第二章信号系统的时域分析

1、2.1 连续时间系统的描述2.1.1 微分方程的建立与求解 线性时不变（LTI）系统是最常见最有用的一类系统，描述这类系统输入输出特性的是常系数线性微分方程常系数线性微分方程。从系统的模型微分方程出发，在时域中研究输入信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法，这种方法就是时域分析法。2.1 连续时间系统的描述( )0i t ( )0u t ( )( )RRutRit( )( )RRitGut1( )( )tccu tidC( )( )ccdu ti tCdt( )( )LLdi tutLdt1( )( )tLLi tudL对任一节点，有 对任一回路，有 对于电阻R：电容C：电

2、感L：2.1 连续时间系统的描述例例2-12-1 右图是一阶线性时不变系统。根据KVL： 根据VCR： ( )( )( )Rcf tutu t( )( )RutRi t( )( )cdu ti tCdt( )( )( )ccdu tf tRCu tdt整理得 ：( )11( )( )ccdu tu tf tdtRCRC响应及其各阶导数激励及其各阶导数2.1 连续时间系统的描述例例2-2 右图是二阶线性时不变系统。 ( )( )( )ci tf ti t根据VCR： 根据KCL：根据KVL： ( )( )( )cRLu tutu t( )( )RutRi t( )( )ccdu ti tCdt(

3、 )( )Ldi tutLdt 11( )( )( )( )( )cccRRututu tf tf tLLCCLC2.1 连续时间系统的描述n阶LTI连续系统 ，其微分方程的一般形式为：( )(1)()(1)1010( )( )( )( )( )( )nnmmnmmytayta y tb ftbftb f t( )y t( )f t式中，为系统的响应变量（电流或电压），为系统的激励信号（电流源或电压源）。 2.1 连续时间系统的描述 连续时间系统可以用N阶常系数微分方程描述。因此求连续时间系统的响应可以转化为求解微分方程。求解微分方程的方法一般有两种：时域经典法和变换域法。 2.1.2 连续时

4、间系统的响应2.1 连续时间系统的描述2.1.2 连续时间系统的响应1. 时域经典法 时域经典法可以把系统响应分为齐次解和特解求解，或者用时域卷积法，把系统响应分为零状态响应和零输入响应求解。用齐次解和特解求解的一般思路和步骤是： (1)建立系统的数学模型，即系统的微分方程； (2)根据方程的特征根确定齐次解的形式； (3)根据方程右边激励信号的形式确定特解形式； (4)将齐次解和特解相加得到方程的全解： (5)根据初始条件求解待定系数。2.1 连续时间系统的描述( )( )( )ZIZSy tytyt 线性动态电路的完全响应通常可分为零输入响应(ZIR,Zero-Input Response

5、)和零状态响应(ZSR,Zero-State Response)两部分，即2.1.2 连续时间系统的响应2.1 连续时间系统的描述2. 零输入响应（零输入响应（Zero-Input Response） 从观察的初始时刻起，不再施加输入信号（即零输入），仅由该时刻系统本身具有的初初始状态始状态所引起的系统响应称为零输入响应，或称为储能响应。2.1 连续时间系统的描述0t 0t(0 )cu(0 )Li(0 )cu(0 )Li在研究以后的响应时，时的值和称为初始状态初始状态，而时的值和称为起始值（起始条件）起始值（起始条件）。 0t2.1 连续时间系统的描述零输入响应可通过求解线性齐次微分方程得到。

6、例例2-3 解：步骤一：写出系统的微分方程：( )11( )( )ccdu tu tf tdtRCRC( )( )0ccdu tu tdt步骤二：零输入响应即输入为0。微分方程可化为：步骤三：解该齐次微分方程：)()0()()0()(tueuteututctcc故系统的零输入响应为)(2)(tuetutc2.1 连续时间系统的描述3. 零状态响应（零状态响应（Zero-State Response） 在初始状态为零的条件下，系统仅由外加输入（激励）信号引起的系统响应，称为零状态响应，或称为受激响应。2.2 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应1. 冲激响应 系统的冲激响应属于零状态响应，它的定义如

7、下：LTI系统在零状态条件下，由单位冲激信号引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。2.2 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应一般地，形如 的一阶系统，在作用下其微分方程为则冲激响应为( )( )( )y tay tbf t( )( )( )y tay tbt( ) t)()(tubethat2.2 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应2. 阶跃响应 系统的阶跃响应属于零状态响应，它的定义如下：LTI系统在零状态条件下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。2.2 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应( ) t( )( )( )y tay tbt一般地，形

8、如 的一阶系统，在作用下其微分方程为则阶跃响应为( )( )( )y tay tbf t)(1)(tueabtgat2.2 连续时间系统的冲激响应与阶跃响应h(t)与g(t)的关系：)()(tut)()(tudt有，利用线性系统的性质而)()()()(tgtutht)()(tgth)()(tgdht 前面我们学习了一阶系统零状态响应的求法。若我们碰到二阶，三阶等多阶系统，要求解其系统的零状态响应时，解微分方程的方法就会比较复杂。 那么，对于一般的LTI系统，冲激响应h(t)已知，对于任意的输入信号如何快捷的求解出系统的ZSR？h(t)任意f(t)(tyzs2.3连续时间系统的卷积分析方法二者做

9、卷积运算定义为和对于任意两个信号),()(21tftfdtfftftf)()()()(2121积分结果一般是关于参变量t的函数。2.3.1 连续信号的卷积积分及其性质：1. 卷积解析法2.3连续时间系统的卷积分析方法图形扫描法的步骤：)(),(21fft，得到换为把)()(22ff，得到替换反褶，用)()(12112tfttf，得到替换，用平移)()()(),()()()(12112121tfftftfftff然后求积分值相乘，得到与函数函数)()()()(212tftftftf轴平移，可得到连续地沿将波形卷积的结果一定是关于t的函数。2. 卷积图解法例：求卷积积分。-220t)(1tf2*2

10、0t)(2tf3/4-220)(1f220)(2f3/4-20)(2f3/4-220)(1f20)(2tf3/4t-2tt-2t)(2tf-20t)()()(21tftftf2432.3连续时间系统的卷积分析方法3. 卷积的性质（1）交换律 )()()()(1221tftftftf)(t把积分变量改换成，即可证明此定律2.3连续时间系统的卷积分析方法（2）分配律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。)(1th)(2thf(t)(tyzs+并联系统的)()()(21ththth

11、)()()()()()(21ththtfthtftyzs2.3连续时间系统的卷积分析方法（3）结合律 )()()()()()(321321tftftftftftf结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。串联系统的)()()(21ththth)(1th)(2thf(t)(tyzs)()()()()()(21ththtfthtftyzs2.3连续时间系统的卷积分析方法（4）延时特性： )()()()()()(2121222111tttutttyttuttfttuttf 根据时不变特性，有)()()(21tytftf若2.3连续时间系统的卷积分析方法（

12、5）微分特性 ： )()()()( )()(212121tftftftftftf 两函数卷积后的导数等于其中一函数导数与另一函数之卷积。2.3连续时间系统的卷积分析方法（6）积分特性： )()()()()()(212121tfdfdftfdffttt 两函数卷积后的积分等于其中一函数积分与另一函数之卷积。2.3连续时间系统的卷积分析方法4. 奇异信号的卷积)()()()()(111ttuttftttutf)()()()()(tftftttf)( )()()()(tfttfttf某函数与冲激函数的卷积就是它本身。利用微分特性tdftutf)()()(2.3连续时间系统的卷积分析方法2.3.2 连

13、续系统的卷积分析方法：LTI系统任意f(t)(tyzsdtftf)()()()(t)(th)(ntp)(nth)()(ntpnf)()(nthnf)(tp)(thnntpnf)()(nnthnf)()()()(),()(,),()(, 01ththttpdntftf逼近dthftyzs)()()()()(ttf)()(thtf若LTI系统的f(t)，h(t)已知，系统的零状态响应为dthfthtftyzs)()()()()(h(t)任意f(t)(tyzs)()()()()(tgtftgtftyzs注意事项：若信号f(t)，h(t)都为因果信号，dthfthtftytzs0)()()()()(例

14、?)()()(),()(tytutftuethzst系统的零状态响应时对应求当激励为已知系统的冲激响应)()1 ()()()()()(tuetuetuthtftyttzs从例题可看出，系统时域分析是借助卷积来实现的。所以，理解卷积的物理概念很重要。其次，就是卷积的计算是分析的基础。f(t)(tyzs)(1th)(2th)(1th)(2thf(t)(tyzs+2.4.1 差分方程描述：2.4 离散时间系统的描述0101( )(1)()( )(1)()NMa y na y na y nNb f nb f nb f nM 离散时间系统，简称离散系统，指输入信号是离散信号，输出也是离散信号的系统。 离

15、散时间LTI系统可以用常系数线性差分方程来描述，其一般形式表示为： 例例1：y(n)表示一个国家在第表示一个国家在第n年的人口数，年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡分别代表出生率和死亡率，是常数。设率，是常数。设f(n)是国外移民的净增数，则该国在第是国外移民的净增数，则该国在第n+1年的人口总数年的人口总数y(n+1)为多少？为多少？y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+f(n)=(a-b+1)y(n)+f(n)所以，有所以，有 y(n+1)+(b-a-1)y(n)=f(n) 例例2：某人还款某人还款f(n)元元 ，银行月利息为，银行月利息为r ，试问用户在第，试问用户在第n

16、个月末的欠款余个月末的欠款余额额y(n)?有有 y(n)=(1+r)y(n-1)-f(n)2.4 离散时间系统的描述1.经典法基本步骤：1）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）；）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）；2) 写出特征方程，并求出特征根（自然频率）；写出特征方程，并求出特征根（自然频率）；3）根据特征根，求对应齐次方程通解）根据特征根，求对应齐次方程通解y0(k)；4）根据激励形式求非齐次方程特解）根据激励形式求非齐次方程特解yt(k) ；5）写出非齐次方程通解）写出非齐次方程通解 y(k)= y0(k) + yt(k) ：6）根据初始值求待定系数；）根据初始值求待定系数；7

17、）写出给定条件下非齐次方程解。）写出给定条件下非齐次方程解。不同特征根对应的齐次解形式 常用激励信号对应的特解形式 2.零输入响应和零状态响应2.4.2 离散时间系统的模拟 系统的联结方式有三种:1. 系统的级联12( )( )*( )( ) .( )ry nf nh nh nh n12( )( )( ) .( )rh nh nh nh nh(n)2.4.2 离散时间系统的模拟2. 系统的并联12( )( )*( )( )( ) .( )( )ry nf nh nf nh nf nh nh(n)12( )( )( ).( )rh nh nh nh n2.4.2 离散时间系统的模拟3. 系统的反

18、馈2.5 离散系统单位冲激响应与单位阶跃响应 单位冲激响应求解方法: 迭代法和等效初始条件法。2.5 离散系统单位冲激响应与单位阶跃响应 1） 迭代法 一阶系统一阶系统00)()() 1()(kkykfkayky当当 f(k)= (k), y(k)=h(k)时，有时，有 )() 1()(kkahkh00)()() 1()(kkhkkahkh1)0() 1()0(ahh)() 1 ()0() 1 (aahh2)() 2() 1 () 2(aahh)()()(nUanhn)()()(kUakhk2.5 离散系统单位冲激响应与单位阶跃响应 1） 迭代法高阶系统：高阶系统：)()2(6) 1(5)(k

19、fkykyky解：解：例：例：求单位序列响应求单位序列响应h(k)，已知描述系统的差分方程为，已知描述系统的差分方程为)() 3( 3)2(2)(kUkhkk)() 3()2(11kUkk3,221EE10652 EE)() 3()2()(21kUAAkhkk)()2(6) 1(5)(kkhkhkh)0()2(6) 1(5)0(hhh) 1 () 1(6)0(5) 1 (hhh)0(21AAh)3()2() 1 (21AAh521A32A递推求初值：递推求初值：代入通解求待定系数：代入通解求待定系数：2.5 离散系统单位冲激响应与单位阶跃响应 2. 单位阶跃响应单位阶跃响应求解方法主要有： （

20、1）用经典法求解差分方程； （2）利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系： nkg nh k( )( )(1)h ng ng n， 2.6 离散系统的卷积和分析方法 2.6.1离散信号的卷积和及其性质1.图解法求卷积和( )( ) kf nh nf k h nk1）f(k)、h(k) f(m)、h(m)2） h(m) h(-m) （折叠）（折叠）3） h(k-m) （平移）（平移）4） f(m) h(k-m) （相乘）（相乘）5） 求和计算求和计算)(*)()(khkfky解解：01. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky2.6 离散系统的卷积和分析方法 2. 卷积和的性质（1）交换律：1221( )( )( )( )f nfnfnf n（2）结合律：1212( )( )* ( )( ) ( )* ( )f nfnh nf nfnh n（3）分配律：1212( )( )* ( )( ) ( )* ( )f nfnh nf nfnh n2.6