勾股定理解析版

1、勾股定理1、 知识梳理1、 勾股定理1、 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c² 。2、 当整数a,b,c满足a²+b²=c²这个条件时，（a,b,c）叫做勾股数组。常见勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）2. 勾股定理的逆定理若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.三、判断直角三角形1、如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三

2、角形：勾三、股四、弦五）2、其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。3、用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c²=a²+b²，则ABC是以C为直角的三角形；若a²+b²c²，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a²+b²c²，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）.四、勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关

3、系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为（n0）的线段五、直角三角形中，30度所对直角边等于斜边的一半2、 考点突破考点一：已知直角三角形的两边求第三边例1已知ABC中，B90°，AC13cm,BC=5cm，则AB=_.触类旁通1等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为 。考点二：应用三角形的边长表示正方形的面积例2如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为()A4 B6 C16 D55ACBECD90°，DECECD90°，ACBDEC，ABCCDE，ACCE，ABCCDE，BCDE.(如上图)，根据勾股定理的几何意

4、义，b的面积a的面积c的面积，b的面积a的面积c的面积51116.故选C.触类旁通2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。考点三：翻折中的勾股定理例3如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A、2cm  B、3cm  C、4cm  D、5cm  由勾股定理得：AB62+82=100=10，由折叠得：AE=AC=6，DE=CD（设为

5、x）；AED=C=90°，BE=10-6=4，BD=8-x；由勾股定理得：（8-x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B触类旁通3如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EC的长考点四：勾股定理的逆定理例4以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A、1，2，3          B、2，3，4         C、4，5，6  

6、0;     D、5，12，13解析：D 【解析】A、不能,因为1+49; B、不能,因为4+916; C、不能,因为16+2536.; D、能,因为25+144=169故选D触类旁通4如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=1/4BC求证：AFFE 考点五：勾股数例5如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的长度之比可以是（）A1：2：3 B2：5：7 C3：4：5 D4：5：6解析：A、12+2232，故本选项错误； B、22+5272，故本选项错误；C、32+42=52，故本选项正确；D、42+5262，故本选项

7、错误故选C触类旁通5把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）倍A. 2倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 5倍考点六：方位角与勾股定理例6甲、乙两探险者到漠进探险没有了水需要寻找为不致于走散,们用部对话联已知对话机有效距离为5千米.早晨80先出发,他以千米时的速东行,1小时后乙出发,他5千/时的速度向北行进上午10:0,甲、乙二人相距多?还能联系吗?【解析】甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时,走了12千米,即OA=12乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时,走了5千米,即OB=5在RtOAB中,AB2=122十

8、52=169,AB=13,因此,上午10：00时,甲、乙两人相距13千米1513,甲、乙两人还能保持联系答：上午10：00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系触类旁通6如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需    米（精确到0.1m）考点七：最短距离问题例7如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（    ）A、 40 cm     B、  cm  &#

9、160; C、 20 cm     D、 cm解：根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由A处向B处爬行，所走的最短路程是20cm故选C触类旁通7如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？课堂作业在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )Aa=15，b=8，c=17Ba=9，b=12，c=15C.a=7，b=24，c=25 Da=3，b=5，c=7下列各组数为勾股数的是( )A6，12，13B3，4，7C4，7.5，

10、8.5D8，15，16下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，7点A（-3,-4）到原点的距离为( )A3B4C5D7在一个直角三角形中,若斜边的长是13,一条直角边的长为12,那么这个直角三角形的面积是( )A30B40C50D60三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长为( )A9B10C2或9D2或10已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（ ）A12cmBCD在ABCD中，AB=3，BC=4，当ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）AC=5；A+C=180°；ACBD；AC=B

11、DABCD如图,今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是 已知ABC的三边长a,b,c满足+|b2|+(c2)2=0，则ABC一定是 三角形如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形AB、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是 在RtABC中，A=90°，有一个锐角为60°，BC=6若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且ABP=30

12、°，则CP的长为 如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 如右上图，在锐角ABC中，AC=10，SABC=25，BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是写出如图格点ABC各顶点的坐标，求出此三角形的周长。如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟至少飞行的距离.如图,在四边形ABCD中,AB=8,AC=4,ABC=90°,AB=AD,BC=CD,

13、过点D作DEBC,交AB于点E,连接AC,BD,AC与BD交于点F求：（1）四边形ABCD的周长；（2）AF的长度；（3）ADE的面积如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？作业布置1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 1， ，32已知a、b、c为

14、ABC的三边，且满足（ab）（a2+b2c2）=0，则ABC是（ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形3若a,b,c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）A. a=8,b=15,c=17 B. a=3，b=5，c=4C. a=4,b=8,c=9 D. a=9,b=40,c=414在下列条件中，ABC不是直角三角形的是 （ ）A. b2=a2-c2 B. A：B：C=3：4：5C. C=A-B D. a2：b2：c2=1：3：25如图在中， ，AD平分，AC=6，BC=8，则CD的长为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

15、6如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A. B. C. D. 7三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2c2，则此三角形是（）A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形8下列四组数：3、4、5； 、；0.3、0.4、0.5；、，其中是勾股数的有 （）A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组9设a，b，c和d为自然数，则在以下命题中，正确的命题为( )A. a2，a2+1和2a4+2a2+1可为直角三角形的三边长B. 当ab时，a2+

16、b2，a2-b2和2ab可为直角三角形的三边长C. ab+bc，ac-bd和(a2+b2)(c2+d2)可为直角三角形的三边长D. 以上三个命题都不对10若ABC的三边长a，b，c满足(a-b) 2+|a2 +b2 -c2|0，则ABC是( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形11如图，有一只棱长为20厘米的正方形盒子，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体木箱的外表面爬行到CD的中点P的最短路线长为（）A. 厘米 B. 50厘米 C. 厘米 D. 30厘米12如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b a）拼接在一起

17、，则四边形ABCD的面积为（）A. b2+（ba）2 B. b2+a2 C. （b+a）2 D. a2+2ab13在中， ， ，垂足为点D，如果， ，那么AD的长度为_14李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm,40cm,和50cm，则这个教具_（填“合格”或“不合格”）.15等腰三角形腰长为2cm，底边长为 cm，则顶角为_，面积为_16如图所示的一块地， ， ， ， ， ，求这块地的面积_17在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=_. 

18、18如下图左：已知中， ， 于（）若，求的度数（）若， ，求的长 192017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏。台风“玛娃”将一颗竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度. 20已知ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）画出ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的ABC；（2）在（1）的条件下，求点C旋转到点C所经过的路线长及线段AC旋转到新位置时所划过区域的面积.21如图，在离水面高度为5m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5m的速度收

19、绳（1）8秒后船向岸边移动了多少米？（2）写出还没收的绳子的长度S米与收绳时间t秒的函数关系式22如图，在ABC中，BEAC于E，且ABE=CBE（1）求证：AB=CB（2）若ABC=45°，CDAB于D，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H判断线段BH与AC相等吗?请说明理由求证：BG2-GE2=EA2勾股定理参考答案触类旁通2试题分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积试题解析：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2触类旁通3四边形ABCD是矩形，AB=CD=8

20、cm，AD=BC=10cm，由折叠可知：AD=AF=10cm，DE=EF，在RtABF中：BF=AF2-AB2=6cm，FC=10cm-6cm=4cm，设EC=xcm，则DE=EF=（8-x）cm，在RtEFC中：EF2=FC2+EC2，（8-x）2=42+x2，解得：x=3故EC=3cm触类旁通4证明：连接AE，由勾股定理得AF2=42+22=20，EF2=22+12=5，AE2=42+32=25AF2+EF2=AE2，AFE是直角三角形，AFE=90°，即AFFE触类旁通5解析：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c则a2+b2=c2；另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股

21、定理知斜边为=2c即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍故选A触类旁通6解析：坡角为30°，AC=BC÷tan30°=3BC3.5因此AC+BC=5.5即地毯的长度至少是5.5米触类旁通7解：如图，作出A点关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P， 则AB就是最短路线 在RtADB中，由勾股定理求得 AB= (DA)2+DB2= (7+4+4)2+82=17km课堂作业1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.810. 11.480 12.等腰直角 13.10 1

22、4.6或2或415.解：如图所示，满足条件的点P有8个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（5，0）（0，5）（0，）（，0）故答案为：8；（5，0）（答案不唯一，写出8个中的一个即可）16.答案为：517.A(2,2) B(-2,-1) C(3,-2）AB=5 AC= BC= 周长=5+18.解：如图，设大树高为AB=10 m，小树高为CD=4 m，过C点作CEAB于E，则EBDC是矩形. EB=CD=4 m，EC=8 m. AE=ABEB=104=6 m. 连接AC，在RtAEC中，19.解：（1）AB=8，AC=4，ABC=90°，BC=4，AB=AD=8，BC=C

23、D=4，四边形ABCD的周长=2×（8+4）=24；（2）AB=AD，BC=CD，AC是BD的垂直平分线，AFB=90°，BF=，AF=；（3）BD=2BF=，SABD=BDAF=ABDE，DE=，DEBC，AED=ABC=90°，AE=，SADE=AEDE=××=20.解：AB=100km，AD=60km，在RtABD中，根据勾股定理，得BD=80km，则台风中心经过80÷20=4小时从B移动到D点；如图，距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，人们要在台风中心到达E点之前撤离，BE=BDDE=8030=50km，游人在=2.5小时内撤离才可脱离危险 作业布置1C 2D 3C 4B 5C 6A 7C 8D 9B 10C 11C