AD x , AE y,求用x表示y的函数y f(x)的解析式，并写出f(x)的定义域；(2)如何选取D、E的位置，可以使所用石料最省？11一 1 一6.解：（1）由题思得，Sa ade S abc，即一x y sin A AB AC sinA,（4 分）224解得y 3 , （5分）x所以f（x） 3, f（x）的定义域为1, 2 . （7分）x（2）在 A

43、DE中，由余弦定理得，2_ 2_ 2 _ _ _DE ADAE2 AD AE cos A222022DEx y 2xy cos 60x y xyx2 3 3, x 1,2, （10 分）x令 x2 t ,则t 1,4,于是 DE2 t 9 3 6 3 3,（12 分）当且仅当t 3,即x 痣时，DE2取最小值出.（13分）所以，当D、E离点A的距离均为73 m时（或AD AE 於（m ）时），DE最短，即所用石料最省.（14分）7. （2011闵行一模）如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两个城镇 A B,它们与MN的距离分别是akm与8km（a 8）, A B在MN上的射影P、Q之间距离为

44、12km ,现计划修普通公路把这两个城镇与高速公 路相连接，若普通公路造价为 50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元.设计部门提交了以下三种修路方案：方案：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口； N方案：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点 K,首 出mQ在K点修一个公共立交出入口；.akmAP方案：从A修一条普通公路到B,再从B修一条普通公路到M高速公路，也只修一个立交出入口.请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案.7.解：方案：共修（8 a）km普通公路和两个立交出入口，所需资金为 Ai 50（8 a） 400 50（a 16）万元；（3分）方案：取B关于MN的对称点B',连AB'与MN交于K,在K修一个出入口，则路程最短，共需资金：A25038）2-2200 50J（a 8）21444万元；（6 分）