专题八十定积分应用

1、专题八 定积分应用几何应用(一)平面图形的面积1.直角坐标系中（以x or y为积分变量）模型（X型）由两条连续曲线y = f (x)、y = g(x)、直线x = a、x = b（a<b）所围成的平面图形D的面积模型（Y型） 由两条连续曲线x = j (y)、x = y (y)和直线y = c、y = d（c<d）所围成的平面图形D的面积.2极坐标系中（以q 为积分变量）模型 （q 型）设r = j (q )与r = y (q )在a, b上连续, 且j (q ) ³ y (q )³ 0，由r = j (q )、r = y (q )、射线q = a、q = b

2、 所围成的曲边扇形D的面积3参数形式表出的曲线所围成的面积曲线C的参数方程， ，曲边梯形(二)平面曲线的弧长：弧微分1直角坐标系设光滑曲线C：(axb),则；弧长2参数方程所表曲线的弧长设光滑曲线C：(a £ t £ b)，则；弧长3.极坐标系设光滑曲线C：，则(a £ q £ b)，这是以q 为参数的曲线弧的参数方程，则；弧长(三)特殊的空间图形的体积1平行截面面积为已知的立体的体积 设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面z=c和z=d所围成，z轴每一点z(c zd)且垂直于z轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数则立体体积2绕坐标轴旋转的旋转

3、体的体积(1)平面图形由连续曲线与直线，（）和x轴围成绕x轴旋转一周所得旋转体的体积；(2)平面图形由连续曲线与直线，（）和y轴围成绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积注：有时需将所求体积表示为可以直接用公式表示的几部分体积之和或差。 结论也可由三重积分得到 (3)“柱壳法”设函数f (x)在区间a, b上连续, 且a³ 0. 由曲线y = f (x)、直线x = a、x = b及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积；类似地，由连续曲线x = j(y)、直线y = c、y = d（d>c³ 0）及y轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积例1 求曲线

4、所围成的平面图形的面积.解 去掉绝对值曲线为：另解 令.例2星形线所围图形的面积_解 用参数方程 练 设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为. 证明：存在唯一的,使得. 取何值时两部分面积之和取最小值？例3设抛物线过原点，当，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为，试确定，使此图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积V最小。解 由于曲线过原点故，由题设可知，即，解得，故因为 ，根据实际问题，可知，时，体积最小。例4（03）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.（1）求D的面积A;（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转

5、体的体积V.专题九 广义积分利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.例1 解1 .解2 例2计算例3 求专题十 与其它知识点的结合例1 已知，证明级数收敛，并求其和。例2利用幂级数计算积分 解 ； 于是 补充专题 例1设在内可导，且，又，求解 令得，则 即例2 已知，求.解 因，故，两边对求导得故 即或当时,令,则,此时两边积分得 而 所以,即例3设函数是由确定的隐函数，求（换元法）提示：令故化为参数方程练：设是由方程确定的函数,求.例4设，则 = 提示：例5 ，则是 （ ）（A）正常数，（B）负常数， （C）恒为0，（D）不为常数。例7 利用变量代换得定积分的方程求之解

6、：令，则例8解： 所以 例9计算定积分，是正整数，并求极限例10设是x到离x最近的整数的距离，求。提示：是周期为1的函数例11设,()证明是以为周期的周期函数;()求的值域.解 () ,设, 则有 ,故是以为周期的周期函数.也可()因为在上连续且周期为, 故只需在上讨论其值域. 因为,令, 得, , 且, ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是. 例13连续，且当时，求解：令，由于则 例14已知为非负连续函数，且时，求提示：因为，令处理例15设函数f(x)连续，且，求极限解 由于,于是 = =例16连续，且求例17设在a, b上连续, f (x)在(a, b)内二阶可导, f (a) = f (b) = 0, , 求证:(1) 在(a, b)内至少有一点x , 使得; (2) 在(a, b)内至少有一点h, h ¹ x , 使得.证 （1）， ，例18证：证 例19设在上单调增加，在连续，证明： 证：由cauchy不等式由于，上式左边非负，所以两边平方即得例20设f(x)在0,1上连续，且对 有证明： 证 注:区间可加性的一种用法例21设在上连续可微，证明：对任意的，有。提示：，例22 设在上连续可导，证明：对于，有例23 例24设在区间连续，,