初学一次函数的技巧

1、初学一次函数的技巧（一）函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了唯一一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数.其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。当x=a时，函数的值叫做当x=a时的函数值。自变量x和因变量y有如下关系时： y=kx （k0） 或y=kx+b （k0，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。（此时k叫斜率，b叫直线在y轴上的截距） 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为任意不为零实数） 正比例函数图像经过原点自变量的取值范围（即函数的定义域），自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。函

2、数的增减性（即函数的单调性）：图像上升，y随x的增大而增大（这时函数叫增函数），图像下降，y随x的增大而减小（这时函数叫减函数）一次函数图像 1作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表一般取两个点,根据两点确定一条直线； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3函数不是数，它是指某一变量过程中两个变

3、量之间的关系。 4k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比) 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当b0时，直线必通过一、二象限； 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点

4、O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）初学一次函数的技巧（二）一次函数应用题的解题方法核心提示：一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误较多。但是只要掌握了以下3种解题方法，任何与一次函数应用题有关的问题都能迎刃而解。一.使用直译法求解一次函数应用题所谓直译法就

5、是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。例题1东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；乙：按购买金额打9折付款。某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书

6、法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10）y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x>=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25若y甲-y乙=0解得x=50若y甲-y乙>0解得x>50若y甲-y乙<0解得x<50当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选择甲

7、种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙种优惠办法付款省钱。（3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费用为y=25a+25×0.9×（10-a）+5×0.9×（60-a）=495-2a。故当a最大（为10）时，y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最省钱。说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题

8、。二.使用列表法求解一次函数应用题列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。例题2某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案

9、可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件产品每件产品需要甲种原料（kg）每件产品需要乙种原料（kg）每件产品利润（元）件数A93700xB410120050-x根据题意得：解不等式组，得30<=X<=32因为x是整数，所以x只可取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。所以，生产的方案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种

10、产品31件，B种产品19件；生产A种产品32件，B种产品18件。（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。由题意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）因为-500<0所以y随x的增大而减小,当x=30时，y的值最大因此，按（1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大最大的总利润是：-500×30+60000=45000（元）说明：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳生产方案。三.使用图示法求解一次函数应用题所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数

11、关系的解题方法。此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。例题3.某市的C县和D县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t。该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠给C县和D县。已知A、B两县运资到C、D两县的每吨物资的运费如下表所示：A县B县C县4030D县5080（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w（元）关于x（t）的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。分析:本题的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息。解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+5012-(10-x