高等数学复习提纲 同济大学 下册

1、高等数学复习提纲一、考试题型1填空题6题2计算题8题二、知识点1平面及其方程。例题：一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为 , 所求平面的方程为 (x-1)+(y-0)-3(z+1)=0, 即x+y-3z-4=0. 2 空间直线及其方程。例题：求过点(2, 0, -3)且与直线垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量, 即 . 所平面的方程为 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0, 即 16x-14y-11z-65=0.例题：求过点(3, 1, -2)

2、且通过直线的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线的方向向量s1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为 . 所求平面的方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0, 即 8x-9y-22z-59=0. 3 旋转曲面。 例题：将zOx坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z换成得旋转曲面的方程y2+z2=5x. 例题：将zOx坐标面上的圆x2

3、+z2=9绕z轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x换成得旋转曲面的方程x2+y2+z2=9. 4. 多元复合函数求导，隐函数求导。例题：求函数 的全微分 解 .例题：设z=u2ln v, 而, v=3x-2y, 求, . 解 , . 例题：设z=ex-2y, 而x=sin t, y=t3, 求. 解 . 例题：设sin y+ex-xy2=0, 求. 解 令F(x, y)=sin y+ex-xy2, 则Fx=ex-y2, Fy=cos y-2xy, . 例题：设, 求. 解 令, 则 , , . 5. 重积分（直角坐标，极坐标）。 例题：, 其中D=(x, y)| |x|&

4、#163;1, |y|£1; 解 积分区域可表示为D: -1£x£1, -1£y£1. 于是 . 例题：, 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域. 解 积分区域可表示为D: 0£x£p, 0£y£x. 于是, . 例题：利用极坐标计算下列各题: (1)，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域; 解 在极坐标下D=(r, q)|0£q£2p, 0£r£2, 所以 . (3), 其中D是由圆周x2+y2=4, x2+y2=1

5、及直线y=0, y=x所围成的第一象限内的闭区域. 解 在极坐标下, 所以 . 5 求曲顶柱体体积。 例题：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2£2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以 . 例题：计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积. 解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D=(x, y)|x2+y2£ax. 在极坐标下, 所以

6、 . 6 常数项级数的审敛法。 例题：判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为, 而级数收敛,故所给级数收敛. (2); 解 因为, 而级数收敛,故所给级数收敛. (1); 解 级数的一般项为. 因为 , 所以级数发散. (2); 解 因为, 所以级数收敛. (3); 解 因为, 所以级数收敛. (3). 解 因为,所以级数收敛. 例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是条件收敛？ (1); 解 这是一个交错级数, 其中. 因为显然un³un+1, 并且, 所以此级数是收敛的. 又因为是p<1的p级数, 是发散的, 所以原级数是条件收敛的. (2); 解 .

7、 因为, 所以级数是收敛的, 从而原级数收敛, 并且绝对收敛. 7 幂级数。 例题：求下列幂级数的收敛域: ; 解 , 故收敛半径为R=1. 因为当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是收敛的, 所以收敛域为-1, 1. 解 这里级数的一般项为. 因为, 由比值审敛法, 当x2<1, 即|x|<1时, 幂级数绝对收敛; 当x2>1, 即|x|>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R=1. 因为当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 也是收敛的, 所以收敛域为-1, 1. 8 函数展开成幂级数。 例题：将下列函数展开成x的幂级数, 并求展开式成立的区间: (1)sin2x; 解 因为, , xÎ(-¥, +¥),所以 xÎ(-¥, +¥)