曲线积分与曲面积分高等数学

1、第九章 曲线积分与曲面积分一、内容分析及教学建议线面积分也是由实际问题的需要而产生的，是多元函数积分学的一个重要组成部分，内容多，难度大。（一） 线积分1、可从曲线构件质量和变力沿曲线作功引入第类和第线积分，教学上注意比较两者以及和定积分联系及区别；2、对于线积分的计算公式的证明，可按教材的方法却通过连续函数的可积性及积分值与分法及取法无关之方法证明，这样可避开用一致连续性概念；3、重点可放在恰当地选取参数及第、第类线积分上下限确定的原则及区别；4、第类线积分对称性时常用到，第类线积分对称性相对复杂，用的不多。结论1：设曲线关于轴对称，则 其中为关于那段曲线结论1：设曲线关于轴对称，则 其中是

2、在那段曲线。（二）格林公式及其应用1、要讲透格林公式的推导、意义和作用，从而建立平面线积分与路径无关的各种等价条件；2、当计算曲线积分时，如果积分路径比较复杂，不宜采用直接公式计算时，则可转化为利用格林公式来进行计算，教学中一定要强调注意验证格林公式的条件；利用格林公式，求解第类线积分常用方法：）直接用 （封闭曲线等）补线 （非封闭曲线等）当被积函数在曲线所围区域内有奇点时，用小曲线控掉奇点，再用Green公式）利用积分与路径无关性计算曲线积分可通过例题讲解各种方法的使用，教学中同时要注意讲清每一种用法的适用范围，注意事项；3、 为全微分时，求原函数中要求学生理解公式，不要死记，在具体解题时应

3、画出折线段，再分别在各段上把曲线积分化为定积分来计算。（三）曲面积分1、由曲面构件质量和流量等实例引入两类面积分概念。在性质上，可类比两类相对应的线积分；在概念上，注意相互比较以及和二重积分的比较；2、直接计算（又称投影法）第类曲面积分时，首先要考虑到向哪个坐标面投影之问题。以下两点要让学生理解： 主要取决于积分曲面方程的表达式，若要把曲面投影到平面上，则应把方程写成形式（或者说，一定要能写成这种形式，否则不能向平面投影！） 假若能同时向几个坐标面投影，原则上选取一个较为简单（曲面方程、投影区域积分计算简单）的坐标面。3、第类曲面积分是教学中一大难点，可从以下几方面来分解：）类比第类线积分）讲

4、透有向曲面、侧的概念（必要时借助于简单教具）讲清有向曲面与各个坐标面之间的投影关系）具体应用公式（投影法）计算第类曲面积分时，应讲清这样的思路。以为例：a 根据积分变量，将曲面的方程化为形式；确定曲面的侧（前侧、后侧）以及在平面上的投影区域；b 将方程代入被积函数c 计算二重积分 （四）高斯公式、斯托克斯公式1. 花较少时间讲清定理的证明，较多时间放在如何应用公式上，尤其是高斯公式；2. 可类比格林公式，加深这几个公式的理解；3. 结合例题，对于常见的两种曲面情况（封闭及非封闭），讲清高斯公式应用条件及具体方法；4. 空间曲面路径无关性定理及应用，略讲或不讲；5. 通量、环流量、散度及旋度只作

5、介绍；6. 对于斯托克斯公式，证明可略讲。如何应用？一般是求，写出的参数方程较困难，或者直接代入的参数式很繁时，可考虑用斯托克斯公式，这一点可结合教材之典型例题讲解；7. 至此，可以把各类积分统一定义为，其中是所有直径的最大者。二、 补充例题：例.计算，其中是抛物线上从点到点的一段弧。解：当，有，故积分与路径无关，取新路径，上半单位圆周顺时针方向（注意不能选轴一段）例2 计算，其中是抛物线上从点到一段弧解法1：，的积分与路径有关，记为弧段与直线,所围区域，是直线与的交点，则由格林公式 解法2：设法用积分与路径无关性求解 例. 设在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意恒有：，

6、求。解： 由积分与路径无关性有，于是，为待定函数，且， 由题设对任意的应有 两边对求导，得：，即,所以例. 计算,其中是平面与柱面的交线，从轴正向看，为逆时针方向。解： 记为平面上所围成部分上侧，为在坐标面上投影，由斯托克斯公式得： 例5. 设质点沿着以为直径的圆围，从点运动到点的过程中，受力的作用，的大小等于点到原点之间的距离，其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功。解： 按题意，变力，有向弧的方程是：（从）变力所作的功为 或 例5选择使是某一函数的全微分，并求。解： ，由全微分条件下面用三种方法求：方法1 （凑全微分法）方法2 用曲线积分与路径无关性，选折线为积分路径，

7、则 方法3 不定积分法设，则， 故 ，例7. 设为椭球面的上半部分（即部分），点， 为在点的切平面，为点到平面下的距离，求 解法1 为上任意一点，则的方程为从而得 由的方程，有， 在面投影域为 解法2 如解法1，设为在第一象限的部分，则由对称性 由的方程得 在面投影域为， 所以 例. 计算，其中为曲面在第一象部分（）的上侧解法1 投影法（直接计算）设，分别表示在平面、平面、平面的投影，相应把的方程分别是，则 解法2 高斯公式 此时要补上三个平面块，与曲面块构成封闭曲面，所围成的空间区域记为，注意到取内侧，因此 解法3 （化为第一类曲面积分） 曲面块方程，得，从而 ， ， 例9 计算，其中：，上侧解： ，补有向曲面块：取下侧，则 所以 例10 计算，其中具连续导数，为锥面与两球面， 所围立体的表面取外侧。解： 由高斯公式 三、 补充练习1. 计算，为园周及两条坐标轴在第一象限内所围成的整个扇形边界 （）1. 计算，其中为从点，经过到的折线段 （）为从点到圆弧 3 利用格林公式计算曲线积分其中 为在抛物线上由点到的一段弧 4. 计算，其中为过点，三点所决定的圆周上的一段弧 5. 验证：在右半平面内是全微分式，并求出一个原函数 6 计算曲面积分，其中是介于平面及（）之间的圆柱面 7 计算，其中是上半球面（）的下侧 8. 计算，其中是旋转抛