南京理工大学2008级高数考题

1、高等数学口期末自测题参考答案一、填空题每题a (1, 1,2), b3分，共30分i10j11k22(0, 2, 1).(0,1, 2)，那么 ab(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为3.(3, 0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为_3x 7y 5z 40z f (xy, 2xe2y)，那么二yf12f2xt4t3t2x , yz在相应于t1处的法平面方432111(x -) (y-)(z-)0 .432选自南京理工大学2022级高数考题程为10dy 0 f (x, y) dy .1 10 dx x f (x, y) dy的积分次序为z -x2y2 (0z 1)，zdS

2、. x2 y2x2 y2 1.2dxdyA (x2yz)i (y2ZX) j(z2xy) k，那么 div A x yR2(x y z).zf(x)以2为周期，且f(x) x()，其Fourier级数为ao(an cos nx bn sin nx)， 那么2 n 1b20xsin2xdx .f(x) 1 的麦克劳林级数为2 x(1)n n2n x二、8 分求函数 f (x, y) x2xy yx y 1的极值，并指出是极大值还是极小值解:fx(x,y) 2xfy (x, y)2y x 1，令fx(x,y)fy(x, y)0,即 2x y0 2y x得驻点(1,1).由于fxx(x, y) 2，

3、fxy (x, y)1，C fyy (x, y) 2，(B2 AC)x 11 2 230, Ay 10,那么(1, 1)为极小值点，极小值为f( 1,1)2.三、8分求级数(nn 01)xn的收敛域及它的和函数解：由于limn1时，级数 (n 1)( 1)n均n 0发散，所以收敛域为(1,1).设s(x)(n 1)xn，0x0S(t)dt(nn 01)xtndt0s(t)ddxx0S(t)dt(11_x)2 .四、8分计算L(5X43xy y )dx(3x2y23xyy2)dy ,其中L是抛物线y x2上自点(0,0)到点(1, 1 )的一段弧.解：P(x, y) 5x4 3xy2y3，Q(x

4、, y)3x2 y2 23xy y在xoy面偏导数连续,6xy3y2，那么曲线积分与路径无关，取折线段(0, 0)(1, 0)(1,1)，那么L(5x43xy2y3 )dx2(3x y2 23xy y )dy1(5x403x2 0203)dx10(312 y 3 1 y2 y2)dy1 (1五、8分计算曲面积分I ： x(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy，其中 是由柱面x2y21，平面z0,z3所围立体外表的外侧.解:P(x, y, z) x(yz), Q(x,y,z) z x, R(x, y,z) x y在柱面 x2y2 1，平面z0, z3所围立体上偏导数连续，那么

5、由高斯公式有I .： x(y z) dydz (z x) dzdx (x y)dxdy(上x(y z)dvy dvzdv第一个积分为0，想想为什么？30 zdz0Ddxdy3z 12 dz 90 2六、8分求以下方程的通解:y1. xy y lnxylnYx解：xy'In '，方程为齐次微分方程；设 u ，那么yx xxu xu ，代入得duu(ln u 1)dxx两端积分1 d(ln u 1)ln u 1-dxxInC或ln u Cx 1将u -代回得xCx 1y xe2x2. y 4y 3y e .解：方程为二阶非齐次线性微分方程，2r4r 30的特征根为A1, r23 ；

6、 f即ln(ln u1) In x*9 Y特解形式为y Ae ，代入得A对应齐次线性微分方程的特征方程(x)e2x中2不是特征方程的根，那么，在由解的结构得方程的通解为15C-e x3x 1 2xC2ee15七、10分设vnunUnWnUnun，证明:证：由于un绝对收敛，即I un |收敛，那么Un也收敛，又Vnn 1i|Un| iUn，由性质知vn收敛.n 1Un条件收敛，那么级数n 1Wn发散.n 1证：反证假设nWn收敛,Un收敛,由WnUnUn22WnUn及性质知|Un |收敛,n 1Unn 1Wn发散.八、10分一均匀物体是由抛物面z22十x y及平面1所围成.的体积;解：在xoy面投影域，那么所围体积为的质心.解：由于所以质心坐标为1x2V 1D210分解:(1(x210(1y2) dxdyr2) rdr是均匀物体及几何体关于yoz 面、XOZ面对称,那么质心坐标应为(0,0, Z)；z dvdv1rdr0V1r2zdz2。七.设 D (x, y) |x2,x0，y0 ,1 x2y2表示不超过y2的最大整数，计算二重积分xy1x2y2 dxdy.D1( x, y) | x1, x0, y 0，D2(x,y)|12 2x y2,x0,y0,那么DDiD2 ,且当(x, y)D1时，1 x22y1 ,当(x,y) D2 时,1x2y2