主要矛盾微分与积分;次要矛盾离散与连续;一般矛盾逐点与一致

1、主要矛盾：微分与积分；次要矛盾：离散与连续；一般矛盾：逐点与一致第2章 函数的连续性 一切宇宙规律都能用映射描述,数学的全部任务就是研究映射；函数是一种特殊的映射,分析学的全部任务差不多就是研究函数.2.1 集合间的映射定义2.1 设是两个非空集合.若是一个对应规律,使得,有唯一的与对应,则称是从A到B的映射,记成；称为映射的定义域,称为在映射下的像或称为在处的值.例1 给定一个数列,则可将其视为一个映射,其中.映射的二要素: 一、定义域；二、对应规律.符号 对于映射,若,则记,称为在映射下的像.特别地,称为映射的值域.注记2. 对于映射,若非空,则自动地定义了一个新的映射,其中.通常将记为,

2、称为在上的限制.定义2.2 对于映射和,若,总成立,则称映射和相等,记作=.定义2.3 对于映射,若,则称是从A到B上的映射,或称是满射.定义2.4 对于映射,若当时总成立,则称是单射.此时, 自动地定义了一个新的映射,其中.通常将记为,称为的逆映射.定义2.5 若映射既是单射又是满射,则称是从A到B的一一映射,或称是双射,或称是一一对应.定义2.6对于映射,若,则记,称为在映射下的逆像.定义2.7 对于映射和,自动地定义了一个新的映射,其中.通常将记为,称为与的复合映射.注意:一般没有意义；即使有意义,一般也与不相等.注记2. 对于映射,和,易知和都有意义,并且.今后,直接将其记为而不至于产

3、生误解.特别地,对于映射,记 .例2 记为恒等映射,即.若是一一映射,则显然.练习题2.1() 1,2,3,5.2.2 集合的势术语 若能在非空集合和之间建立双射,则称“与具有相同的势”,记为.显然,“”是某些集合之间的一种等价关系,即它满足(1) (自反性)；(2) (对称性)；(3) (传递性).定义2.8 设是一个集合,.(1) 若,使得,则称是有限集,的势为；空集也称为有限集,其势为.(2) 若不是有限集,则称是无限集.(3) 若,则称是可数集.(4) 若既不是有限集,也不是可数集,则称是不可数集.(5) 若是有限集或可数集,则称是至多可数集.集合的势的大小 设和是集合.若与的势不相同

4、,但与的某个子集具有相同的势,则称的势小于的势.例1 整数的全体是可数集.证: 如下图所示,构造一个双射 ，即 是从到的双射.例 2 若是无限集,是有限集,则().证：不妨设和.将的全体元素排成,再取的可数子集.构造一个映射,保持其余的元素不动,则是从到的双射.定理2.1 可数集的任意无限子集是可数集.证： 设是可数集,是的无限子集,要证可数.将的全体元素排成后,的全体元素便自动地排成了.于是,是从到的双射.这说明是可数集.定理2.2 若每个都是至多可数集,则它们的并集也是至多可数集.证：将的全体元素排在第行,如下所示，可将这些元素排成一行.在这一行中去掉前面曾出现过的元素,剩下的那些元素所组

5、成的集合便是.这表明是至多可数集. 定理2.3 有理数的全体是可数集.证：(1) 是可数集.,记,则,故至多可数,因而是可数集.(2) ,可证,故是可数集.这是因为是从到的双射.(3) 是可数集.定理2.4 是不可数集.证：(反证法)假定能将的全体元素排成,用10进制小数表示为 (有尽小数采用一种固定的表示法).,取满足,则,但不会是中的任何一项.一个值得注意的例 所有集合的全体不是集合!证:(反证)若是集合,则和=也是集合.因为,故两者必居其一.这显然与的定义相矛盾.练习题2.2 () 1,2,3,4,6.2.3 函 数函数 称映射是上的函数；当是实数集时,称称映射是上的单变量函数,或一元函

6、数.函数的表示法 通常有公式法、图像法和表格法.函数的和、差、积、商 若都是上的函数,则可定义下述四个新的上的函数；固定的,；,其中.术语 若单变量函数是单射,则也是单变量函数,称为的反函数.定义2.9 对于单变量函数,若当时,总成立,则称在上单调增加(递增)；若当时,总成立,则称在上单调减少(递减)；这两种单变量函数都称为单调函数；还可自然地定义严格单调函数(注意与单调数列的比较).定理2.5 严格递增函数必存在严格递增的反函数；严格递减函数必存在严格递减的反函数.证: 只需证严格递增函数是单射即可.因为当时,和恰有一个成立,故和恰有一个成立,即.单变量函数的图像 称平面点集 为的图像.命题

7、 对于严格单调函数,的图像与的图像关于直线对称.证: 因为之故.例(,6) 设,则存在,使得可被整除.证: ,=.注意到,令便得到=整数.练习题2.3() 3,4,7,8(1),9,10,11.问题2.3() 1,3(1).2.4 函数的极限实数集的极限点(或凝聚点) 设是实数集,.若,的去心-邻域总含有中的点,即满足,则称是的一个极限点(或凝聚点).例1 (1) 等没有极限点；(2) 每个都是的极限点,也是的极限点；(3) 每个都是的极限点；(4) 若,则是的极限点是的极限点；(5) 的极限点只有.命题1 若是的极限点,则或者存在严格递增的数列收敛于,或者存在严格递减的数列收敛于.证: (1

8、) 是的上确界.此时,存在严格递增的数列收敛于.(2) 是的下确界.此时,存在严格递减的数列收敛于.(3) 不是的上确界,也不是的下确界.这种情形不会出现,否则与是的极限点相矛盾.函数的极限 设是上的单变量函数,是的极限点,是常数.若当很小时,也很小,则称当时趋向于；或称当时有极限.定义2.10设是上的单变量函数,是的极限点,是常数.若,使得当时成立,则称当时趋向于；或称当时有极限；或称当时以为极限；或称在处有极限.“当时有极限”这件事用数学符号表示成 或 .注记2.1 将定义2.10中的“”换成“”；“”换成“”；“”换成“”或“”后，仍然可作为“当时有极限”的定义.这里,和是固定的正数.注

9、记2.1 “当时是否有极限”这件事与是否在处有定义无关,只与在的去心邻域上的定义有关.这里,是固定的正数.例2 ,；.证: 当时有.故,使得当时成立,故.定理2.6（极限的四则运算）设是上的单变量函数,是的极限点.若,则(1) ；(2) ；(3) 在附加上条件“处处不取零值和”后，.定理2.7 （比较原理）设是上的单变量函数,是的极限点.若,使得当时成立,并且,则.第一个重要的函数极限 .证: 当时,有,故,.由比较原理便知=0.定理2.8（复合函数的极限） 对于单变量函数和,若,并且,使得当时成立,则.证: ,使得当时成立；,使得当时成立；令,则当时有,故.定理2.9（函数极限与数列极限的关

10、系） 设是上的单变量函数,是的极限点,是常数.那么, ,总成立.证: “.”设.,使得当时成立；,使得当时,成立.故当时,成立.“.”(反证法)假定,使得,都满足.这样便有,从而.这与,相矛盾.例 3 设,是的极限点,是上的单变量函数,则.练习题2.4() 3(1,3),4(2,4),6,9,10.定理2.10（一个很有威力的定理Chauchy收敛原理）设是上的单变量函数,是的极限点.那么,在处有极限的充要条件是,使得当时成立.证: “必要性.”设在处有极限,即,使得当时成立.故当,时成立.“充分性.”给定.设,使得当时成立.,使得当时,都有故.这说明是Cauchy数列,从而存在.于是,当,且

11、时成立.令便得到,此即.定义2.11 (仅对单变量函数有意义) 设是上的单变量函数,是的极限点.若在处有极限,即,使得当时成立,则称当时趋向于；或称当时有右极限；或称当时以为右极限；或称在处有右极限.“在处有右极限”这件事用数学符号表示成 或 或 .类似地,能定义在处的左极限.容易看出,与单变量函数的极限有关的所有结论都能推广到单侧极限的情形.命题2 设是上的单调有界函数.若是的极限点,则在处必存在右极限；若是的极限点,则在处必存在左极限.证: 不妨设在上单调增加,是的极限点,要证在处存在右极限.记.,使得.令,则当时有,从而,故,.定理2.11设是上的单变量函数,是的极限点.那么(1) 当不是的极限点时,；(2) 当不是的极限点时,；(3) 当既是的极限点又是的极限点时,.定理2.12(函数极限的唯一性) 若存在,则它是唯一的.定理2.13(局部有界性) 设是上的单变量函数,是的极限点.若存在,则和,使得当时成立.定理2.14 设是上的单变量