导数定义及公式

1、导数:1.若 f(x)=c,则f (x)2.若 f(x)=xn (n Q?),则 f (x)3.若 f(x)=si门乂,贝卩f ( x)=4.若 f(x)=cosx侧 f ( x)=5.若 f(x)=y 则 f ( x)=6.若 f(x)=ex,则f (x)=7. 若 f(x)=8. 若 f(x)=loga x，则 f ( x)=ln x,则f ( x)=9.【f(x) 士 g(x)】10. 【f(x).g(x)=f一 r f(x) 11. 【TT =g(x)f12. 【cf(x)=13. y= f(u),u = g(x)，则 y=f (g (x)；yx，=sin 2x=#导数：一般地，函数y

2、=f (x)在x=x0处的瞬时变化率是?x斗二f(X0+?;)-f(x 0),称函数 y=f ( X)在 x= X0处的导数，记作:?x -0 Ax ?x to ?x/ /、lim Ay lim f(xo+?x )-f(x o)f (x)或y|x= X。即 f (xo)=怎一。?x 0 Ax ?x 0?x#函数y=f (x)在点X。处的导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P (Xo, f (Xo)处的切线斜率，也就是说曲线 y=f (x)在点 P ( Xo , f ( Xo )处的切线斜率是f ( Xo )。相应地，过p点的切线 方程为：y-f (xo) =f (Xo) (x-Xo)#

3、导函数：如果函数 y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都可导, 就说函数f (x)在开区间(a, b)内可导。若函数f (x)在开区间(a, b)内可导，贝S f (乂)在(a, b)内每一点的导数构成一个新 函数，把这一新函数叫做f (x)在开区间(a, b)内的导函数(简 称导数)记作f (x)或y或y xo(X) =y= A=?x 0 Ax ?x 0?x、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a, b)内,如果f (x) 0,那么函数y=f (x)在这个区间内单调递增；如果 f (x) 0,则f (x)严格增函数；如果f (x) 0是f (x)在此区间上为增函

4、数的充分而不必要条件。求函数单调区间的步骤：1 .确定y=f (x)的定义域；2 求导数f (x),求出f ( x) =0的根；3 .函数的无定义点和f (x)= 0的根将f (x)的定义域分成若干区 间，列表考查这若干区间内f (X)的符号，进而确定f (x)的单 调区间。注意：A .如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个 这些单调区间不能用“U”连接，只能用逗号或“和”字隔开。B.求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数 的定义域。二、函数的极值：1 .定义，设函数f (X)在点Xo附近有定义，如果对Xo附近的 所有点，都有f (X) f(Xo)，则称 f( Xo )是函

5、数f (x)的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值 点，极大值和极小值统称极值。2 判断f (Xo)是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f (X)；第二步，求方程f (x)=0的根；第三步，检查f (x)在f (X)=0的根左右两侧的值的符号；1 如果“左正右负”，那么f (X)在这个根处取到极大值；2 如果“左负右正”，那么f (x)在这个根处取到极小值；3 .如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 f (x)在这 个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程f ( x )=0的根，顺次将函数的定 义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。函数在极值点的导数为0,

6、但导数为0的点不一定是极值点， 如函数f (x) = ?,点x =0就不是极值点，但？(0)=0;函数的极大值不一定大于极小值；在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点三函数的最值:设函数y=f （x）是定义在区间a , b上的函数，y=f （x）在 区间（a, b）内有导数，求y=f （x）在a , b上的最大值与最小值， 其步骤为：先求函数y=f （x）在（a, b）内的极值；再将函数y=f （x）的 各极值与端点的函数值f （a）、f（ b ）比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。如果在区间a，b上，函数y=f（x）的图象是一条连续不 断的曲线，则函数

7、在a，b上一定能够取得最大值和最小值， 并且函数的最值必在极值点或端点处取得。提示：1 .若函数y=f （x）在区间a，b上单调递增，则f （a）为最小值，f （b） 为最大值；若若函数y=f （x）在区间a，b上单调递减，则f （a）为最大值，f（b）为最小值。2 .图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果 图象连续不断的函数在开区间（a，b） 上只有一个极值，则该极值就是最值。3 .函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求 可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论，其是极大值还是极小值， 只需将导数为0的点的函数和端点函数值时行比较。在解决

8、实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义2只 有一个点使f （ x ）=0的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能 知道是最大（小）值。3不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来， 而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。四.定积分及应用定积分定义：若函数y=f (x)在区间a , b上连续用分点a=x0 x1 ? ? xi-1 xi xn二b,将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi-1 , Xi上任取一点E (i=1 , 2, 3, ? n),b a作和式 弓1 f ( E) ?x= zn=i -f( E),当n-K时，上述和式无 限接近某个常数，这个

9、常数叫 函数y=f (x)在区间a , b上定 积分，记作 / f (x) dx。即 f f (x) dx = n吹 寻 ( E) aan其中f (x)叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。定积分f f (x) dx不是一个表达式，是一个常数。a定积分几何意义：从几何上看，若函数y=f (x)在区间a , b上连续且恒有f (x)0,那么定积分f f (x) dx表示直线ax=a,x=b (ab), y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面 积；定积分性质：f kf (x) dx=k f f (x) dx(k为常数)aaff(x) 士 g( X ) dx= f f (x) dx 士

10、fg( x) dxf f (x) dx = - f f (x) dx以上是线性性质，下面是对区间可加性f f (x) dx = f f (x) dx + f f (x) dx (a ? ?aab微积分基本定理-牛顿-莱布尼兹公式C一般地，如果f (x)在区间a , b上的连续函数，并且F(x)= f(x),那么 f f (x) dx =F( b)-F( a)。定积分的简单应用: 一、求平面图形面积的应用1.定积分与平面图形面积的关系通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也 可为0 .(1) 当对应的曲边梯形位于X轴上方，定积分值取正值，且 等于曲边梯形的面积；(2) 当对应的曲边梯形位于X轴下方，定积分值取负值，且 等于曲边梯形面积的相反数；(3) 当位于X轴上方的曲边梯形的面积等于位于X轴下方的 曲边梯形的面积时，定积分的值为0,且等于位于X轴 上方的曲边梯形的面积减去位于X轴下方的曲边梯形的 面积。2 .利用定积