四边形中旋转、折叠问题

1、BD交于点0。直线EF过点四边形中的旋转、折叠问题例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长0g9的矩形纸片ABCO将纸片翻折后，点 B恰好落在x轴上，记为B',折痕为 CE已知tan / OB C= 3 .4(1)求B'点的坐标；(2)求折痕CE所在直线的解析式.例题：(1)如图，IqABCD的对角线 AG0,分另1J交 AR BC于点E、F求证：AE=CF(2)如图，将 口 ABCD(纸片)沿过又扪I线交点 0的直线EF折叠，点A落在点Ai处，点B落在点B处。设FB交CD于点G, AB分别交CD DE于点H I。求证：EI=FG。C例题：(2012眦州)如图所示，现有一张边长为

2、4的正方形纸片 ABCD点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接 BP、BH.(1)求证：/ APB4 BPH(2)当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化并证明你的结论；(3)设AP为x,四边形EFGP勺面积为S,求出S与x的函数关系式，试问 S是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.（2012TW宁）如图，已知矩形纸片ABCD AD=2 AB=4.将纸片折叠，使顶点 A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB, C法于点 G F,AE与FG交于点O.（1）如图1,求证：A

3、, G, E, F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2,当4AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点 N是线段BC的中点;（3）如图2,在（2）的条件下，求折痕 FG的长.0rZ?r图1图2解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE/AGFW EGF,. DC/ AB,EFGW AGFEFGW EGFEF=EG=A G，四边形 AGE乱平行四边形（EF/ AG EF=AG,又. AG=G E，四边形AGEF菱形.(2)连接ONG S图2AED是直角三角形，AE是斜边，点。是AE的中点， AED的外接圆与BC相切于点N, .ONL BG 点O是AE的中点，二ON是梯形ABCE的中位线，.，点N是线

4、段BC的中点.(3)作 OM_ AD享图2设 DE=x,贝U MO=x, 2在矩形 ABC邛,/ C=Z D=90 , 故AE为 AED的外接圆的直径.延长MO BC于点N,贝U ON/ CD 四边形MNC谖矩形，MN=CD=4 .ON=MN MO=4 二x, 2 AED的外接圆与 BC相切， . ON是 AED的外接圆的半径, .OE=ON=4 4-x, AE=8- x,2在 RtAED中， ad+dE=aE得 x=DE=1, OE=4 _1x=H, 42 8. FES MED,-1=" -=,DE AD解得：FO=i,15 . FG=2FO=15故折痕FG的长是逛.15对应练习1

5、. （2012?泰安）如图，在矩形ABCD43, AB=2, BC=4,对角线 AC的垂直平分线分别交 AR AC于点E、0,连接CE,则CE的长为（第17题2. （2012?泰安）如图，菱形OABC勺顶点0在坐标原点，顶点A在x轴上，ZB=120° , 0A=2将菱形OABC绕原点顺时针旋转 105。至OA B' C'的位置，则点 B'的坐标为（3. （2012?泰安）如图，将矩形纸片 ABCDgEF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2, BC=3则4FCB与AB' DG的面积之比为（4. 如图，矩形ABC冲，E是AD的中点，将AABEg BE折

6、叠后得到 GBE延长B仅 CD于F点，若Cf=1, FD=2,则BC的长为5.矩形纸片ABCD勺边长AB=4, AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）（试题82页）6 . （2010山东潍坊）如图，直角梯形 ABC时，AEJ±BQ AD/ BQ B6AD, AA2, AB= 4,点 E在AB上，将CBE& CE翻折，使B点与D点重合，则/ BCE的正切值是. （89页）7 .梯形中的对角线（88页）8.1. 图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边

7、等于斜边的一半.这样的图形有【(A)4 个(B)3 个(C)2 个(D)1 个9如图所示，把一长方形纸片沿MNUf叠后，点D, C分别落在D' , C'的位置.若/ AMD =36则/ NM序于(A) 144°(B) 126°(C) 108°(D) 7210. 一副三角板按图1所示的位置摆放.将 DEF绕点A （F）逆时针旋转60°后（图2）,测得CG10cm,则两个三角形重叠（阴影）部分的面 2（A） 75cm（B） （25 25 3） cm2BA (F)Ba(F)-25_2(C) (2525 .3)cm23 50-o(D) (25 一

8、3) cm3例题：在正方形 ABCD勺边AB上任取一点 E,彳EF，AB交BD于点F,取FD的中点 G 连结EG CQ如图（1）,易证 EG=CG且EGL CG.如图（2）,则线段EGD CG有怎样的数量关系和位置关系请直接写出你的猜想（1）将 BEF绕点B 逆时针旋 转90°,图(1)图图(3)CG(2分）(2) EG=CG EG± CG(2分）（2）将 BEF绕点B逆时针旋转180° ,如图（3）,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系请 写出你的猜想，并加以证明.证明：延长 FE交DC延长线于 M连MG / AEM=90 , / EBC=90 , / BCM=90四边形BEMO矩形.BE=CM / EMC=90又 BE=EFEF=CM / EMC=90 , FG=DGmgW FD=FG BC=EM , BC=CDEM=CD EF=CMFM=DM/ F=45°又 FG=DG工 / CMG