雅可比行列式的应用

1、雅可比行列式的应用摘要：:本文讨论了雅可比行式的定义和性质在热力学的推导及证明中的应用，同时给出了雅可比行列式在应用中的解题步骤.关键词：雅可比行列式；孤立的均匀物质系统；平衡稳定性条件.1 引言雅可比行列式就是行列式在物理学中的一个最重要的作用，它是热力学进行导数运算的一个有效工具。在这个体系中利用不同的数学手段和方法寻找理论推导过程总会得到殊途同归的效果。在热力学与统计物理中，雅可比行列式是热力学进行导数运算的一个有效工具，是循环关系、链式关系、倒数关系，复合函数求导这些方法及它们之间的综合运用是一种等价形式。因此，雅可比行列式广泛应用于各种热力学关系式的推导及证明中。在我们采用雅可比行列

2、式变换的方法来解决热力学关系式证明问题时，可以明显感觉到雅可比行列式这一有效工具的运用能大大减化推导步骤，更加明确推导思想且易于掌握。我们可以采用雅可比变换的方法解决所有的热力学一阶偏导的转换及其热力学关系式的证明问题。2 雅可比行列式的定义及其性质2.1 雅可比行列式的定义雅可比行列式不同于其他行列式，它的构成元素是偏微分。设独立变量的函数x，y有：用J(x，y)表示x，y的行列式, 即：则称为雅可比行列式。雅可比行列式的另一种表示形式为：.2.2 雅可比行列式的性质 性质2.2.1 . 性质2.2.2 . 性质2.2.3 . 性质2.2.4 设有，则 . 证明：可看作是x，y的隐函数，则

3、（2-1）故由复合函数求导公式得： （2-2）为了求出（2-2）式中的对（2-1）式求的偏导： （2-3）由（2-3）得：将所求得的代入（2-3）式得：同理有：故： . 性质2.2.5 将雅可比行列式应用于全微分关系式： 中，有： . 证明：对全微分式两边同时除以，有 由性质4有： 故： 由于： =故 性质5又可以写成： .2.3 基本热力学等式和基本偏导关系 （1）热力学基本等式:其中，内能U的特性参量是；焓H的特性参量是；自由能F的特性参量是；自由焓的特性参量是。从上面的 4个基本等式以及从数学上已知的全微分性质，立刻可得到8个偏导数关系。例如，从（1）式可得和，其余以此类推。 （2）单位

4、雅可比式.证明： 根据全微分的性质，由热力学基本方程式（1）式，可得,所以。单位雅可比式一经证明，以后便可直接使用。 （3）基本偏导数热力学偏导数的计算，最终应该用可测量来表示，可测量有：定压膨胀系数 定容压强系数等温压缩系数定压热容量定容热容量其中，满足关系，与满足关系。所以中只有两个是独立的；与之中只有一个量是独立的。在上述5个物理量中，有3个是最易测量的，它们是。我们就选与之相联系的3个偏导数、及作为基本的热力学偏导数。2.4 雅可比行列式解题步骤1 根据 ，将偏导数写成雅可比式。2 进行变量变换。分为两类进行讨论： （1）第一类偏导数以各代表中的任一变量，若等式两端只含一项，则进行一个

5、变量代换： .这样，可直接写成偏导数，从而避免了雅可比式的展开。若等式的一端含有2项及2项以上，则变换的目的应使其能按雅可比行列式的定义式展开成两项： 且. （2）第二类偏导数 这一类偏导数的特点是内能U，焓H，自由能F和自由焓均是某一对特定独立变量的特性函数。为了便于应用上面叙述的8个偏导数之间关系，故变换的中间变量应为该特性函数相应的特性参量。设代表中的任一函数，为相应的特性参量，又设表示中的任一变量。若出现在偏导数分子上，则用 进行变换： 若不在偏导数分子上，则可以用变换为 .3 雅可比行列式的应用在应用雅可比行列式推导热力学关系或推证热力学结论时,关键在于准确地选取中间参量，掌握中间参

6、量的选取方法,从而简化运算过程。下面,我们将应用雅可比行列式，根据熵判据和内能判据详细推证孤立系统的平衡稳定性条件及其多种表达形式。下面先来介绍一些雅可比行列式的应用的例子：3.1 根据熵判据 ,推求孤立的均匀物质系统的平衡稳定性条件.熵判据是指系统在内能 U和体积 V不变的情形下,稳定平衡态的熵 S最大. 假设我们研究的是一个由子系统和媒质构成的孤立系统,以不带下标的量表示子系统的热力学量,带有下标 0的量表示媒质的热力学量,如图 1所示:图3-1 由子系统和媒质构成的孤立系统对于整个孤立系统中的内能和体积保持不变, 它的稳定平衡状态满足: （3-1） （3-2）当的一级变等于零可得系统的平

7、衡条件这里不再赘述.在保持不变的情形下,发生虚变动时有 由熵判据可知,如果整个系统熵函数的二级微分小于零,即 （3-3）则熵函数将具有极大值,系统将处于稳定平衡态。由于媒质比子系统大得多 (),当发生虚变动使子系统的内能和体积有改变时,有 因此,可以忽略，（3-3）式近似为。将S看作U,V的函数S=S(U,V),对S作二元泰勒展开，并取二次项为 （3-4）将（3-4）式化为标准二次型得： （3-5）由于U,V是独立变量，要使（3-5）式成立必同时满足 （3-6） （3-7）由关系式显然有 （3-8） （3-9）将（3-8）式代入（3-6）式得 （3-10）考虑到则 （3-11）根据（3-6）式

8、，（3-7）式变为 （3-12）用矩阵表示（3-12）式为 （3-13）由(3-11)和(3-13)式得: (3-14)综合考虑（3-11）和（3-14）式，要使对于各种可能的虚变动都小于零,必有： (3-15) 则(3-15)式称为均匀系统的平衡稳定性条件。与传统方法相比, 这种应用雅可比行列式的推导过程简明思路清晰,易于理解。3.2 根据内能判据, 推求平衡稳定性条件 .内能判据指系统在熵 S和体积 V不变的情形下, 稳定平衡态的内能 U最小。 将内能判据用于同样的，由子系统和媒质构成的系统,在整个系统的熵和体积保持不变的条件下，它的稳定平衡状态满足： （3-16） （3-17）在不变的情

9、形下，发生虚变动时，有 （3-18） （3-19）整个系统内能为极小要求： (3-20)由于媒质比子系统大得多(),当发生虚变动使子系统的熵和体积有改变时有 .因此，可以忽略，（3-20）式近似为 (3-21)将U看作S,V的函数，作二元泰勒展开 （3-22）可以证明（3-22）式恒为正的条件为 (3-23) (3-24)根据热力学基本方程得 (3-25) (3-26)由（3-25）式得 (3-27)将（3-27）式代入（3-23）式，则 (3-28)结合（3-23）式，则（3-24）式为 (3-29)用矩阵表示（3-29）式为 (3-30)其中(3-30)式给出了系统平衡稳定性条件的另一种表

10、达式。另外，（3-30）式还可以通过（3-14）式直接推导。由（3-14）式引入雅可比行列式作变换 (3-31)由于代入（3-31）式 (3-32)由此得证。3.3 推求平衡稳定性条件的另一种表达式.将雅可比行列式引入（3-32）式得 = (3-33)其中运用到考虑到则（3-33）可写为 (3-34)则（3-34）是关于热平衡稳定性的另一种表达式。3.4 利用雅可比行列式推导麦氏关系式1 由于热力学函数是态函数，是全微分，有全微分条件给出的四个麦氏关系式： （3-35）下面用雅可比行列式来证明麦氏的关系式: 首先证明公式 （3-36）其中是任意两个独立变量。 证明：由于是两个独立变量，我们可令

11、均为的函数 由热力学基本方程得： = = （3-37） 又因为 （3-38） 由（1），（2）比较系数我们可以得到： （3-39） （3-40） 由是全微分的充要条件， （3-41）（3-39）式对y求偏导数。（3-40）式对x求偏导数，利用（3-41）式得到：即得到（3-36）式：2 将（3-36）式中的变量x,y用变量S,P,T,V代换: 令x=S,y=V代入（3-36）式得到：.令x=P,y=S代入（3-36）式得到：.令x=T,y=V代入（3-36）得到：.令x=T,y=P代入（3-36）得到： .由此得到了四个麦氏关系（3-35）。3.5 证明能态方程. 证明： = = =.3.6

12、求偏微分的可测量表达式 1 2 解：1 上式中,可以测量，故为我们所要求的表达式。 2 上式中,可以测量，故为我们所要求的表达式。4 小结本文介绍了雅可比行列式的定义及其性质，讲述了雅可比行列式的定义、性质和根据熵判据以及内能判据详细推求了孤立的均匀物质系统平衡稳定性的条件及其他表达形式。引用雅可比行列式的优点是：雅可比行列式使得热力学推导由微分运算变为代数运算，推证方法简便，过程快捷，思路明确，易于掌握。参考文献：1汪志诚.热力学·统计物理M.北京:高等教育出版社,2003:1527.2潘丽云,潘丽娜.雅可比建立椭圆函数理论的历史分析J.西南电子科大大学学报,2006:149152.3陈银兴.雅可比行列式及其在热力学中的应用J.黄石教育学院学报,1994:66744欧阳容百.热力学·统计物理M.3版.北京:科学出版社,2007:1315郑瑞伦,陈洪.热力学·统计物理学 教学大纲的编写J.西南师范大学学报,1997：5763.6顾纳莱.热力学·统计力学M.1版.北京