运动型问题探究(中考专题复习)

1、运动型问题探究运动型问题探究 动态几何问题就是以几何知识动态几何问题就是以几何知识为背景，渗入运动变化观点的一类为背景，渗入运动变化观点的一类问题，它通常分为三种类型：问题，它通常分为三种类型：（1 1）动点问题（常见形式是：点在线）动点问题（常见形式是：点在线段或弧线上运动）；段或弧线上运动）；（2 2）动线问题；）动线问题；（3 3）动形问题（动形问题通常是图形）动形问题（动形问题通常是图形的翻转，平移、旋转变换问题）。的翻转，平移、旋转变换问题）。一、动态几何的分类一、动态几何的分类 1.1.动中觅静：这里的动中觅静：这里的“静静”就是问题中的不变就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就

2、是在运动变化中量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性。探索问题中的不变性。2.2.动静变化：动静变化：“静静”只是只是“动动”的瞬间，是运的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到找到“动动”与与“静静”的关系。的关系。3.3.以动制动：就是建立图形中两个变量的函数以动制动：就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系。点来研究变动元素的关系。二、动点问题的解题策略二、动

3、点问题的解题策略（一）动点在直线上运动（一）动点在直线上运动三、动点问题的分类三、动点问题的分类（二）动点在抛物线、弧上运动（二）动点在抛物线、弧上运动例例1.1.如图：已知如图：已知 ABCDABCD中，中，AB=7AB=7，BC=4BC=4，A=30A=30DCBA点点P P从点从点A A沿沿ABAB边向点边向点B B运动，速度为运动，速度为1cm/s1cm/s。若设运动时间为若设运动时间为t(s)t(s)，连接，连接PC,PC,当当t t为何值时，为何值时，PBCPBC为等腰三角为等腰三角形？形？P能力准备：能力准备：1.1.将线段的长度用时间将线段的长度用时间t t和速度和速度v v表

4、示出来。表示出来。AP=tAP=t1,BP=7-t1,BP=7-t2.2.弄清点的运动方向，可以用弄清点的运动方向，可以用箭头表明。箭头表明。则则PB=BCPB=BC7-t=4t=3DCBA74变式：如图，已知变式：如图，已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30若点若点P从点从点A沿沿 AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s，当，当t为何为何值时，值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？射线射线练习练习1.如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30PDCBA74当BP=BC时PDCBA7430当CB=CP时E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74

5、当BP=BC时若点若点P从点从点A沿射线沿射线AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？探究动点关键：化动为静，分类讨论探究动点关键：化动为静，分类讨论.t=3或11或7+ 或 /3 时 PBC为等腰三角形为等腰三角形3434例例2.2.如图，在梯形中，如图，在梯形中，ADBC,AD=3ADBC,AD=3，DC=5DC=5，BC=10BC=10，梯形的高为，梯形的高为4 4动点动点M M从从B B点出发沿线段点出发沿线段BCBC以每秒以每秒2 2个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C C运动；动点运动；动点N N同时从同时从

6、C C点出发沿点出发沿线段线段CDCD以每秒以每秒1 1个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点D D运动设运动运动设运动的时间为的时间为t t（秒）试探究：（秒）试探究：t t为何值时，为何值时，MNCMNC为等腰三为等腰三角形角形MDBCAN（1）MC=NC时，时，10-2t=t-中考模拟试题中考模拟试题例例2.2.如图，在梯形中，如图，在梯形中，ADBC,AD=3ADBC,AD=3，DC=5DC=5，BC=10BC=10，梯形的高为，梯形的高为4 4动点动点M M从从B B点出发沿线段点出发沿线段BCBC以每以每秒秒2 2个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C C运动；动点运

7、动；动点N N同时从同时从C C点点出发沿线段出发沿线段CDCD以每秒以每秒1 1个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点D D运运动设运动的时间为动设运动的时间为t t（秒）试探究：（秒）试探究：t t为何值时，为何值时，MNCMNC为等腰三角形为等腰三角形（2）MN=NC时，时，NGCDHCNC:DC=G:Ht:5=(5-t):3MDBCANGH-中考模拟试题中考模拟试题例例2.2.如图，在梯形中，如图，在梯形中，ADBC,AD=3ADBC,AD=3，DC=5DC=5，BC=10BC=10，梯形，梯形的高为的高为4 4动点动点M M从从B B点出发沿线段点出发沿线段BCBC以每秒以每秒

8、2 2个单位长度个单位长度的速度向终点的速度向终点C C运动；动点运动；动点N N同时从同时从C C点出发沿线段点出发沿线段CDCD以每以每秒秒1 1个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点D D运动设运动的时间为运动设运动的时间为t t（秒）试探究：（秒）试探究：t t为何值时，为何值时，MNCMNC为等腰三角形为等腰三角形（3）MN=MC时，时，MECDHCEC:HC=MC:DC，t:3=(10-2t):5EHMDBCAN-中考模拟试题中考模拟试题例例2.2.如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，ADBC,AD=3ADBC,AD=3，DC=5DC=5，BC=10BC=10，梯

9、形的高为梯形的高为4 4动点动点M M从从B B点出发沿线段点出发沿线段BCBC以每秒以每秒2 2个单位个单位长度的速度向终点长度的速度向终点C C运动；动点运动；动点N N同时从同时从C C点出发沿线段点出发沿线段CDCD以每秒以每秒1 1个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点D D运动设运动的时间运动设运动的时间为为t t（秒）（秒） 试探究：试探究：t t为何值时，为何值时，MNCMNC为等腰三角形为等腰三角形C既在既在EMC中，又在中，又在DHC中，所以从解直角中，所以从解直角三角形的角度也可解三角形的角度也可解cosC=EC:MC=HC:DCEHMDBCAN-中考模拟试题中考模

10、拟试题-总结提升总结提升（1 1）等腰三角形的问题要）等腰三角形的问题要分类讨论分类讨论（2 2）可通过）可通过相似相似列出方程，将求时列出方程，将求时间的问题转化为求线段的问题。所间的问题转化为求线段的问题。所以，相似是解决动点问题的一种重以，相似是解决动点问题的一种重要方法。要方法。（3 3）在直角三角形中可以从）在直角三角形中可以从相似相似和和解直解直两个不同角度解题。两个不同角度解题。练习练习2.如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，ADBC, B=60o,AB=AD=BO=4,OC=8,点点P从从B点出发，沿四点出发，沿四边形边形ABCD的边的边BAADDC以每分钟一个单位长度以每

11、分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为的速度匀速运动，若运动的时间为t,POD的面积为的面积为S，则则S与与t的函数图象大致为（的函数图象大致为（ ）-中考模拟试题中考模拟试题32)-821t（D ABAP-最短距离问题B-最短距离问题ABAP 例例. .如图在边长为如图在边长为2cm2cm的正方形的正方形ABCDABCD中，点中，点Q Q为为BCBC边的边的中点，点中点，点P P为对角线为对角线ACAC上一动点，连接上一动点，连接PBPB、PQ,PQ,则则 周长的最小值是周长的最小值是( )cm ( )cm (结果不取近似值）结果不取近似值）A D B Q CP-最短距离问题例例.已

12、知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c与与y轴交于点轴交于点A(0，3)，与，与x轴分别交轴分别交于于B(1，0)、C(5，0)两点两点（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）若点）若点D为线段为线段OA的一个三等分点，求直线的一个三等分点，求直线DC的解析式；的解析式；（3）若一个动点）若一个动点P自自OA的中点的中点M出发，出发，先先到达到达x轴轴上的某点上的某点(设设为点为点E)，再再到达抛物线的到达抛物线的对称轴对称轴上某点上某点(设为点设为点F)，最后运动到点，最后运动到点A求使点求使点P运动的总路径最短的点运动的总路径最短的点E、点、点F的坐标，并求出这个最的坐标，并

13、求出这个最短总路径的长短总路径的长 分析分析 这是一道由轴对称的典型例题改编的这是一道由轴对称的典型例题改编的“台球两次碰壁问题台球两次碰壁问题” ；台球由点；台球由点M击出，经过击出，经过x轴、抛物线的对称轴两次碰壁后，恰好轴、抛物线的对称轴两次碰壁后，恰好经过点经过点A，求台球经过的路径如图，设点，求台球经过的路径如图，设点M关于关于x轴对称的点为轴对称的点为M，点，点A关于抛物线的对称轴对称的点为关于抛物线的对称轴对称的点为A，连结，连结MA，则，则MA的长的长为为MEEFFA的最小值的最小值-最短距离问题例例.已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c与与y轴交于点轴交于点A(0，3)，

14、与，与x轴分别交轴分别交于于B(1，0)、C(5，0)两点两点（3）若一个动点）若一个动点P自自OA的中点的中点M出发，出发，先先到达到达x轴轴上的某点上的某点(设设为点为点E)，再再到达抛物线的到达抛物线的对称轴对称轴上某点上某点(设为点设为点F)，最后最后运动到点运动到点A求使点求使点P运动的总路径最短的点运动的总路径最短的点E、点、点F的坐标，并求出这个最的坐标，并求出这个最短总路径的长短总路径的长 -最短距离问题（3）如图，由题意可得）如图，由题意可得M（0， ）.点点M关于关于x轴的对称点为轴的对称点为M（0，- ）.点点A关于抛物线对称轴关于抛物线对称轴x=3的对称点为的对称点为A

15、(6,3).连结连结AM.根据轴对称性及两点间线段最短可知，根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是所求点的长就是所求点P运动的最短总路径运动的最短总路径的长。所以的长。所以AM与与x轴的交点为所求轴的交点为所求E点，与直线点，与直线x=3的交点为所求的交点为所求F点。可求得直点。可求得直线线AM的解析式为的解析式为y= x- .可得可得E点坐标为（点坐标为（2，0），），F点坐标为（点坐标为（3， ）有勾股）有勾股定理可求出定理可求出AM= .所以点所以点P运动的最短总路径（运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为）的长为 .2323234343215215例例. .在平面直角坐标系

16、中，抛物线在平面直角坐标系中，抛物线 与与x x轴交于轴交于A A、B B两点，（点两点，（点A A在点在点B B左侧）左侧）. .与与y y轴交轴交于点于点C C，顶点为，顶点为D D，直线，直线CDCD与与x x轴交于点轴交于点E E. .在点在点B B、点点F F之间的抛物线上有一点之间的抛物线上有一点P P，使，使PBFPBF的面积最大，的面积最大，求此时求此时P P点坐标及点坐标及PBFPBF的最大面积的最大面积. .223yxx 练习如图练习如图2 2，点，点A A、B B、C C、D D为圆为圆O O的四等分点，的四等分点，动点动点P P从圆心从圆心O O出发，沿出发，沿O-C-

17、D-OO-C-D-O的路线作匀速运动的路线作匀速运动. .设运动时间为秒设运动时间为秒, APB, APB的度数为的度数为y y度，则下列图度，则下列图象中表示象中表示y y与与t t之间函数关系最恰当的是（之间函数关系最恰当的是（ ） C 练习练习 如图，在半径为如图，在半径为1 1的的OO中，直径把中，直径把OO分成上、下分成上、下 两个半圆，点是上半圆上一个动点两个半圆，点是上半圆上一个动点（C C与点与点A A、B B不重合），过点作弦不重合），过点作弦CDABCDAB，垂足为，垂足为E E，OCDOCD的平分线交的平分线交OO于点，设于点，设CE=x,AP=yCE=x,AP=y，下，

18、下列图象中，最能刻画列图象中，最能刻画y y与与x x的函数关系的图象是的函数关系的图象是（ ）A 动点问题动点问题 是近年来中考的的一个热点问题，是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要解这类题目要“以静制动以静制动”，即把动态问题，变为，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法：化动为静，先找问题静态问题来解。一般方法：化动为静，先找问题中的中的“不变不变”的量，再找到的量，再找到“动动”的过程中瞬间的的过程中瞬间的“静静”，转化为几何问题或函数问题。在这个过程，转化为几何问题或函数问题。在这个过程中要用到中要用到“分类讨论分类讨论 ”、“数形结合数形结合”、“方程思想方程思想” 和函数模型。和函数模型。 必要时，多作出几个符合条件的必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。草图也是解决问题的好办法。. .平面直角坐标系中，矩形平面直角坐标系中，矩形ABCDABCD，A(3A(3，0)0)，B (3B (3，4)4)，动点动点